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4.9999...=5 ?



  1. #121
    uvdr

    Re : 4.9999...=5 ?


    ------

    Citation Envoyé par Pferdlieb
    Bonsoir,

    J’ai cru lire au début de ce post, que 0.999999….. est une autre façon d’écrire la suite (dont la limite tend vers 1). Ce n’est donc pas un nombre.
    c'est une série convergente, ça se démontre trés facilement avec le critère de d'Alembert par exemple. donc c'est un réel.

    -----

  2. #122
    Pferdlieb

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par evariste_galois
    J'ai donné une définition dans lR, ne me donne pas un contre-exemple dans lN !!!
    Et moi j'ai donné ce contre exemple dans |N pour montrer que la définition est mal choisie. 1- <> 1, et pourtant il n'y a pas de nombre réel entre les deux.

    Cordialement,
    Pferdlieb.

  3. #123
    Pferdlieb

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par uvdr
    c'est une série convergente, ça se démontre trés facilement avec le critère de d'Alembert par exemple.
    Merci, j'avais compris et j'ai écrit plusieurs fois qu'elle converge vers 1.

    Citation Envoyé par uvdr
    donc c'est un réel.
    Pouvez-vous expliquer ce 'donc' sur la base d'une définition mathématiquement admise ?

    Cordialement,
    Pferdlieb.

  4. #124
    invite765732342432
    Invité

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Pferdlieb
    J’ai cru lire au début de ce post, que 0.999999….. est une autre façon d’écrire la suite (dont la limite tend vers 1).
    L'expression que tu as écrite n'est pas une suite mais une somme.
    Comme tout nombre, elle n'a pas de limite.

    Si tu veux écrite quelquechose avec une limite, il faut introduire une variable que l'on peut faire tendre vers l'infini (non, 'n' ne peut pas être cette variable). Si tu veux des limites correctement exprimées, va voir dans les posts précédents.

    Ce n’est donc pas un nombre
    Au contraire: donc c'est un nombre.

    0.9999 …
    or comme
    Je ne vois pas bien comment il se pourrait que 0.9999… = 1.
    Si tu pars d'une hypothèse fausse (ta première ligne) tu obtiens une réponse fausse

    Je reprends ton raisonnement avec des bases valables:

    Quelquesoit N R, < 1
    C'est vrai.
    Seulement, lorsque tu passes à la limite, les mathématiques imposent que l'inégalité stricte devienne une inégalité large.
    et tu obtiens:
    0.9999 …

    Je ne suis pas d’accord avec cette définition qui, si on la restreignait à , donnerait quelque chose de très bizarre. Prenez 0 et 1. Puis 0 et 2. Je vous laisse imaginer…

    Si tu changes d'espace, tu changes les règles.

    Il nous replace exactement dans le même cas problématique. Il ne démontre pas que même si certains pourraient le croire au premier abord.
    Au début du post, tu semblais vouloir "recevoir des arguments rigoureux"... Il serait bon que tu nous explique en quoi cette égalité est fausse...

    En écrivant cette dernière phrase, je m'aperçois d'une chose: depuis des pages des gens refusent toute démonstration, même les plus propres et les plus élégantes. Refusent les définitions les plus basiques, ...
    Bref, j'ai plus l'impression d'avoir à faire à un troll qu'à une honnète personne cherchant à apprendre.

  5. #125
    martini_bird

    Re : 4.9999...=5 ?

    Salut,

    il est vrai que la notion de nombre réel est complexe (sans mauvais jeu de mot ).

    Complexe surtout lorsqu'elle n'est pas définie: nos ancêtres ont eu maille à partir avec cete idée de nombres au développement décimal infini.

    Ceci étant, plusieurs définitions équivalentes de ces nombres existent aujourd'hui.

    En conséquence, il serait bon de préciser de quoi on parle, car ce fil devient un peu un foutoire, je trouve.

    Bien à vous.

  6. #126
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Pferdlieb
    Et moi j'ai donné ce contre exemple dans |N pour montrer que la définition est mal choisie. 1- <> 1, et pourtant il n'y a pas de nombre réel entre les deux.
    C'est de la provocation gratuite ?

    Tu poses 1- <> 1 alors qu'on t'a répété, et surtout montré, de trop nombreuses fois que 1- = 1 . (j'aimerais bien que tu me dises quelles études tu fais, si bien sur tu en fais, c'est juste pour savoir quels concepts sont à ta portée).
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  7. #127
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Le_boulet
    C'est juste une notation que tout le monde comprend. Je reconnais que ça ne ressemble à rien en maths, mais on a le droit de définir le cadre (même en maths ) dans lequel on veut travailler. Les 3 points sont simplement là comme symbôle pour indiquer qu'il faut mettre une infinité de chiffres identiques à celui qui précéde le dit symbôle.

