4.9999...=5 ?

[invite047471c1]

Bonsoir,

...
j'ai l'impression que le seul paradoxe est que l'on ait pu écrire 5 pages sur le sujet...

Ne soyez pas si sévère. Je pense que tous ceux qui, comme moi ne sont pas familiers avec les conventions de notation, auront progressé vers la compréhension du problème.

Achtung!
J'avais bien ecrit 4 + sum (9*10^-k , k=1..inf), ce qui pour moi veut dire la même chose que lim n-> inf (4 + sum (9*10^-k , k=1..n)) .

Ce que je veux dire par "il ne faut pas poser l'expression égale à sa limite" c'est qu'il ne faut pas croire que 4 + sum (9*10^-k , k=1..n) = 5 quand un certain n est donné. C'est complètement tautologique

Nous avions compris que écrire 0.9999999… est équivalent à écrire

Nous apprenons donc en plus que ces deux écritures :

et sont équivalentes.

Comme pour moi, et beaucoup je crois, il était clair dès le début que :


Il est donc rigoureux d’écrire : .

Il est donc également rigoureux d’écrire 0.999999…. = 1 puisque cela signifie bien que la limite de 0.9999999… tend vers 1. Limite que ne sera d’ailleurs jamais atteinte.

Je crois que nous sommes maintenant tous d’accord.

Mais quand même, j'ai du mal à lire 0.99999…. sans voir écrit le mot limite.

Cordialement,
Pferdlieb.
-----

[invitea77054e9]

Il est donc également rigoureux d’écrire 0.999999…. = 1 puisque cela signifie bien que la limite de 0.9999999… tend vers 1. Limite que ne sera d’ailleurs jamais atteinte.

Une petite précision, 0.999... est un nombre, donc parler de limite de 0.999... n'est pas correct.

[GuYem]

Une petite précision, 0.999... est un nombre, donc parler de limite de 0.999... n'est pas correct.

Vous croyez pas qu'on en sortira jamais franchement?

Et si on arrétait d'écrire 0.9[censuré] ?

[invitea77054e9]

Vous croyez pas qu'on en sortira jamais franchement?

Et si on arrétait d'écrire 0.9[censuré] ?

Ca ne coûte pas grande d'être un minimum rigoureux, et ça permet de ne pas faire de confusion, ce à quoi certains s'emploient sur ce post. Et c'est tout à leur honneur d'essayer de comprendre ce qui ne va pas.
Par exemple, quand on parle de limite de et quelques lignes plus bas de limite de 0.999... tout en postulant que 0.999… = 1 , il y a je pense matière à réctifier.

[invite7d372e7e]

salut à tous,

pour les derniers réticents :
divisons 1 par 3, on trouve donc deux écritures d'une même valeur :
soit 1/3 soit 0.333333... (les ... représentent la succession infini de 3)
et ces deux valeurs sont égales (là je pense que tout le monde arrive à ce représenter mentalement 1/3)
donc 1/3=0.3333333...
donc 1=0.9999999.....

cordialement,

p.s; peut-être que ce fil arrivera à une infinité de posts?

[GuYem]

cordialement,

p.s; peut-être que ce fil arrivera à une infinité de posts?

mort de rire

[invitebe53ee61]

salut à tous,

pour les derniers réticents :
divisons 1 par 3, on trouve donc deux écritures d'une même valeur :
soit 1/3 soit 0.333333... (les ... représentent la succession infini de 3)
et ces deux valeurs sont égales (là je pense que tout le monde arrive à ce représenter mentalement 1/3)
donc 1/3=0.3333333...
donc 1=0.9999999.....

cordialement,

p.s; peut-être que ce fil arrivera à une infinité de posts?

Bonjour à tous...
Je ne pensais pas que ce post irait si loin...
En lisant toutes les explications, cette derniere est la plus élégante bravo...

[Le_boulet]

Mais bon sang ! faut-il changer de notation dés qu'un problème nous echappe ?

Encore une fois, je suis prêt à admettre ce dont vous êtes unanimement convaincu.

