Bonjour !
J'ai un devoir maison à résoudre.
Voici l'énnoncé :
a, b, c et d désignent des réels positifs tel que: a<b<c<d
Ranger par ordre croissant les 3 nombres suivants, en justifiant la réponse :
x=(a+b)(c+d) y=(a+c)(b+d) z=(a+d)(b+c)
Si vous pouvez m'aider ce serait trop sympa parce que m^me en comparant les nombres je n'y arrive pas
Merci d'avance
Plop,
Développe x, y et z.
Pour comparer par exemple x et y, tu auras des termes égaux, puis tu te serviras de l'hypothèse de l'énoncé pour comparer les termes restants.
De même entre y et z ou x et y
(attention, si x < y et z < y, tu ne peux pas dire que x < z)
tu as par exemple
x-y=b(c-a)+c(a-d)=b(c-a)-c(d-a)
et la on a: c-a<d-a
b<c
donc b(c-a)<c(d-a)
donc x-y<0
y>x
PArce que les nombres sont positifs donc pas de soucis avec les inegalites
Ben c'est ce que j'ai fait mais ensuite je suis bloquée :
x= ac+ad+bc+bd
y=ab+ad+cb+cd
z=ab+ac+db+dc
Mais par exemple pour comparer x et y j'ai ad et bc en commun donc je ne m'en occupe pas.
ab<ac et bd<cd
Mais après je vois pas trop comment faire parce que ab<ac<bd<cd.
Pour x j'ai en fait le plus petit plus le plus grand et pour y j'ai les deux du milieu donc comment savoir lequel est le plus grand?
Oups, oui en effet, la méthode d'Antho07 est bien meilleure
Je ne comprend pas trop comment tu fais pour savoir qu'il faut faire le calcul x-y= ............ ?
pour comparer deux nombres on fait la différence:Envoyé par latitedu76
la jai fais x-y=(a+b)(c+d)-(a+c)(b+d)
=ac+ad+bc+bd-ab-ad-cb-cd
=ac+bc-ab-cd
=b(c-a)+c(a-d)
=b(c-a)-c(d-a)
on avait a-d<0 donc d-a>0
du coup b(c-a)>0
c(d-a)>0
reste à comparer ces deux quantité :
l'ecart entre a et c est plus petit que l exart entre a et d:
et b est plus petit que c:
donc b(c-a)<c(d-a)
donc b(c-a)-c(d-a)<0
Donc x-y<0
x<y
En faite j ai factoriser comme cela m arrangeait, c'est la meme methode que MiMoiMolette en faite
ok je commence à comprendre. Mais quand t'as factorisé, tu as trouvé :
ac+ad+bc+bd-ab-ad-cb-cd
= ac+bc-ab-cd
Moi j'aurais marqué :
=ac+bd-ab-cd
J'aurais annulé bc car il y a -cb et +bc
tu as raison je me suis planté
en faite cela fait donc
x-y=ac+bd-ab-cd
=b(d-a)+c(a-d)
=(d-a)(b-c)
et la du coup c 'est tres simple:
d-a>0
b-c<0
donc (d-a)(b-c)<0
donc x-y=(d-a)(b-c)<0
donc x<y
ok.
Une dernière question :
pourquoi après b(d-a)+c(a-d) le + disparait et ca fait (d-a)(b-c) ?
b(d-a)+c(a-d)=b(d-a)-c(d-a)
et on factorise par (d-a)
=(d-a)(b-c)
Ok.
Je te remercie énormément d'avoir pris le temps de m'aider ainsi.
Merci beaucoup.
A bientôt !