    En plus ce symbôle est parfaitement accépté dans les séries, suites, développement limités, etc. Alors pourquoi pas là ?
    Plutôt que de me parler de symbolique, j'aimerais que tu réponde à ma question: est-ce que tu considères que 0.999...9 est différent de 0.999...9...9 . Tu as décidé d'adopter ta propre symbolique, assume-la .
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  8. #128
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par evariste_galois
    Laisse-moi à présent te poser une question, toi qui es capable d'énumérer tous les réels compris entre 0 et 1: Es-tu d'accord avec la définition suivante?
    "Soit x et y deux élèments de lR. On dira que x est différent de y s'il existe un réel z tel que x < z < y ."
    En fait, je me rend compte que ma définition n'a pas de sens, je m'en excuse.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  9. #129
    Pferdlieb

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par Faith
    Bref, j'ai plus l'impression d'avoir à faire à un troll qu'à une honnète personne cherchant à apprendre.
    Citation Envoyé par evariste_galois
    (j'aimerais bien que tu me dises quelles études tu fais, si bien sur tu en fais, c'est juste pour savoir quels concepts sont à ta portée).
    Merci de garder vos insultes pour vous. J'ai été d'une parfaite correction. J'ai peut-être commis des erreurs mais j'essaye de comprendre.

    Je trouve beaucoup plus d'affirmations que de définitions et de démonstrations dans vos réponses.

    Par exemple "Seulement, lorsque tu passes à la limite, les mathématiques imposent que l'inégalité stricte devienne une inégalité large." Pour parfaire ma formation, pouvez-vous m'indiquer un ouvrage où cette nécessité est donnée. Comme je ne lis pas très vite, merci de m'indiquer la page.

    Mais peut-être que notre modérateur a raison et que le problème vient de la définition de ce qu'est un réel.

    Sans rancume,
    Pferdlieb.

  10. #130
    invite765732342432
    Invité

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Pferdlieb
    Merci de garder vos insultes pour vous. J'ai été d'une parfaite correction. J'ai peut-être commis des erreurs mais j'essaye de comprendre.
    Il n'y avait pas d'insulte...

    Par exemple "Seulement, lorsque tu passes à la limite, les mathématiques imposent que l'inégalité stricte devienne une inégalité large." Pour parfaire ma formation, pouvez-vous m'indiquer un ouvrage où cette nécessité est donnée. Comme je ne lis pas très vite, merci de m'indiquer la page.
    Comme tu n'est pas un Troll et que tu as envie d'apprendre, je t'invite à cliquer ci-dessous:
    Google est ton ami

    Une personne ayant soif de connaissances devrait y trouver facilement son bonheur.

  11. #131
    GuYem

    Re : 4.9999...=5 ?

    Je suis d'accord avec toi Martini, ça devient le foutoir.

    J'ai comme l'impression que tout le monde vient içi pour convaincre l'autre et non pas pour comprendre.

    Comme tu l'as dit la définition des nombres réels est un peu compliquée à appréhender même si on a l'impression qu'on peut s'en faire une bonne idée.

    Ca tourne en rond, on n'en sortira pas tant qu'on ne parle pas tous de la même chose.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  12. #132
    martini_bird

    Re : 4.9999...=5 ?

    Salut,

    calmons-nous.

    Une question: qu'est-ce qu'un nombre muni d'une infinité de décimale?

    Tentative de réponse:

    C'est un nombre entier, suivi d'une suite de chiffres après la virgule.

    Plus encore la première décimale correspond au dixième (1/10), la seconde au centième (1/100), la troisième au millième (1/1000), ..., la n_ième à 1/10n.

    Mais ce qu'il faut comprendre, c'est qu'à chaque décimale, on ajoute un nouveau nombre. Par exemple vaut 3,14 en première approximation. Mais ne vaut pas 3,14 bien entendu. Il reste des décimales. Par exemple, une meilleure approximation est 3,1416=3,14 + 1/1000 + 6/10000. On voit bien dans ce processus que l'on ajoute quelque chose à mesure que l'on affine l'approximation.

    Ainsi pour un nombre dont les décimales sont infinis, il faut donner un sens à une répétition infinie d'addition (voir la FAQ à ce sujet).

    Il demeure qu'une expression représente bien un nombre.