Mais j'ai posé une question précise:

Si j'égraine les éléments de l'interval [0,1] de IR avec la notation décimale (Je ne vois pas qui ou quoi pourrait m'en empêcher si je décide que "..." veut dire "une infinité de fois le chiffre qui précède les trois petits points":

je vais commencer par 0 donc,
puis 0,000 ... 1,
puis 0.000 ... 2,

(etc)

puis 0.99999 ...8
puis 0.99999 ...9
puis 1.

J'ai donc ainsi enuméré tous les éléments de mon interval sans oublier personne ! Et de plus, chaque élèment est unique.

Maintenant, dire que le dernier élément de cette suite est égal à l'avant dernier (dans IR n'oublions pas) me semble un abus. Et vouloir en sortir par un changement de système de notation aussi !!

Donc, selon ma notation telle que je l'ai définie, 0.9999 ... est différent de 1. CQFD.

Excusez-moi, je ne veux pas paraître lourd (je sais, c'est déjà trop tard ) mais j'aimerais bien que l'on me réfute objectivement.

[inviteb85b19ce]

je vais commencer par 0 donc,
puis 0,000 ... 1,
puis 0.000 ... 2,

(etc)

puis 0.99999 ...8
puis 0.99999 ...9
puis 1.

Salut Le_boulet,

Seules les écritures du type 0.99999... (infinité de 9) ou encore par exemple 0.3737373737... (infinité de "37") ont un sens. Il faut une périodicité (à l'infini) dans la partie décimale pour pouvoir établir l'égalité du nombre avec son expression sous forme de série, ce qui n'est pas le cas pour 0,000...1 (c'est d'ailleurs une notation incorrecte dans ce cas là).

[Le_boulet]

Dans mon système de notation décimal, je précise que 0.9999 ...9 est égal à 0.9999 ...

[invitea77054e9]

...J'ai donc ainsi enuméré tous les éléments de mon interval sans oublier personne ! Et de plus, chaque élèment est unique...

...Maintenant, dire que le dernier élément de cette suite...

Décidemment, ce sujet fait débat, mais c'est tout à fait normal .

En fait, avant de penser à indéxer les élèments de lR, ou à les énumérer, demande toi si c'est possible. On entre là dans la notion de dénombrabilité. Pour lN, Z et Q, tu peux trouver un moyen de les énumérer, mais pas pour lR. Cela vaut bien évidemment aussi pour l'intervalle [0;1].

Laisse-moi à présent te poser une question, toi qui es capable d'énumérer tous les réels compris entre 0 et 1: Es-tu d'accord avec la définition suivante?
"Soit x et y deux élèments de lR. On dira que x est différent de y s'il existe un réel z tel que x < z < y ."

Partant de cette définition, peux-tu me donner, ou prouver l'existence d'un réel compris strictement entre 0.999... et 1 ?

[invitebe53ee61]

salut ..mais en enumérant 0.999... puis 1 tu répétes le même élément...
Le probleme vient d'ou?
Si tu prend un cube , le volume de ce cube est divisible en une infinité de volumes cubique infiniments petits..pourtant les 2 sont identiques ? non? ...
Je suis sur que ca ne serta à rien ce que j'ai écrit mais bon...

[invitea77054e9]

A mon tour, j'affirme que la suite U(n) qui à n associe le nombre 0.99...99 (n "9" après la virgule) admet pour limite 0.999... (une infinité de 9 après la virgule) mais aussi pour limite 1, donc 0.999...=1.
Pourquoi? Tout simplement parce que je sais que quelque soit le réel strictement positif E que je considère, je pourrais toujours trouver un rang à partir duquel la suite lU(n)-1l est inférieur à E.
Or, si 0.999... et 1 étaient différents, il existerait un réel z qui s'intercallerait strictement entre ces deux nombres (et d'ailleurs, il en existerait une infinité!). Mais ceci contredirait l'hypothèse selon laquelle je peux rendre la suite U(n) aussi proche de 1 que je veux (à partir d'un certain rang, aussi grand soit-il d'ailleurs!).

