4.9999...=5 ?

**Gwyddon** · 02/09/2005, 17h34

Disons que tu fais une faute subtile, que je vais illustrer par un exemple :

Je t'affirme par exemple que 10(en décimal)=1010(en binaire)=12(en octal)

Ce ne sont pas trois nombres distincts, mais un et un seul nombre, sous trois écritures différentes

De même, 1,99999... = 2 : on a écrit le nombre "deux" sous deux écritures différentes, mais c'est toujours le même nombre

Il n'y a donc pas "redondance" d'éléments comme tu l'affirmes, tu avais confondu la notion de nombre et son écriture (qui peut se faire de plein de façons différentes).

Un autre exemple pour la route : $\text{[math]}$ , ce sont deux écritures différentes du même nombre (le nombre "moins un") mais c'est toujours le même nombre

**ericcc** · 02/09/2005, 17h35

Ce n'est pas parce que deux objets mathématiques ont des "noms" différents qu'ils sont distincts.
Une table se dit table en français mais Tisch en allemand et mesa en espagnol,mais c'est la même chose qui est désignée.

1 et 0.99999.... sont deux manières différentes d'appeler la même chose.

Enfin, je pense ?

Par exemple le message ci dessus dit la meme chose que le mien !!!!

**Le_boulet** · 03/09/2005, 02h16

Bon ok !! J'ai compris.

(je suis dur à la détente, je sais

)

Et du coup, je comprends mieux le post de Romain Bertouy sur le problème des notations ...

Bon ben voilà !! Je suis content

invite047471c1 · 05/09/2005, 09h34

Envoyé par 09Jul85

C'est ironique j'espère ? Parce que dans ce post il y a au moins 3 démo du fait que x.9999999.... = x+1 (avec x chiffre de 0 à 9) dont 2 entièrement rigoureuse

...

Bonjour,

Pouvez-vous indiquer les posts dont vous estimez qu'ils contiennent une démonstration rigoureuse ?

Cordialement,
Pferdlieb.

invite047471c1 · 05/09/2005, 09h39

Envoyé par Lagoon

En meme temps on vous demande pas de le croire ou non. C'est un FAIT rigoureusement DEMONTRE. Bref, aucune place pour le doute

Bonjour,

Permettez que je vous pose la même question qu'à 09jul85 : pouvez vous rappeler ce que vous considérez être la ou les démonstrations de ce fait ?

Cordialement,
Pferdlieb.

invitea77054e9 · 05/09/2005, 12h35

Envoyé par Pferdlieb

Bonjour,

Pouvez-vous indiquer les posts dont vous estimez qu'ils contiennent une démonstration rigoureuse ?

Cordialement,
Pferdlieb.

Salut,

Bienvenu sur ce forum

.

Vous pouvez vous rendre au message #13 qui lui-même vous dirige vers un autre post ou se trouve une démonstration rigoureuse.
L'utilisation des séries numériques, plusieurs fois proposée sur ce post, est aussi une possibilité intéressante, et on ne peut plus rigoureuse.
Mais, où voulez-vous en venir?

invite047471c1 · 06/09/2005, 13h16

Bonjour,

Envoyé par evariste_galois

Salut,

Bienvenu sur ce forum

.

Vous pouvez vous rendre au message #13 qui lui-même vous dirige vers un autre post ou se trouve une démonstration rigoureuse.
L'utilisation des séries numériques, plusieurs fois proposée sur ce post, est aussi une possibilité intéressante, et on ne peut plus rigoureuse.
Mais, où voulez-vous en venir?

Quand j’ai lu :

Envoyé par Lagoon

En meme temps on vous demande pas de le croire ou non. C'est un FAIT rigoureusement DEMONTRE. Bref, aucune place pour le doute
?

J'ai eu doute.

En effet le message 13 et ses divers pointeurs démontrent que la limite de 4.9999… tend vers 5. Mais heureusement, aucun ne démontrent que 4.9999... = 5. Voici donc où je veux en venir :

Supposons que :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

...