    La difficulté réside dans le fait que le nombre ne détermine pas nécessairement la suite de décimales (en d'autres termes, la représentation décimale n'est pas une correspondance fidèle (bijection) de l'ensemble des nombres réels dans l'ensemble des suites des décimales).

    Cordialement.

    EDIT: Croisement avec Faith et Guyem.
    Dernière modification par martini_bird ; 09/09/2005 à 21h12.

  13. #133
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Pferdlieb
    Merci de garder vos insultes pour vous. J'ai été d'une parfaite correction. J'ai peut-être commis des erreurs mais j'essaye de comprendre.
    Je suis sincèrement désolé si tu as pris ma question pour une insulte, en tout cas telle n'était pas mon intention. Je veux juste savoir à quel niveau scolaire tu te situes parce que je vais pas me mettre à te parler de séries (ce n'est qu'un exemple) si tu n'as encore jamais vu ça.
    Il ne faut pas voir le mal partout, j'essaye simplement de t'aider avec mes modestes connaissances.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  14. #134
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Message érroné, désolé .
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  15. #135
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Allons-y pour quelques définitions, puisque si gentillement par Pferdlieb .

    On note Z[1/10] l'ensemble des nombres qui s'écrivent , où m est un entier positif, et k est un entier relatif.

    Proposition:
    Z[1/10] est stable pour les loi + et *, et de plus Z[1/10] est dense dans lR.

    On note D' l'ensemble des suites indéxées par Z, tel que soit dans {0,1,2,...,8,9} et n'ayant qu'un nombre fini de termes , n négatif, non nuls .

    On note D l'ensemble des suites indéxées par Z dans D', ayant un nombre infini de termes , n positif, différents de 9.


    Soit f : D' -> lR : -> .

    La série du dessus converge puisque . Finalement, f(()) est bien définie, de même que sa restriction à D, que l'on notera g.

    Après toutes ces définitions, énonçons un théorème:

    Théorème:
    g: D -> lR est une bijection croissante. De plus, g(()) Z[1/10] ssi () a un nombre fini de termes non nuls.

    Soit x un réel positif. On appelle développement décimal propre de base 10 l'unique suite a=() de D telle que g(a)=x .


    Un second théorème:

    Théorème:
    f: D' -> lR est croissante et surjective .
    Si x lR\Z[1/10], ou si x=0, alors contient un unique élèment: le développement décimal de x.
    Si x Z[1/10] et x>0, est formé de deux éléments.

    Je peux donner la démonstration de ce théorème, mais pour une question de temps, je n'ai pas le temps de la recopier, veuillez m'en excuser.
    En tout cas, on comprend bien pourquoi certains réels peuvent avoir deux représentations.
    Dernière modification par evariste_galois ; 09/09/2005 à 23h06.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  16. #136
    Pferdlieb

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonsoir,

    Merci M. Evariste Galois, ou qui que vous soyez, pour ce message détaillé. Je prends le temps de le lire, et d'éventuellement chercher les compléments qui me manqueraient.

    Pour ma formation, disons que si je n'avais pas oublié tant des choses que j'ai apprises, je serais moins énervant avec mes questions et propositions. Je pense que je devrais parvenir à vous lire (et vous comprendre ).

    Bien cordialement,
    Pferdlieb.

  17. #137
    Le_boulet

    Re : 4.9999...=5 ?

    Je peux donner la démonstration de ce théorème, mais pour une question de temps, je n'ai pas le temps de la recopier, veuillez m'en excuser.
    Alors là,

    Evariste Galois ( le vrai) avait écrit à peu près la même chose dans ses écrits sur la théorie des substitutions.


    Bon ! Ce n'est pas ironique, c'était juste une parenthèse pour détendre les neurônes et faire une sorte de récré.


  18. #138
    JIp

    Re : 4.9999...=5 ?

    Tout cela est bien joli, mais je pense que vous confondez deux choses. Le terme de sens et celui de notion
    Je m'explique.
    Lorsque l'on dit que 4.999... = 5, c'est pour donner un sens a un nombre infini, donc sans "fin"!!!, donc sans representation.
    Le probleme n'est pas de savoir si 4.999... = 5, mais si 4.999.... existe !
    Supposons qu'il existe µ un nombre infiniment petit, LE nombre le plus petit, soit 1/l'infini, donc, sa "representation" serait 0,00..une infinité de zéro et finirait par 1, soit à peu pres 0.000000...01 !!!!
    Ah! on vient d'inventer le nombre infini fini !!!!
    L'infini est unre notion, donc ...
    Pour rappel : 1 + l'infini est égale à quoi ? L'infini ou l'infini + 1
    Mais aussi, 1 + (1/infini) = ? Si vous avez la répose, alors,
    à quoi est égale 1 + une "infinité" de fois (1/infini)