[invite7d372e7e]

salut Le_boulet,

Excusez-moi, je ne veux pas paraître lourd (je sais, c'est déjà trop tard ) mais j'aimerais bien que l'on me réfute objectivement.

il y a déjà dans ce fil pas mal de démonstrations justes qui prouvent cette égalité.

maintenant ce que tu peux faire :
puisque tu dis que dans IR, 0,9999999.... n'est pas 1, alors il doit logiquement y avoir une infinité de valeurs entre ces deux nombres réels.
je te propose donc de nous donner une valeur intermédiaire à 0,9999.... et 1.

cordialement et bon courage.

edit: c'est redondant avec le post d'Evarist_galois, qui est plus rapide que moi.

[invitebe53ee61]

je te propose donc de nous donner une valeur intermédiaire à 0,9999.... et 1.
cordialement et bon courage.

La je vais me faire modérer...( cad infiniment modérer ? lol )
1-0.999... = 0.000... = 0
donc?

[invite7d372e7e]

ben rien du tout,

je veux juste dire à Le_boulet que s'il me trouve un seul réel qui est compris entre 0,9999.... et 1, je me converti illico au grand dieu Tagada... et je laisse tomber les math

cordialement.

et faut que j'arrête de revenir sur ce fil.

[invitea77054e9]

ben rien du tout,

je veux juste dire à Le_boulet que s'il me trouve un seul réel qui est compris entre 0,9999.... et 1, je me converti illico au grand dieu Tagada... et je laisse tomber les math

cordialement.

et faut que j'arrête de revenir sur ce fil.

Je te propose un nombre: 1 . En effet, 1 est compris entre 0.999... et 1 .... ô dieu Tagada... aurevoir les maths

[Le_boulet]

salut Le_boulet,



il y a déjà dans ce fil pas mal de démonstrations justes qui prouvent cette égalité.

maintenant ce que tu peux faire :
puisque tu dis que dans IR, 0,9999999.... n'est pas 1, alors il doit logiquement y avoir une infinité de valeurs entre ces deux nombres réels.
je te propose donc de nous donner une valeur intermédiaire à 0,9999.... et 1.

cordialement et bon courage.

edit: c'est redondant avec le post d'Evarist_galois, qui est plus rapide que moi.

Et bien oui, en restant scrupuleusement dans ce système de notation: par exemple 0,9999 ... 9 ...,
ou encore 0,999 ...9 ...9,
Etc ! Si vous voulez.

Mais ce sera toujours égal à 0,999 ... mais pas à 1.

Je dois avoir une grave déconnection neuronale ! J'ai appelé le Samu

Sérieusement, 1 est unique. Et il n'y a pas de raison que dans la même notation élémentaire base 10 des rééls on trouve un autre élément qui lui soit égal.

[invitea77054e9]

Et bien oui, en restant scrupuleusement dans ce système de notation: par exemple 0,9999 ... 9 ...,
ou encore 0,999 ...9 ...9,
Etc ! Si vous voulez.

Mais ce sera toujours égal à 0,999 ... mais pas à 1.

Je dois avoir une grave déconnection neuronale ! J'ai appelé le Samu

Sérieusement, 1 est unique. Et il n'y a pas de raison que dans la même notation élémentaire base 10 des rééls on trouve un autre élément qui lui soit égal.

Salut, tu pourrais au moins prendre le temps de répondre à mes questions (puisque moi je prend la peine de répondre aux tiennes), à moins que tu ne sèches?

De plus, et même si on le répète pour la 20ième fois, il ne faut pas confondre un nombre et sa représentation. Un nombre peut avoir plusieurs représentations, par exemple 1/3 et 0.333... (à moins que là encore tu ne sois pas d'accord!).

[Le_boulet]

Désolé Evariste, je pensais que j'avais répondu par d'autres posts interposés.