$\text{[math]}$

1=0

L’hypothèse de départ est donc fausse. CQFD.

Les remarques sur la topologie de l’espace des réels démontraient déjà parfaitement la fausseté de cette égalité. Il me semble qu’un autre message pointait également l’erreur de la « démonstration » de l’égalité proposée.

Cordialement,
Pferdlieb.

**ericcc** · 06/09/2005, 13h36

Tu fais plusieurs erreurs :

Envoyé par Pferdlieb

En effet le message 13 et ses divers pointeurs démontrent que la limite de 4.9999… tend vers 5.
.

Un nombre ne tend pas vers un autre, il EST ce qu'il EST

Envoyé par Pferdlieb

Mais heureusement, aucun ne démontrent que 4.9999... = 5.

Si justement !

Supposons que :

Envoyé par Pferdlieb

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
.

Eh bien non, on dit que la limite de cette dernière expression pour n tendant vers l'infini est zéro

invite19415392 · 06/09/2005, 14h03

Envoyé par Pferdlieb
[Tex

4.999999\...\...= 5 \Rightarrow[/Tex]

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Et bien non, justement. TU le places où, ton 1 ?

invite047471c1 · 06/09/2005, 14h26

Bonjour,

Envoyé par Ericc

Eh bien non, on dit que la limite de cette dernière expression pour n tendant vers l'infini est zéro

C'est exactement ce que je dis dès le début de mon message. Si on pose une égalité sans prendre la précaution de passer par la limite, alors en l'écrivant sous une forme correcte, I.E. non pas 0.00000....1 mais $\text{[math]}$ forme avec laquelle on peut travailler mathématiquement, on arrive à l'absurdité 1=0.

Cordialement,
Pferdlieb.

invitea77054e9 · 06/09/2005, 15h03

Envoyé par Pferdlieb

Bonjour,

En effet le message 13 et ses divers pointeurs démontrent que la limite de 4.9999… tend vers 5. Mais heureusement, aucun ne démontrent que 4.9999... = 5. Voici donc où je veux en venir :

Les points de suspension sont équivalents à un passage à la limite, est-ce que tu l'as bien saisie?

Les remarques sur la topologie de l’espace des réels démontraient déjà parfaitement la fausseté de cette égalité. Il me semble qu’un autre message pointait également l’erreur de la « démonstration » de l’égalité proposée.

Il faudrait que tu m'indiques les-dits messages, parce que je n'en vois pas la teneur.

invitea77054e9 · 06/09/2005, 15h08

Envoyé par Pferdlieb

C'est exactement ce que je dis dès le début de mon message. Si on pose une égalité sans prendre la précaution de passer par la limite, alors en l'écrivant sous une forme correcte, I.E. non pas 0.00000....1 mais $\text{[math]}$ forme avec laquelle on peut travailler mathématiquement, on arrive à l'absurdité 1=0.

Lorsque tu écris 0.0000...1, que veux-tu dire? Qu'il y a une infinité de 0 ou qu'il existe un entier naturel n tel que 0.000...1= $\text{[math]}$ ?

invite5edba33a · 06/09/2005, 16h02

Bonjour à tous

Quand 1 = 0 !!!

l'opération 1-1+1-1+1 .... à l'infinie
peut s'ecrire (1-1)+(1-1)+(1-1) ... = 0
mais aussi 1+(-1+1)+(-1+1) ... = 1

La plus extrème prudence est indipensable lorsqu'on travail avec les infinies.

Il me semble d'ailleur que les mathematiciens planchent toujours sur la question des infinies. par exemple : Existe t'il un ensemble de taille intermediare entre celui des entiers et celui des réels ?

Quand à la question posée. OUI 4.99999 ... = 5
Il n'existe aucun nombre compris entre 4.9999... est 5 donc les 2 nombres sont égaux.

