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4.9999...=5 ?



  1. #1
    cedric

    Question 4.9999...=5 ?

    Bonjour...

    Ma soeur m'a fait une démonstration mathématiques qui m'a laissé un peu sur le derrière :

    Démontrer que 4.9999... ( avec une infinité de 9 ) est égal à 5

    posons X = 4.9999..

    10X - X = 10*4.9999...- 4.9999...=49.9999...- 4.999...
    (les neufs se soustraient..)
    d'où 45 = 9X --> X= 5 = 4.9999...

    N'étant pas un grand matheux pouvez vous m'expliquer le pourquoi du comment de ce résultat ( axiome, postulat ?? )

    Merci

    -----


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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : 4.9999...=5 ?

    C'est pour éviter ce genre de situation que les mathématiciens n'écrivent jamais un nombre avec une infinité de termes.
    On dira que la suite 4.99 , 4.999, 4.9999, etc... tend vers 5 quand le nombre de décimales tend vers l'infini.
    On peut aussi dire que le résultat sera aussi proche de 5 qu'on veut, à condition de rajouter des décimales.
    Et là, c'est rigoureux.

  4. #3
    invite43219988

    Re : 4.9999...=5 ?

    Le pourquoi de ce résultat, c'est qu'il y a une infinité de 9 après le 4. 0.99999999...=1
    Ce résultat est tout à fait exact.

  5. #4
    Quinto

    Re : 4.9999...=5 ?

    Salut,
    c'est totalement rigoureux, mais il faut savoir ce que signifie
    4.999999... avec une infinité de 9.
    Ce n'est autre que la limite de la suite définie ainsi:

    4+Somme des U(k), pour k variant de 1 a n

    avec
    U(1)=0,9
    U(n+1)=U(n)/10

    C'est donc la somme des termes d'une suite géométrique.

    Sinon il y'a un autre moyen de voir ca, c'est de se ramener a la définition et d'utiliser une certaine propriété toplogique de R:

    si j'arrive a trouver un nombre compris entre a=4.9999999.... et 5 alors c'est qu'ils sont différents, sinon c'est qu'ils sont égaux (en effet s'il sont différents je peux toujours trouver un nombre entre les 2, en faisait par exemple la demi somme des 2: (5+a)/2 sera toujours compris entre a et 5)

    Si je trouve donc x tel que
    a<x<5
    alors forcément qu'aussi loin que l'on veut aller dans le développement décimal de x, on trouvera des 9 puisque 5>x>a, si on avait pas des 9 on aurait donc que x<a ou alors que x>5
    En particulier les développements décimaux de x et de a coincident a tout ordre, et donc en fait x=a, et donc en fait on ne peut pas trouver un tel x. Donc en fait 5=a

  6. #5
    Quinto

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    C'est pour éviter ce genre de situation que les mathématiciens n'écrivent jamais un nombre avec une infinité de termes.
    C'est pas vrai ca, c'est ainsi que Cantor a permis la démonstration de nombreux résultats.
    Notamment celui de l'équipotence de R et de R², ou de la non dénombrabilité de R...
    On fait la meme chose dans de nombreux domaine de l'analyse, mais pas qu'avec des nombres (développement en série entiere, en série de fourier, en série formelle etc...)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Remaillle

    Re : 4.9999...=5 ?

    le fameux argument diagonal de Cantor.....

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  10. #7
    Remaillle

    Re : 4.9999...=5 ?

    d'ailleurs il n'y a pas besoin de beaucoup de calcul pour montrer que 5 peut aussi s'écrire 4,999999..............en effet 5-4,99999999.....=0,0000000..... .=0 et donc 4,999999....=5

  11. #8
    shokin

    Re : 4.9999...=5 ?

    C'est pourtant bien connu que si on a y=x.9999.... (x étant un chiffre de 1 à 9)

    10y = 10x+9.9999...
    y = x.9999
    9y = 9x
    y=x

    Si x=0, 9y=9...

    ou encore :

    si y=4.3907°barre

    10'000y=43907.3907°barre
    y=4.3907°barre
    9999y=43903.

    Et l'on simle y fit, hé ! trouve y ! puits x

    Non mais !

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  12. #9
    prgasp77

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par shokin
    C'est pourtant bien connu que si on a y=x.9999.... (x étant un chiffre de 1 à 9)

    10y = 10x+9.9999...
    y = x.9999
    9y = 9x
    y=x
    Heu ... Si y = x.999... (base 10) <=> y = x + 1
    ex : 6 = 5.999...
    --Yankel Scialom

  13. #10
    Futura Moi

    Re : 4.9999...=5 ?

    Tu peux aussi résoudre ca avec une somme de terme général 9/10^k pour k variant de 1 à n . On a tout d'abord cette suite qui converge vers 1 ( c'est une limite ) . T'en déduis donc que la série associé=0.9+0.09+0.009+.....=0 .9999999999.....=1( car 1 est la limite, ce qu'il y a avant-les petits points- n'est qu'une écriture pour représenter ce qu'il se passe)

  14. #11
    totopouett

    Re : 4.9999...=5 ?