  19. #139
    Pferdlieb

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonjour à tous,

    Merci à nouveau M. Evariste Galois. J’ai bien lu votre message. Hélas, vous n’adressez pas mon problème. Vous démontrez que 2 réels peuvent avoir une écriture différente. J’en suis tout à fait convaincu, c'est par exemple le cas de différentes séries entières convergentes vers PI. De même que je suis convaincu qu’il n’y a pas de réel entre 0.9999… et 1, mais de ceci, je ne peux pas en conclure que 0.9999… = 1.

    J’avais préparé un message reprenant l’intégralité de ma réflexion dans l’espoir que quelqu’un me donne une réponse plus digeste que « va voir sur google la notion de passage à la limite » puisque c’est effectivement la question que je soulève depuis le début de mon intervention. Mais bon c’est mon problème.

    Je signale simplement que la FAC ne donne pas d’explication sur ce passage à la limite. Je l’ai lue, ainsi que certains liens, y compris des indirections sur le paradoxe d’Achile et de la tortue. A part affirmer que la tortue atteindra le mur au bout d’un temps infini, c’est à dire jamais, je n’ai pas trouvé d’explication justifiant de dire que la tortue atteint le mur et que donc 0.1111 … = 1, car n’oublions pas qu’il y a 10 sortes de gens, ceux qui comprennent le binaire et les autres. .

    Cordialement,
    Pferdlieb.

  20. #140
    uvdr

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Pferdlieb
    En ce qui concerne l’argument suivant :


    Il nous replace exactement dans le même cas problématique. Il ne démontre pas que même si certains pourraient le croire au premier abord.


    Cordialement,
    Pferdlieb.

    aaaaaaaaaaaaaahh, oui, je ne me souviens plus bien c'était en primaire que j'ai appris les divisions et je crains qu'à l'époque personne n'ai demandé à mon prof de prouver ce qu'il disait.

    bon là, je m'avoue vaincu, je suis bien incapable de prouver que la division entre réels est cohérente avec la mathématique.

    par contre, si ce qui te gêne c'est que dans la division de 1 par 3 il y ait une succession infini de 3 aprés la virgule, un bête raisonnement par récurrence devrait te rassurer.

    cordialement.

  21. #141
    Sephi

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Pferdlieb
    De même que je suis convaincu qu’il n’y a pas de réel entre 0.9999… et 1, mais de ceci, je ne peux pas en conclure que 0.9999… = 1.
    Pourquoi pas ? Faisons un peu de logique élémentaire (je suppose que tu connais ces notions élémentaires, car faire des maths - même minimes - sans elles est inconcevables). Soient a et b deux nombres réels quelconques.

    « S'il existe un réel entre a et b, alors ces nombres sont différents. »

    Je suppose que tu es d'accord avec cela. Examinons maintenant la proposition :

    « Si a et b sont différents, alors il existe un réel entre eux. »

    Je suppose aussi que tu es d'accord avec cela. Dans ce cas, on peut alors écrire :

    « [ Il existe un réel entre a et b ] si et seulement si [ ces nombres sont différents ]. »

    On a donc une équivalence entre les deux affirmations entre crochets. Par conséquent, on a également une équivalence entre leurs négations :

    « [ Il n'existe pas de réel entre a et b ] si et seulement si [ ces nombres sont identiques ]. »

    En utilisant ceci dans le cas de a=0.99... et b=1, cette dernière proposition te permet de conclure que 0.99... et 1 sont identiques.
    Dernière modification par Sephi ; 10/09/2005 à 10h18.

  22. #142
    Pferdlieb

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Sephi
    Pourquoi pas ? Faisons un peu de logique élémentaire (je suppose que tu connais ces notions élémentaires, car faire des maths - même minimes - sans elles est inconcevables). Soient a et b deux nombres réels quelconques.

    « S'il existe un réel entre a et b, alors ces nombres sont différents. »

    Je suppose que tu es d'accord avec cela. Examinons maintenant la proposition :
    Oui bien sur.

    Citation Envoyé par Sephi
    « Si a et b sont différents, alors il existe un réel entre eux. »

    Je suppose aussi que tu es d'accord avec cela.
    Non. Je ne suis pas complètement stupide. Si j'accèptais cette proposition, il est évident que j'accepterai 0.9999.... = 1. Je vous rappelle que je postule, peut être à tord, qu'il existe un réel, noté tel que .

