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4.9999...=5 ?



  1. #31
    Nikkau

    Re : 4.9999...=5 ?


    ------

    c'est plus général, mais là on parlait des nombres qui ont pleins de 9 qui se suivent...

    Sinon ce résultat, tu le montres à partir des séries ? ( y a un sens qu'a l'air simple...)

    -----

  2. #32
    martini_bird

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Nikkau
    Sinon ce résultat, tu le montres à partir des séries ? ( y a un sens qu'a l'air simple...)
    Oui, c'est le même principe. Pour l'autre sens, il faut penser à la division euclidienne.

    Cordialement.

  3. #33
    zedx

    Re : 4.9999...=5 ?

    D'ailleurs, 4,999999... est appelé un developpement décimal illimité impropre de 5. Un developpement décimal illimité est dit propre s'il contient une infinité de décimales differentes de 9, sinon, il est dit impropre.

  4. #34
    GuYem

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par zedx
    D'ailleurs, 4,999999... est appelé un developpement décimal illimité impropre de 5. Un developpement décimal illimité est dit propre s'il contient une infinité de décimales differentes de 9, sinon, il est dit impropre.
    4.1919191919.... est un développement décimal impropre?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #35
    g_h

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par chouket
    mais je comprend où vous voulez en venir... même si pour moi, en divisant par 2 un infinité de fois un nombre quelconque, on obtiendra jamais 0, ce nombre tendra seulement vers 0... je suis peut etre trop terre à terre...
    Dur dur, les infinis. Perso je n'aime pas les explications qui se basent sur une série ou une suite, j'ai l'impression que ça ne fait que déplacer le problème !

    Ce qu'il faut comprendre à mon sens, c'est la distinction intuitive entre "faire tendre vers l'infini" et "à l'infini" (je ne sais pas si ça a une valeur méthématique ce que je dis mais bon...)

    quand on dit "faire tendre quelque chose vers l'infini", c'est inconcevable pour notre ptit cerveau, puisque l'on ne peut pas "y arriver", on pourra toujours faire tendre ce quelque chose vers une valeur encore plus grande qu'une autre, nous sommes d'accord. D'où ta remarque "ça tendra seulement vers 0"

    Seulement en maths, tu peux raisonner "à l'infini", "atteindre l'infini" en quelque sorte.
    Ce que tu ne pouvais pas atteindre (0 dans cet exemple) est atteignable si tu te projettes directement à l'infini. Tout en considérant que l'infini n'est pas atteignable : tu peux diviser un nombre toute ta vie, tu n'atteidras jamais 0 en effet, car tu ne pourras jamais le diviser qu'un nombre fini de fois.

    Où même, si je n'ai pas été assez clair, prenons un exemple bête.
    Si je te dis : rapproche ton doigt infiniment près de cet objet. Qu'est-ce que tu vas faire ? Si tu mets ton doigt extrêmement près, mais sans le toucher, tu pourras toujours le mettre encore plus près (non, ne me parlez pas de la longueur de Planck ).
    Que faire alors ? Toucher l'objet est la seule solution ! Et la distance qui te sépare de lui vaut bien strictement 0.

    (OK, ceci n'était pas un post "scientifiquement" mathématique, mais bon, l'infini c'est aussi un concept qui n'est pas forcément mathématique, alors on l'explique comme on peut)

  6. #36
    martini_bird

    Re : 4.9999...=5 ?

    Salut,

    une remarque rapide: le concept d'infinitude en science (j'épargne les philosophes) est une notion strictement mathématique.

    De plus, j'ai écrit dans la FAQ (que je remanierai à l'occasion ) que selon les idées euclidiennes, le seul moyen de concevoir l'infini est de l'approcher par le fini; donc de décrire quantitativement le comportement de tel ou tel objet soumis à un paramètre dont l'amplitude n'est pas bornée.

    Ceci étant, il est tout à fait possible en mathématiques de mettre l'infini dans une coquille de noix: un procédé classique est par exemple la compactification d'Alexandroff.

    Cordialement.

  7. #37
    Romain BERTOUY

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par g_h
    Dur dur, les infinis. Perso je n'aime pas les explications qui se basent sur une série ou une suite, j'ai l'impression que ça ne fait que déplacer le problème !
    Peut être, mais je trouve plus rigoureux d'écrire des nombre avec une infinité de décimales sous forme de somme plutôt que des trucs avec des 4,9999... parce que les "..." c'est vraiment sujet à confusion, quitte à mettre des symboles, autant en mettre des biens, les séries évidemment ça peut paraître un peu abstrait mais bon, ça peut se ramener à des suites de sommes partielles.