Si l'on reste "stricto sensu" dans un système de notation, celui dans lequel j'ai décidé de rester pour étayer ma position (et il n'est pas question de changer de langue ou de base numérique ou de quoi que ce soit pour le moment), autrement dit pas de "1/3" appartenant à Q trop restrictif, ou d'autres ensembles qui le sont encore plus, je n'ai à ma disposition qu'un seul mode de représentation:

A savoir les 10 chiffres, la virgule et les fameux 3 petits points pour désigner une suite infinie de chiffres semblables.

J'ai essayé de dire qu'avec cette notation rudimentaire, Nous étions capable de représenter n'importe quel chiffre de manière unique.

Or:

Si l'on reste dans ce cadre mathématique, votre démo est fausse: votre f ne peut pas être le même que lui-même multiplié par 10.

(et donc ne me ramenez pas sur le tapis que 10*infini= infini)

Il est hors de question d'assimiler 0.999 ... avec dix fois sa valeur soit 9,999 ... (revoyez la démo, c'est ce que vous faites).

Quant à trouver une valeur intérmèdiaire entre 0.999 ... et 1. Par définition, il y en a une infinité.

[invite7d372e7e]

Je te propose un nombre: 1 . En effet, 1 est compris entre 0.999... et 1 .... ô dieu Tagada... aurevoir les maths

ben voila, ça m'apprendra à manquer de rigueur.

merci à Evariste_galois de me corriger.

cordialement.

[invite7d372e7e]

Quant à trouver une valeur intérmèdiaire entre 0.999 ... et 1. Par définition, il y en a une infinité.

et bien allez-y donnez en.

cordialement.

[Le_boulet]

et bien allez-y donnez en.

cordialement.

Et bien comme je l'ai dit plus haut: 0,999 ... 9
Ou 0,999 ... 9 ... 9 ... 9 ...

Etc

Soit 0,999 ... Donc toujours différent de 1 !

En respectant la notation définie au préalable bien sûr.

Même Cantor a été obligé de définir plusieurs infinis. C'est donc qu'il en avait besoin dans sa théorie des ensembles ( Aleph1, 2, etc)

[invitea77054e9]

Si l'on reste dans ce cadre mathématique, votre démo est fausse: votre f ne peut pas être le même que lui-même multiplié par 10.

(et donc ne me ramenez pas sur le tapis que 10*infini= infini)

Il est hors de question d'assimiler 0.999 ... avec dix fois sa valeur soit 9,999 ... (revoyez la démo, c'est ce que vous faites).

S'il te plait, pourrais-tu me citer dans quel message tu as vu que quelqu'un assimilait 0.999... avec 9.999... ?

Aussi, il ne faut pas confondre notation infinie et infini.
Si tu parles de nombres cardinaux, et par exemple du nombre Aleph0 (cardinal de lN), tu pourras considérer que 10*Aleph0=Aleph0, pour la simple raison que lN est isomorphe à (lN)^10 (produits cartésiens de lN).

[invitea77054e9]

Et bien comme je l'ai dit plus haut: 0,999 ... 9
Ou 0,999 ... 9 ... 9 ... 9 ...

Etc

Soit 0,999 ... Donc toujours différent de 1 !

En respectant la notation définie au préalable bien sûr.

Même Cantor a été obligé de définir plusieurs infinis. C'est donc qu'il en avait besoin dans sa théorie des ensembles ( Aleph1, 2, etc)

En utilisant tes notations, peux-tu me démontrer que 0.999...9...9 est différent de 0.999...9 ? (ça me fait mal d'écrire ça )

Au fait, est-ce que 1/3 est différent de 0.333... selon toi?

[GuYem]

A savoir les 10 chiffres, la virgule et les fameux 3 petits points pour désigner une suite infinie de chiffres semblables.

la notion des 3 fameux petits points, tu peux nous la définir correctement avec des objets mathématiques? Parce que jsuque là c'est un truc vague. quand même!

Forcément si on fait des calculs avec des trucs vagues on ne va pas loin et/ou on 'embrouille. La preuve 7 pages de topic sur une limite de série il faut en vouloir quand même!!

[invite7d372e7e]

salut Le_boulet,

je pense qu'il est absolument nécessaire que tu revois ton cours d'analyse sur les séries. sinon tu n'avanceras pas.

en toute amitiè,
cordialement.