**GuYem** · 06/09/2005, 17h56

Envoyé par PaP

Bonjour à tous

Quand 1 = 0 !!!

l'opération 1-1+1-1+1 .... à l'infinie
peut s'ecrire (1-1)+(1-1)+(1-1) ... = 0
mais aussi 1+(-1+1)+(-1+1) ... = 1

La plus extrème prudence est indipensable lorsqu'on travail avec les infinies.

Il me semble d'ailleur que les mathematiciens planchent toujours sur la question des infinies. par exemple : Existe t'il un ensemble de taille intermediare entre celui des entiers et celui des réels ?

Quand à la question posée. OUI 4.99999 ... = 5
Il n'existe aucun nombre compris entre 4.9999... est 5 donc les 2 nombres sont égaux.

Trés bel exemple qui montre les pincettes qu'on doit prendre avec les infinis! Quand on parle de somme de série convergente (comme içi avec 4.9999) on sait de quoi on parle, pas de problèmes.

Quant à l'existence d'ensemble non dénombrable qui n'ont pas le même cardinal que R...

GillesH38a · 06/09/2005, 18h06

si je me souviens bien la somme d'une série ABSOLUMENT convergente (dont la somme des valeurs absolues converge) est convergente vers la même limite quelque soit l'ordre des termes.

Alors que si la série n'est pas absolument convergente (1-1+1-1..

mais aussi 1-1/2+1/3-1/4....) elle converge vers tout ce qu'on veut quand on change l'ordre : il suffit d'additionner les termes positifs jusqu'a depasser le resultat voulu, puis revenir en arriere avec les termes négatifs jusqu'a revenir en dessous, puis remettre un coup de positifs, etc... par approximation successives....

**GuYem** · 06/09/2005, 18h14

C'est juste mais il faut de plus supposer que la série est convergente.

La série 1+1-1+1-1 ... n'est pas convergente.
la série 1-1/2+1/3-1/4 ... est convergente mais non absolument convergente. C'est dans ce cas-là que l'on peut modifier l'ordre des termes pour faire converger vers ce qu'on veut, ou diverger.

invitea77054e9 · 06/09/2005, 19h42

Envoyé par gillesh38

si je me souviens bien la somme d'une série ABSOLUMENT convergente (dont la somme des valeurs absolues converge) est convergente vers la même limite quelque soit l'ordre des termes.

On parle alors de convergence commutative, et dans certains espaces, me semble-t-il, il y a équivalence entre convergence commutative et convergence absolue.

Alors que si la série n'est pas absolument convergente (1-1+1-1..

La série de terme générale U(n)=(-1)^n ne converge pas, puisqu'on peut extraire deux sous-suites de la suite des sommes partielles qui ne convergent pas vers la même limite (par exemple, U(2n) et U(2n+1)).

**GuYem** · 06/09/2005, 20h41

Envoyé par evariste_galois

On parle alors de convergence commutative, et dans certains espaces, me semble-t-il, il y a équivalence entre convergence commutative et convergence absolue.

Dnans tout espace complet il me semble que c'est équivalent en effet.

Envoyé par evariste_galois

La série de terme générale U(n)=(-1)^n ne converge pas, puisqu'on peut extraire deux sous-suites de la suite des sommes partielles qui ne convergent pas vers la même limite (par exemple, U(2n) et U(2n+1)).

Tu confonds pas un peu suite et série?

La série de terme générale U(n)=(-1)^n ne converge pas tout simplement parce que son terme général ne tend pas vers 0.

La suite de terme générale U(n)=(-1)^n ne converge pas pour la raison que tu as évoquée.

invite047471c1 · 06/09/2005, 21h09

Bonsoir,

Envoyé par evariste_galois

Lorsque tu écris 0.0000...1, que veux-tu dire? Qu'il y a une infinité de 0 ou qu'il existe un entier naturel n tel que 0.000...1= $\text{[math]}$ ?