    Bon, on peut dire que c'est abstrait des suites mais bref, les maths c'est toujours un peu abstrait quand on y regarde, ça empêche d'y trouver des applications bien concrètes elles.

    Enfin l'infini, je ne vois pas quel autre discipline que les maths utilise ce concept faute d'avoir prouvé son existence. Peut être qu'en maths on a finalement pas tellement besoin de savoir précisément ce que c'est pour l'utiliser, c'est l'avantage.
    Romain

  8. #38
    Gwyddon

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par GuYem
    4.1919191919.... est un développement décimal impropre?
    Non, il est propre puisque il contient une infinité de décimales différentes de 9 (les 1)
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  9. #39
    Le_boulet

    Re : 4.9999...=5 ?

    Moi, je trouve l'analyse de G-h dans son post 35, très pertinente.

    Le calcul des limites nous permet de savoir se qu'il se passe à l'infini, mais ne nous donne pas la valeur à l'infini, puisqu'il ne peut pas être atteint.

    Le meilleur exemple qui me vient, c'est le comportement d'une courbe vis-à-vis de son asymptôte. On sait que la courbe tend vers elle, mais on sait aussi qu'elle ne l'atteint jamais.

  10. #40
    martini_bird

    Re : 4.9999...=5 ?

    Salut,

    je vous propose un petit voyage au pays de la droite projective.

    Considérons la droite des abscisses: tout le monde est d'accord sur le fait qu'elle est infini "des deux côtés".

    Traçons un cercle tangent à cet axe et repèrons le point P diamétralement opposé au point de contact. Soit un point M quelconque sur la droite: la droite (MP) coupe toujours le cercle en un point M', et réciproquement à chaque point du cercle différent de P correspond un point de l'axe (voir figure).
    Nous avons donc transformé la droite en un cercle privé d'un point (c'est un homéomorphisme).

    Faisons croître l'abscisse x du point M vers : on voit bien que le point M' devient de plus en plus proche de P. Le point P correspond précisément au point à l'infini.

    ______________

    Sinon, j'ajouterais que la seule façon rigoureuse de transformer les petits points de 4,99... en objet mathématiques est d'écrire:



    et vous reconnaissez nos amies les suites géométriques.

    Cordialement.
    Images attachées Images attachées  

  11. #41
    Gwyddon

    Re : 4.9999...=5 ?

    Je suppose que c'est la même idée pour la sphère de Riemann vis-à-vis du plan complexe. Martini, tu confirmes ?

    Merci d'avance
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #42
    martini_bird

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par 09Jul85
    Je suppose que c'est la même idée pour la sphère de Riemann vis-à-vis du plan complexe. Martini, tu confirmes ?

    Merci d'avance
    Je confirme.

    Une précision néanmoins: la sphère de Riemann n'est pas homéomorphe au plan projectif réel. Dans le premier cas, on a un point à l'infini, dans le second une droite à l'infini.

    Cordialement.

  13. #43
    MâT70

    Re : 4.9999...=5 ?

    Soit f = 0,99999.....

    fx100 = 99+f

    100f - f = 99

    99f = 99

    f = 99/99 soit 1 !

    donc 4+f = 5 !

    Pas besoin de chercher compliqué !!!

  14. #44
    Le_boulet

    Re : 4.9999...=5 ?

    Humm !! Cette démo me semble être plus une pirouette qu'autre chose.

    Le problème se situe entre la première et la deuxième ligne:

    Soit f = 0,99999..... Là OK.

    fx100 = 99+f, si on a le droit de dire ça, alors on a aussi le droit de dire :

    f*100=99+(100*f), il n'y a pas de raison

    Sauf que là, on aboutit à une absurdité !

    Bon, je ne sais pas si je me suis bien fait comprendre

  15. #45
    justine&coria

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par MâT70
    Soit f = 0,99999.....

    fx100 = 99+f

    100f - f = 99

    99f = 99

    f = 99/99 soit 1 !

    donc 4+f = 5 !

    Pas besoin de chercher compliqué !!!
    il y a même un petit peu plus simple :

    f = 0,999999...
    10f = 9,99999.... = 9+f

    10f = 9+f donc f=1.
    Dernière modification par justine&coria ; 01/09/2005 à 20h00.

  16. #46
    justine&coria

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Le_boulet
    Humm !! Cette démo me semble être plus une pirouette qu'autre chose.

    Le problème se situe entre la première et la deuxième ligne:

    Soit f = 0,99999..... Là OK.

    fx100 = 99+f, si on a le droit de dire ça, alors on a aussi le droit de dire :

    f*100=99+(100*f), il n'y a pas de raison

    Sauf que là, on aboutit à une absurdité !