    Je comprends pas trop la demo de shokin :
    10y = 10x+9.9999...
    y = x.9999
    9y = 9x
    y=x
    comment fait-on pour passer de la 2ème ligne à la suivante ??
    Et ensuite si
    y=4.3907°barre

    10'000y=43907.3907°barre
    y=4.3907°barre
    9999y=43903.
    Peut-onm'expliquer la chose ??
    Je vous remercie d'avance

  15. #12
    Le_boulet

    Re : 4.9999...=5 ?

    Attendez là !!

    0.999999 ... (à l'infini), ne sera jamais égal à 1. Et il n'y a pas de démonstrations à faire pour ca ! En tous cas pas plus que d'essayer de montrer que 1 est différent de 2.

    Un chou ne sera jamais égal à une carotte !

    Si c'est juste les décimales qui vous gênent, c'est pas la peine de faire des maths. Il faut arréter de vous embrouiller les méninges avec ce genres de bêtises. Vous perdez du temps !!

    Excusez-moi, mais je suis un peu surpris, là !
    Dernière modification par Le_boulet ; 28/08/2005 à 00h29.

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  17. #13
    martini_bird

    Re : 4.9999...=5 ?

    Salut,

    merci de relire ce fil (message #4) aimablement préparé par votre serviteur...

    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 28/08/2005 à 00h31.

  18. #14
    f6bes

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bjr,
    Bien lourd tout ça.
    Si l'on donne une repas à 4,9999999999 milliards d'individus
    chaque jour et qu'il y ai 5 milliards d'individus, y en aura
    toujours un avec une gamelle vide !!!!!
    N-1 n'est pas égal à N
    Cordialement

  19. #15
    chrisgir

    Re : 4.9999...=5 ?

    Oui mais 4.999999999 milliards d'individus ca fait un nombre entier d'individus (après ca fait plus un nombre entier d'individus et là y a problème pour quelqu'un!!!) . La on raisonne sur une infinité de décimales 4.999999999999......... donc pas un nombre entier...

  20. #16
    Gwyddon

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Le_boulet
    Attendez là !!

    0.999999 ... (à l'infini), ne sera jamais égal à 1. Et il n'y a pas de démonstrations à faire pour ca ! En tous cas pas plus que d'essayer de montrer que 1 est différent de 2.

    Un chou ne sera jamais égal à une carotte !

    Si c'est juste les décimales qui vous gênent, c'est pas la peine de faire des maths. Il faut arréter de vous embrouiller les méninges avec ce genres de bêtises. Vous perdez du temps !!

    Excusez-moi, mais je suis un peu surpris, là !
    C'est ironique j'espère ? Parce que dans ce post il y a au moins 3 démo du fait que x.9999999.... = x+1 (avec x chiffre de 0 à 9) dont 2 entièrement rigoureuse

    Sinon, vous pouvez toujours aller consulter l'excellente FAQ de martini_bird, ou encore la biblio des maths
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  21. #17
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par f6bes
    Bjr,
    Bien lourd tout ça.
    Si l'on donne une repas à 4,9999999999 milliards d'individus
    chaque jour et qu'il y ai 5 milliards d'individus, y en aura
    toujours un avec une gamelle vide !!!!!
    N-1 n'est pas égal à N
    Cordialement

    Pourtant la démonstration proposée par Martini dans le message juste avant le tien est compréhensible, elle devrait suffir à convaincre tout un chacun!

    Il faut bien se rendre à l'évidence que les "9" sont en quantité infinie.
    Donc, pour tout nombre réel E strictement positif, il existe un nombre entier positif N tel que si le nombre de "9" est supérieur à N, alors la distance entre 4.9999... (avec n "9") et 5 est inférieure à E.
    C'est-à-dire, si on note u(n)=4.999... la suite formée de n "9" après la virgule et de partie entière 4, on a " pour tout E réel strictement positif, il existe N entier naturel tel que si n>N alors |u(n)-5|<E ".
    Ainsi, pour E suffisamment proche de 0, on peut rendre u(n) et 5 aussi proches que l'on veut.
    C'est ce que l'on exprime par lim u(n)=5, où lim u(n) peut se représenter par 4.999... avec une infinité de 9 après la virgule.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  22. #18
    Sephi

    Re : 4.9999...=5 ?

    Non mais franchement, 4,999 individus ("quatre virgule 999 individus"), ça veut dire quoi ? Je veux bien que des personnes soient des demi-portions, mais quand-même quoi ...

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  24. #19
    chouket

    Re : 4.9999...=5 ?

    coucou,

    si on reproduit la démo de départ avec un nombre fini de 9, on voit que ça ne marche pas, alors pourquoi est ce que ça marcherait avec un nombre infini de 9?
    si X=4,99
    10X-X=49,9-4,9=45,01
    si on l'étend à l'infini, ça devrait nous donner: 9X=45,000000......001, ce qui, en maths ne s'arrondi pas à 45 (aaah rigueur quand tu nous tient... )

    si on considère que 45,00...01=45 alors la démonstration est inutile puisque on considère dès le début que 4,99999...=5 (infinité de nombre dans les deux cas)

    (je suis peut etre allée un peu vite dans mes résultats, donc si j'ai dit une absurdité sans m'en rendre compte , merci de m'en faire part)

    amicalement,
    chouket
    Le coeur le plus sensible à la beauté des fleurs est toujours le premier blessé par ses épines

  25. #20
    f6bes

    Re : 4.9999...=5 ?