Je veux dire :

0.0000...1 = lim n $\text{[math]}$ ∞ ( $\text{[math]}$ )

En fait, il me semble qu'une bonne partie du débat tourne autour de la formalisation de ce nombre qu'on ne peut pas se contenter d'écrire 4.9999 ... sans quoi on ne peut rien en dire.

Pour l'écrire correctement, on est obligé de faire appel à une limite (soit un epsilon qui tends vers 0, soit un n qui tends vers l'infi). Ensuite se pose la question de savoir si une expression peut-être être égale à sa limite. Je pense que c'est ce que l'on fait en disant que 4.9999.... = 5.

J'ai alors montré que si on pose que l'expression est égale à sa limite, ( 0.0000...1 = $\text{[math]}$ ), alors on arrive à une absurdité.

Mais je peux me tromper, merci alors de me montrer où,
Cordialement,
Pferdlieb.

**GuYem** · 06/09/2005, 21h48

lim n ∞ (10^-n ) ça fait 0.

Evidemment qu'il ne faut pas poser l'expression égale à sa limite, sinon on arrive à une contradiction comme tu nous l'as montré Pferdlieb.

Je le redis, 4.9999999... il ne faut pas y penser sous peine de devenir fou.
Il faut penser à 4 + sum (9*10^-k , k=1..inf) et ça fait 5

**Le_boulet** · 06/09/2005, 21h50

Ah ben je constate que le débat n'est pas clos !!

Tant mieux, car j'avais des doutes résiduels sur ces histoires de notations !

**Le_boulet** · 06/09/2005, 22h15

"Je le redis, 4.9999999... il ne faut pas y penser sous peine de devenir fou.
Il faut penser à 4 + sum (9*10^-k , k=1..inf) et ça fait 5 "

Arrrrrrrrrggh !!! Si je comprends bien, il suffit juste de changer de language ou de notation pour que tout le monde se comprenne !?

Y a pas comme un paradoxe, là ?

**Sephi** · 06/09/2005, 22h20

Envoyé par Le_boulet

"Je le redis, 4.9999999... il ne faut pas y penser sous peine de devenir fou.
Il faut penser à 4 + sum (9*10^-k , k=1..inf) et ça fait 5 "

Arrrrrrrrrggh !!! Si je comprends bien, il suffit juste de changer de language ou de notation pour que tout le monde se comprenne !?

Y a pas comme un paradoxe, là ?

Tant que la nouvelle formulation est cohérente avec l'ancienne, le paradoxe n'est qu'une illusion et n'a jamais existé.

Au Café de la Paix, grand-père, il se fait tard.
Oh! Qu'a fait de la pègre en péril ce fêtard?

invitea77054e9 · 06/09/2005, 22h44

Envoyé par GuYem

Tu confonds pas un peu suite et série?

La série de terme générale U(n)=(-1)^n ne converge pas tout simplement parce que son terme général ne tend pas vers 0.

La suite de terme générale U(n)=(-1)^n ne converge pas pour la raison que tu as évoquée.

Oui, je me rends compte que mon propos n'est pas très clair.
En fait, je voulais parler de sous-suite extraite de la suite des sommes partielles.
Si on note S(n) la suite des sommes partielles de la série de terme général U(n)=(-1)^n, alors on peut extraire deux sous-suites de S(n) ne convergent pas vers la même limite. (mais mon exemple n'est pas bon, puisque S(2n) et S(2n+1) n'ont pas de limite dans lR).
Bref, je me suis largement embrouillé

.

**GuYem** · 07/09/2005, 10h27

Envoyé par Sephi

Tant que la nouvelle formulation est cohérente avec l'ancienne, le paradoxe n'est qu'une illusion et n'a jamais existé.

Au Café de la Paix, grand-père, il se fait tard.
Oh! Qu'a fait de la pègre en péril ce fêtard?

