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Questions sur nombres premiers



  1. #1
    BOBYJOE

    Questions sur nombres premiers


    ------

    Bonsoir a tous, je blok sur un petit exo et j'aimerais votre aide svp:

    Soit p un nombre premier donné. On se propose d'étudier l'existence de couples (x;y) d'entiers naturels strictement positifs vérifiant l'équation (E): x²+y² = p².


    1.On pose p = 2. Montrer que l'équation (E) est sans solution.


    On suppose désormais que p est différent de 2 et que le couple (x;y) est solution de l'équation (E).
    2.Montrer que x et y sont de parités différentes.

    3.On suppose mantenant que p est une somme de deux carrés non nuls, c'est à dire p = u²+2² où u et v sont deux entiers naturels strictement positifs.
    a)Vérifier qu'alors le couple (|u²-v²|;2uv) est solution de l'équation (E).
    b)Donner une solution de l'équation (E), lorsque p = 5 puis lorsque p = 13.

    4.On se propose enfin de vérifier sur deyx exemples, que l'équation (E) est impossible lorsque p n'est pas somme de deux carrés.
    a)p =3 et p = 7 sont-ils somme de deux carrés?
    b)Démontrer que les équations x²+y²=9 et x²+y²=49 n'admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs.


    -----------------------------------------------------------------------
    Pour le 1. et le 2. j'y arrive.
    Mais a partir du 3. je blok totalement, quelqu'un pourrait me donner un conseil ou un indice svp?

    Merci de votre attention.

    -----

  2. #2
    Zébule

    Re : Questions sur nombres premiers

    Pour la 3.a), tu n'as qu'à remplacer x et y par les valeurs qui te sont données dans ton équation et vérifier que tu obtiens p^2 (il v a te falloir calculer aussi p^2 en fonction de u et v).

    Pour la b, ne pourrais tu pas utiliser la question précédente et écrire 5 et 13 sous une forme particulière ?

  3. #3
    BOBYJOE

    Re : Questions sur nombres premiers

    Citation Envoyé par Zébule Voir le message
    Pour la 3.a), tu n'as qu'à remplacer x et y par les valeurs qui te sont données dans ton équation et vérifier que tu obtiens p^2 (il v a te falloir calculer aussi p^2 en fonction de u et v).

    Pour la b, ne pourrais tu pas utiliser la question précédente et écrire 5 et 13 sous une forme particulière ?
    Pour la 3)a. en fait quand je remplace, j'ai :
    (|u²-v²|)² + (2uv)² = |u^4 - 2u²v² + v^4| + 4u²v².
    Mais après ca je ne vois pas comment simplifier.


    Pour la 3)b. tu veux dire que dois utliser :
    4 = 2² + 1²
    13 = 3² + 2²

    ou s'agit-il d'autres formules?

    Merci de ton aide.

  4. #4
    Zébule

    Re : Questions sur nombres premiers

    Pour la b tu as tout bon ! Tu as trouvé ton u et ton v dans les deux cas.
    Pour la a, en fait pour un nombre réel x, |x|^2=x^2 (cela car |x|=x ou -x, donc en élevant au carré ...). Tu peux donc te débarasser de la valeur absolue dès le début de ton calcul. Tu pourras alors opérer des simplifications qui devraient bien t'aider.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    BOBYJOE

    Re : Questions sur nombres premiers

    Citation Envoyé par Zébule Voir le message
    Pour la b tu as tout bon ! Tu as trouvé ton u et ton v dans les deux cas.
    Pour la a, en fait pour un nombre réel x, |x|^2=x^2 (cela car |x|=x ou -x, donc en élevant au carré ...). Tu peux donc te débarasser de la valeur absolue dès le début de ton calcul. Tu pourras alors opérer des simplifications qui devraient bien t'aider.
    Arrête moi si je me trompe, j'ai donc :

    (|u²-v²|)² + (2uv)² = u^4 - 2u²v² + v^4 + 4u²v² = u^4 + 2u²v² + v^4.

    Mais comment faire le rapprochement avec p ?

  7. #6
    Zébule

    Re : Questions sur nombres premiers

    Tu ne te trompes pas
    En suite, n'oublie pas qu'on a supposé que p=u^2 + v^2.
    Combien vaut alors p^2 ?

  8. #7
    BOBYJOE

    Re : Questions sur nombres premiers

    Citation Envoyé par Zébule Voir le message
    Tu ne te trompes pas
    En suite, n'oublie pas qu'on a supposé que p=u^2 + v^2.
    Combien vaut alors p^2 ?
    Merci mec c'est cool, je m'en sortais pas la :

    p=u^2 + v^2
    p² = (u^2 + v^2)² = u^4 + 2u²v² + v^4.

    Voila qui est fait, et par hasard t'aurais pas une petite idée pour la fin le 4. tant que t'es lancé ^^

    Parce que pour la 4)a. la reponse est non, mais je ne sais pas comment le démontrer proprement a l'écrit.
    Et pour la 4)b. j'vois pas trop non plus.

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