    Bon, je ne sais pas si je me suis bien fait comprendre
    Euh, je te comprends pas là ? Pourquoi tu dis que f*100=99+(100*f) ?

  17. #47
    Le_boulet

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonsoir,

    Tout simplement parce-que chez moi, dans la deuxième ligne de la démo de MâT70:

    f*100 est différent de (99 + f). Mais est égal à 99,9999 ...

    Vous aurez beau vous y prendre comme vous voudrez, mais on ne me fera jamais croire que 0.999 ... est égal à 1 !

    La seule chose que l'on puisse dire, c'est que 0.999 ... tend vers 1.

    "tendre vers" est différent de "équivaloir"

    Mais bon, je suis peut-être trop têtu (
    Dernière modification par Le_boulet ; 01/09/2005 à 23h22.

  18. #48
    Lagoon

    Re : 4.9999...=5 ?

    En meme temps on vous demande pas de le croire ou non. C'est un FAIT rigoureusement DEMONTRE. Bref, aucune place pour le doute

  19. #49
    martini_bird

    Re : 4.9999...=5 ?

    Salut,

    la seule chose à comprendre, c'est que tous les nombres s'écrivent avec une infinité de décimales: 1=1,0000.... Mais pas nécessairement de façon unique, en témoigne l'exemple précédent.

    Cordialement.

  20. #50
    GuYem

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Le_boulet

    Vous aurez beau vous y prendre comme vous voudrez, mais on ne me fera jamais croire que 0.999 ... est égal à 1 !

    La seule chose que l'on puisse dire, c'est que 0.999 ... tend vers 1.
    Tu as bien raison. Le problème vient de l'écriture. Au départ 0.9999... ça ne veut rien dire. Il faut lui donner une définition et la voilà :

    0.999... := sum (9*10^-k ; k=1..+inf). C'est celle que l'on comprend intuitivement et alors 0.999 c'est la même chose que 1.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  21. #51
    justine&coria

    Re : 4.9999...=5 ?

    Exactement, c'est un fait. C'est démontré.
    Dis plutôt que tu ne t'imagines pas ce que signifie 0,9999...
    D'ailleurs, personne ne peut se l'imaginer, puisque ça n'a pas de fin. Par contre, on sait que c'est égal à 1.

    Et dire que 0,9999... tend vers 1, ça ne veut rien dire, c'est pas du français. Un nombre, c'est un nombre : il ne peut pas tendre vers quelque chose. (Une suite oui.)

    Si tu veux, 2 est égal à 2,000 puisqu'il n'existe aucun nombre entre 2 et 2,000.
    A présent si tu trouves un nombre entre 0,999... et 1, t'auras prouvé que ces 2 nombres ne sont pas égaux ! Mais biensûr qu'un tel nombre n'existe pas.

    Et pour en revenir au petit calcul.

    f=0,9999...
    10f = 9,999...
    et 9+f = 9,9999...

    Puisque les 3 petits points signifient qu'il existe une infinité de 9 après la virgule, 10f=9+f.
    Infini+1=Infini .
    Ce nombre f, tu peux l'écrire 0,99... ou 0,99999... ou 0,999.... C'est le même.
    Maintenant, si tu n'y crois pas, c'est que t'as tes convictions et que tu n'es pas scientifique "dans l'âme". Et là, on ne peut rien y faire.

  22. #52
    justine&coria

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par GuYem
    Tu as bien raison. Le problème vient de l'écriture. Au départ 0.9999... ça ne veut rien dire. Il faut lui donner une définition et la voilà :

    0.999... := sum (9*10^-k ; k=1..+inf). C'est celle que l'on comprend intuitivement et alors 0.999 c'est la même chose que 1.
    Tu parles bien d'infini (tu fais varier k entre 1 et +inf). Alors, pourquoi ne peut-on pas imaginer une infinité de 9 après la virgules, infinité qui serait représentée par 3 petits points. Nos infinis ont la même signification.
    Bon, d'accord, bien sûr c'est sûrement pas une écriture mathématique réglementaire, mais ça permet de se l'"imaginer". Ca ne veut pas rien dire.

  23. #53
    GuYem

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bon d'accord j'ai dit que ça ne voulait rien dire pour bien mettre l'accent sur le fait qu'il faut penser à ce nombre comme la somme d'une série et non comme un zero avec pleins de neuf aprés.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  24. #54
    elghazi

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonjour
    Tous ça c'est equivalent a dire que chaque élément nombre qui s'écrit avec une des une représentation périodique des chiffres après la virgule et un rationnel je m explique:
    si x=0,abcdabcd......abcd alors x est un rationnel donc on peut l écrire sous forme de dans notre cas q=1, je vous donne un exemple:
    x=0,9485948594859485......9485 alors
    1000*x=9485,94859485....9485
    =9485+0.94859485...9485
    =9485+x
    donc
    1000*x-x=9485 et finalement x=

  25. #55
    Romain BERTOUY

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par justine&coria

    f=0,9999...
    10f = 9,999...
    et 9+f = 9,9999...