Trop fort

GillesH38a · 08/09/2005, 07h27

oui Sephi tres fort, je n'en connaissais qu'une jusqu'a present (de v.hugo)
Gal, amant de la Reine, alla , tour magnanime
Galamment de l'Arène à la Tour Magne, à Nîmes.

pour revenir au sujet c'est vrai bien sûr 1-1+1-1 ne converge vers rien du tout quelque soit l'ordre des termes...
Et evidemment 4,999999... = 5, d'ailleurs tout nombre décimal non nul a donc deux écritures : une finie qui se termine par x,xxx...n
et une infinie x,xxx.....(n-1)999999999....

Question aux mathématiciens :
1) n'y a t il que les nombres décimaux qui n'ont pas d'écriture "unique"?
2) existerait-il un système de numérotation tel que chaque réel puisse être écrit de manière unique par une suite (bien sur eventuellement infinie) de symboles?

invite047471c1 · 08/09/2005, 08h21

Bonjour,

Envoyé par GuYem

lim n ∞ (10^-n ) ça fait 0.

Evidemment qu'il ne faut pas poser l'expression égale à sa limite, sinon on arrive à une contradiction comme tu nous l'as montré Pferdlieb.

Je le redis, 4.9999999... il ne faut pas y penser sous peine de devenir fou.
Il faut penser à 4 + sum (9*10^-k , k=1..inf) et ça fait 5

N'y a-t-il pas une contradiction à écrire "il ne faut pas poser l'expression egale à sa limite" puis "Il faut penser à 4 + sum (9*10^-k , k=1..inf) et ça fait 5" donc poser l'expression égale à sa limite ?

La seule expression correcte est lim n-> inf (4 + sum (9*10^-k , k=1..inf)) = 5, si on oublie de d'écrire "lim n-> inf" , on laisse croire que n peut prendre la valeur inf et alors on arrive a démontrer que 1 = 0.

Cordialement,
Pferdlieb.

**GuYem** · 08/09/2005, 08h35

Envoyé par Pferdlieb

Bonjour,

N'y a-t-il pas une contradiction à écrire "il ne faut pas poser l'expression egale à sa limite" puis "Il faut penser à 4 + sum (9*10^-k , k=1..inf) et ça fait 5" donc poser l'expression égale à sa limite ?

La seule expression correcte est lim n-> inf (4 + sum (9*10^-k , k=1..n)) = 5, si on oublie de d'écrire "lim n-> inf" , on laisse croire que n peut prendre la valeur inf et alors on arrive a démontrer que 1 = 0.

Cordialement,
Pferdlieb.

Achtung!

J'avais bien ecrit 4 + sum (9*10^-k , k=1..inf), ce qui pour moi veut dire la même chose que lim n-> inf (4 + sum (9*10^-k , k=1..n)) .

Ce que je veux dire par "il ne faut pas poser l'expression égale à sa limite" c'est qu'il ne faut pas croire que 4 + sum (9*10^-k , k=1..n) = 5 quand un certain n est donné. C'est complètement tautologique

**Sephi** · 08/09/2005, 08h49

Y a la discussion ici qui pourrait intéresser, à propos du nombre de nombres ayant deux écritures : http://forums.futura-sciences.com/th...tml#post314042

gillesh38 >
- si on prend une base n (où n est un naturel), alors je pense que les seuls nombres ayant deux écritures sont des rationnels ... maintenant, je ne sais pas s'il est permis de prendre une base de nombres irrationnels, par exemple une base $\text{[math]}$ ...
- non, en tout cas je ne vois pas de base dans laquelle chaque nombre aurait une et une seule écriture ... voir le fil ci-dessus.

invite0f5c0a62 · 08/09/2005, 09h09

oui ! tautologique ! c'est le mot que je cherchais.

Il n'y a aucun paradoxe dans ce forum, de la même façon que 1 = ln(e) = a^0 = 0,999999999... = encore plein de chose.

l'écriture différente d'un même nombre n'a rien d'un paradoxe,

j'ai l'impression que le seul paradoxe est que l'on ait pu écrire 5 pages sur le sujet...

4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?

Re : 4.9999...=5 ?