    Désolé,
    Pferdlieb.

  23. #143
    Sephi

    Re : 4.9999...=5 ?

    Un certain réel infiniment proche de 1, mais différent de 1 ?

    Visiblement, ce réel dépend de la valeur d', donc il ne s'agit pas d'un réel isolé et fixé. Or ce qu'on veut, c'est précisément un réel isolé et fixé (entre deux nombres, afin de conclure qu'ils sont différents).

  24. #144
    Pferdlieb

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonjour,

    Citation Envoyé par uvdr
    par contre, si ce qui te gêne c'est que dans la division de 1 par 3 il y ait une succession infini de 3 aprés la virgule, un bête raisonnement par récurrence devrait te rassurer.

    cordialement.
    Merci. Pouvez-vous le donner ?

    Cordialement,
    Pferdlieb.

  25. #145
    Pferdlieb

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Sephi
    Un certain réel infiniment proche de 1, mais différent de 1 ?

    Visiblement, ce réel dépend de la valeur d', donc il ne s'agit pas d'un réel isolé et fixé. Or ce qu'on veut, c'est précisément un réel isolé et fixé (entre deux nombres, afin de conclure qu'ils sont différents).
    Non ce réel ne dépend pas de . Il est simplement défini comme étant plus prés de 1 que n'importe quel autre.

    Vous voullez un réel isolé et fixé (entre deux nombres, afin de conclure qu'ils sont différents). Est-il dans l'axiomatique de |R que pour que 2 réels soient différents, il faut en trouver un entre les 2 ? Si c'est le cas, je n'ai plus rien à dire. Si ce n'est qu'un théorème des propriétés de |R munis de certaines opérations, merci de me le donner.

    Cordialement,
    Pferdlieb.

  26. #146
    erik

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Pferdlieb
    Je vous rappelle que je postule, peut être à tord, qu'il existe un réel, noté tel que .

    Ce n'est pas du tout raisonnable de postuler ce genre de chose, examinons une conséquence:
    On defini la suite Un=1 si n est pair et Un=1^- si n est impair.
    On demontre sans peine que Un admet 1 comme limite, et on démontre également que Un admet 1^- comme limite. On se retrouve donc avec une suite qui admet deux limites (différentes!!!).
    L'ensemble R des nombres réels est construit de telle maniere à ne pas permettre ça, quand la limite d'une suite existe celle ci est unique.
    Dernière modification par erik ; 10/09/2005 à 10h54.

  27. #147
    GuYem

    Re : 4.9999...=5 ?

    Une autre conséquence immédiate d'un tel postulat est que, en choisissant epsilon = 1/n on obtient

    |1-1^-|<1/n
    cela étant possible pour tout n, il suffit de faire tendre n vers l'infini pour obtenir
    |1-1^-|<=0

    C'est à dire 1=1^-

    Donc ton postulat n'est pas faux, seulement ce nombre c'est 1
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  28. #148
    Pferdlieb

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonjour,

    Citation Envoyé par erik
    Ce n'est pas du tout raisonnable de postuler ce genre de chose, examinons une conséquence:
    On defini la suite Un=1 si n est pair et Un=1^- si n est impair.
    On demontre sans peine que Un admet 1 comme limite, et on démontre également que Un admet 1^- comme limite. On se retrouve donc avec une suite qui admet deux limites (différentes!!!).
    L'ensemble R des nombres réels est construit de telle maniere à ne pas permettre ça, quand la limite d'une suite existe celle ci est unique.
    Etes vous sur que nous palons de la même chose ? J'ai écrit 1- et non -1.Vous ne confondez pas avec suite alternée qui donc ne converge pas ? Ce n'est pas par ce que Vn ne converge pas qu'il est déraisonable de parler de .

  29. #149
    Sephi

    Re : 4.9999...=5 ?

    2 secondes

  30. #150
    Pferdlieb

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonjour,

    Citation Envoyé par GuYem
    Une autre conséquence immédiate d'un tel postulat est que, en choisissant epsilon = 1/n on obtient

    |1-1^-|<1/n
    cela étant possible pour tout n, il suffit de faire tendre n vers l'infini pour obtenir
    |1-1^-|<=0
    Evidement, si vous passez subreptissement à une égalité non stricte avec la limite, vous me demandez d'admètre ce que je souhaite comprendre. Et j'ai compris que mon problème vient de ce passage à la limite pour lequel on m'a déjà renvoyé sur google.

    Là je crois vraiment qu'on tourne autour du pot.

    Cordialement,
    Pferdlieb.

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