[invite047471c1]

Bonsoir,

Une petite précision, 0.999... est un nombre, donc parler de limite de 0.999... n'est pas correct.

Le forum m’est témoin, j’essaye de recevoir des arguments rigoureux, basés sur des définitions et des théorèmes. Encore faudrait-il que les définitions soient constantes.

J’ai cru lire au début de ce post, que 0.999999….. est une autre façon d’écrire la suite (dont la limite tend vers 1). Ce n’est donc pas un nombre. Maintenant si vous voulez absolument en faire un nombre, il me semble que mes profs de math utilisaient la notation pour le noter par ce que:

0.9999 …
or comme

Je ne vois pas bien comment il se pourrait que 0.9999… = 1.

"Soit x et y deux élèments de lR. On dira que x est différent de y s'il existe un réel z tel que x < z < y ."

Je ne suis pas d’accord avec cette définition qui, si on la restreignait à , donnerait quelque chose de très bizarre. Prenez 0 et 1. Puis 0 et 2. Je vous laisse imaginer…

En ce qui concerne l’argument suivant :

pour les derniers réticents :
divisons 1 par 3, on trouve donc deux écritures d'une même valeur :
soit 1/3 soit 0.333333... (les ... représentent la succession infini de 3)
et ces deux valeurs sont égales (là je pense que tout le monde arrive à ce représenter mentalement 1/3)
donc 1/3=0.3333333...
donc 1=0.9999999.....

Il nous replace exactement dans le même cas problématique. Il ne démontre pas que même si certains pourraient le croire au premier abord.


Cordialement,
Pferdlieb.

[Le_boulet]

Evariste,

S'il te plait, pourrais-tu me citer dans quel message tu as vu que quelqu'un assimilait 0.999... avec 9.999... ?

Bon , là tu as raison, j'aurais du dire f=0,999 ... est introduit une première fois, puis multiplié par 10, et ensuite on décrète que ce même nombre "augmenté" est égal a 9 plus lui-même, donc 9,999 ...

Même en le disant en français ça choque, donc "a fortiori" en maths !

Quant au 1/3, je ne le connais pas dans le contexte que je me fixe (provisoirement je vous rassure ), mais je connais 0,333 ...

Evariste et guyem,

En utilisant tes notations, peux-tu me démontrer que 0.999...9...9 est différent de 0.999...9 ? (ça me fait mal d'écrire ça )

C'est juste une notation que tout le monde comprend. Je reconnais que ça ne ressemble à rien en maths, mais on a le droit de définir le cadre (même en maths ) dans lequel on veut travailler. Les 3 points sont simplement là comme symbôle pour indiquer qu'il faut mettre une infinité de chiffres identiques à celui qui précéde le dit symbôle.

En plus ce symbôle est parfaitement accépté dans les séries, suites, développement limités, etc. Alors pourquoi pas là ?

Quand vous voyez le signe "racine", vous ne demandez pas systématiquement à votre interlocuteur de définir ce qu'il veut dire. Non ?

Mais bon !! Ceci dit, ne prenez pas cette discution comme une volonté de ma part de vouloir vous contredire. Prenez plutôt ça comme une série de questions que je me pose

[invitea77054e9]

Le forum m’est témoin, j’essaye de recevoir des arguments rigoureux, basés sur des définitions et des théorèmes. Encore faudrait-il que les définitions soient constantes.

J’ai cru lire au début de ce post, que 0.999999….. est une autre façon d’écrire la suite (dont la limite tend vers 1). Ce n’est donc pas un nombre.

n'est pas une suite, qu'on se le dise ! C'est un nombre réel que l'on écrit, au choix, 0.999... ou 1 !

Je ne suis pas d’accord avec cette définition qui, si on la restreignait à , donnerait quelque chose de très bizarre. Prenez 0 et 1. Puis 0 et 2. Je vous laisse imaginer…

J'ai donné une définition dans lR, ne me donne pas un contre-exemple dans lN !!!


Je commence à perdre patiente .