    Rebjr,
    Je suis pas trés bon en math, surtout dans ce genre de démonstration.
    Cordialement

  26. #21
    chouket

    Re : 4.9999...=5 ?

    coucou,
    pour répondre à Sephi, c'est pas 4.999 individu, c'est 4.999 milliards d'individu, je suis cependant d'accord sur le fait qu'avec un nombre infini de 9, on serait en petits morceaux...
    Le coeur le plus sensible à la beauté des fleurs est toujours le premier blessé par ses épines

  27. #22
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par chouket
    coucou,
    pour répondre à Sephi, c'est pas 4.999 individu, c'est 4.999 milliards d'individu, je suis cependant d'accord sur le fait qu'avec un nombre infini de 9, on serait en petits morceaux...
    Pas forcément infini, quelques 9 de plus suffisent à en démembrer quelqu'uns .
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  28. #23
    Sephi

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par chouket
    si on l'étend à l'infini, ça devrait nous donner: 9X=45,000000......001, ce qui, en maths ne s'arrondi pas à 45 (aaah rigueur quand tu nous tient... )
    Ce n'est pas une question d'arrondi. Ton "1" final, il n'arrive jamais car il y a une infinité de zéro avant En fait, quel que soit l'endroit où tu veux situer ton 1, tu devras le remplacer par un zéro et situer ton 1 plus loin. En d'autres termes, tu ne peux situer ton 1 à aucun endroit, ou encore qu'il n'y a pas de 1. C'est bien 45,000... = 45.

    si on reproduit la démo de départ avec un nombre fini de 9, on voit que ça ne marche pas, alors pourquoi est ce que ça marcherait avec un nombre infini de 9?
    Les propriétés du fini sont différentes de celles de l'infini. Exemple débile, si tu prends un nombre positif quelconque non-nul, et que tu le divises par deux, le résultat est toujours un nombre non-nul. Et pourtant, si tu le divises par deux à l'infini, le résultat devient nul.
    Dernière modification par Sephi ; 28/08/2005 à 10h57.

  29. #24
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par chouket
    10X-X=49,9-4,9=45,01
    T'es sûr de ce que tu as écrit?
    Dernière modification par evariste_galois ; 28/08/2005 à 10h56.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

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  31. #25
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Sephi
    Les propriétés du fini sont différentes de celles de l'infini. Exemple débile, si tu prends un nombre positif quelconque non-nul, et que tu le divises par deux, le résultat est toujours un nombre non-nul. Et pourtant, si tu le divises par deux à l'infini, le résultat devient nul.
    Excellente approche, je crois que tout est dit. Encore des sceptiques ?
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  32. #26
    chouket

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par evariste_galois
    T'es sûr de ce que tu as écrit?
    oups, c'était 49.9-4.99=45.01
    mais je comprend où vous voulez en venir... même si pour moi, en divisant par 2 un infinité de fois un nombre quelconque, on obtiendra jamais 0, ce nombre tendra seulement vers 0... je suis peut etre trop terre à terre...
    bonne fin d'aprem'
    chouket
    Dernière modification par chouket ; 28/08/2005 à 12h24.
    Le coeur le plus sensible à la beauté des fleurs est toujours le premier blessé par ses épines

  33. #27
    GuYem

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par chouket
    oups, c'était 49.9-4.99=45.01
    mais je comprend où vous voulez en venir... même si pour moi, en divisant par 2 un infinité de fois un nombre quelconque, on obtiendra jamais 0, ce nombre tendra seulement vers 0... je suis peut etre trop terre à terre...
    bonne fin d'aprem'
    chouket
    Comme on l'a dit plus haut, ecrire 4.99999 sand définir ce que ca veut dire peut-être dangereux. Il faut voir cela comme la somme d'une série géometrique. A ce moment-là ça fait clairement 5.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  34. #28
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par chouket
    oups, c'était 49.9-4.99=45.01
    Non, c'est toujours pas le bon résultat. Allez, un petit effort !
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  35. #29
    Nikkau

    Re : 4.9999...=5 ?

    série, quand tu nous tiens...
    Il s'agit d'une limite, donc ce qui paraît intuitif est rarement juste...
    On peut même montrer des résultats plus généraux du genre :
    si il existe un rang à partir duquel il n'y a plus que des 9 dans le développement décimal d'un nombre, alors c'est un rationnel...

    Il faut juste se mettre dans la tête que quand on passe aux "infinis", on ne peut raisonner comme on le fait d'habitude...

  36. #30
    martini_bird

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Nikkau
    si il existe un rang à partir duquel il n'y a plus que des 9 dans le développement décimal d'un nombre, alors c'est un rationnel...
    Mieux: si à partir d'un certain rang, la suite des décimales d'un nombre est périodique, alors ce nombre est rationnel. Et c'est aussi une condition suffisante.

    Cordialement.

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