    Puisque les 3 petits points signifient qu'il existe une infinité de 9 après la virgule, 10f=9+f.
    Infini+1=Infini .
    Ce nombre f, tu peux l'écrire 0,99... ou 0,99999... ou 0,999.... C'est le même.
    Maintenant, si tu n'y crois pas, c'est que t'as tes convictions et que tu n'es pas scientifique "dans l'âme". Et là, on ne peut rien y faire.
    oui mais comme déjà expliqué 0,999... c'est une supercherie qui induit dans le doute en faisant un rapprochement entre 0,999 et ton 0,999... c'est pour éviter ces trucs là qu'on introduit les sommes, c'est pas pour embêter le monde.

    Après : "
    f=0,9999...
    10f = 9,999...
    et 9+f = 9,9999...
    "

    C'est curieux de faire des calculs avec nombre avec une infinité de décimales sans savoir si ça converge et vers quoi ? Si l'écriture sous une autre forme que les séries doit permettre d'écrire des choses fausses, je suis pas d'accord.
    Romain

  26. #56
    martini_bird

    Re : 4.9999...=5 ?

    Salut,

    qu'est-ce qui empêche d'ailleurs de placer une infinité de décimales à gauche de la virgule: comme 1=...0001, on peut aussi imaginer par exemple le nombre ...333.

    Absurdité, me direz-vous. Et bien non!
    Tout ceci se formalise très bien et on peut même les additionner, multiplier, etc. dans le cadre par exemple des corps p-adiques. Et pour celà, on est bien obligé de parler de sommes et de convergence.

    Cordialement.

  27. #57
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    qu'est-ce qui empêche d'ailleurs de placer une infinité de décimales à gauche de la virgule: comme 1=...0001, on peut aussi imaginer par exemple le nombre ...333.

    Absurdité, me direz-vous. Et bien non!
    Tout ceci se formalise très bien et on peut même les additionner, multiplier, etc. dans le cadre par exemple des corps p-adiques. Et pour celà, on est bien obligé de parler de sommes et de convergence.

    Cordialement.
    Si tu pouvais nous en dire plus Martini, ça semble très intéressant (Ou si tu as un lien web!) .
    S'il te plait. Merci d'avance.

    Ca me fait penser aux séries formelles...aucun rapport?
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  28. #58
    martini_bird

    Re : 4.9999...=5 ?

    Salut,

    les corps-adiques sont obtenus par complétion de Q pour la valeur abolue p-adique (donc la technique est la même que pour IR).

    Des généralités avec google ici ou ici.

    Il y a en effet un lien avec les séries formelles de Z[[X]] (l'anneau des entiers p-adiques en est un quotient): voir ce pdf.

    Cordialement.

  29. #59
    MâT70

    Re : 4.9999...=5 ?

    Oups dsl pour ma pirouette !! J'essayais d'aider avec mon niveau de 2nd

    Tout ce dont vous parler et le programme de l'année prochaine (une partie) je sens que je v mamuser lol...

  30. #60
    Le_boulet

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bon ! Je m'incline devant l'unanimité et devant la concision de vos démonstrations.

    C'est vrai que se serait stupide de ma part de vouloir nier l'évidence.

    Mais ce qui me gêne, une fois le résultat admis, à savoir: 0,999 ...=1. C'est la réflexion suivante:

    Dans l'ensemble IR, qui est continuement défini de -infini à +infini (autrement dit, il n'y a pas de "trous", et où chaque élément est unique), on se retrouve du coup avec par exemple,

    1) un élément distinct= 0,999 ...
    2) un autre élément distinct du premier= 1

    Ce qui veut dire que si ces 2 éléments sont égaux, la définition même de 1 peut être remise en cause (de même que la déf. de 0,999 ...), et qu'il y a donc redondance d'éléments.

    En poussant plus loin, il y a même dans IR une infinité d'éléments égaux:
    1,999 ... avec 2;
    4,999 ... avec 5;
    1,899999 ... avec 1,9;
    Etc ...

    Or "redondance d'éléments", c'est contraire à la définition de l'ensemble des rééls, non ?

    Où est-ce que je me trompe ?
    Dernière modification par Le_boulet ; 02/09/2005 à 17h59.

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