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4.9999...=5 ?



  1. #151
    Sephi

    Re : 4.9999...=5 ?


    ------

    Considérons donc ce 1- fixé qui serait plus près de 1 que n'importe quel autre réel.

    Considérons une suite Sn qui converge vers 1 :

    lim Sn = 1

    Pour n tendant vers l'infini, les éléments Sn s'approchent de 1 plus près que n'importe quel autre réel fixé (il suffit en effet de prendre un n suffisamment grand). Or, 1- est toujours plus proche de 1 que n'importe quel élément de Sn (par définition de 1-). Par conséquent, 1- ne peut pas être un réel fixé.

    -----

  2. #152
    GuYem

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bon et bien le théorème est simple :

    Soit u_n une suite de réel convergente de limite L, si on suppose qu'il existe une constante c telle que pour tout n,
    u_n > c
    alors
    L >= c

    Ca s'appelle le passage à la limite, ça se démontre de manière évidente à partir de la définition de la convergence avec les epsilon et tout et tout.


    Je vais maintenant te donner un contre exemple te montrant qu'on ne peut pas se permettre de garder une inégalité stricte aprés le passage à la limite :
    La suite u_n=1/n est convergente de limite L=0. Cependant quel que soit n, u_n > 0.

    EDIT : attention Sephi, ce que tu dis est juste si on suppose 1^- différent de 1. Mais comme je l'ai montré un post plus haut, le 1^- ainsi défini par Pferdlieb est necessairement égal à 1. Il n'y a pas de contradiction dans sa définition.
    Dernière modification par GuYem ; 10/09/2005 à 11h16.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  3. #153
    Sephi

    Re : 4.9999...=5 ?

    1- est bien sûr supposé différent de 1, sinon où est l'intérêt ? Le but, c'est de dire que 0.99... est différent de 1 parce que 1- se trouve entre les deux, mais si 1-=1 dès le départ, c'est un peu idiot.

    Non, on peut plutôt montrer que 1- n'est pas un réel fixé, et donc il perd son statut de "valeur fixée qui sépare 0.99... et 1".

  4. #154
    uvdr

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Pferdlieb
    Bonjour,



    Merci. Pouvez-vous le donner ?

    Cordialement,
    Pferdlieb.
    au premier rang, c'est le calcul de la premiére décimale de 1/3:
    c'est le résultat entier de 10/3 (puisque 1/3=(10/3)/10 ) c'est à dire 3 (et le reste de cette division est 1)

    si le rang n-1 nous donne 3 comme résultat, qu'en est-il du rang n?:
    le reste de la division au rang (n-1) est 1,
    donc au rang n le résultat entier de 10/3 vaut encore 3,

    par récurrence:
    la première décimale de 1/3 est 3,
    si la (n)ème décimale est 3, la (n+1)ème sera 3 aussi,

    donc quelque que soit le rang de la décimale sa valeur sera 3.

    cordialement.

  5. #155
    erik

    Re : 4.9999...=5 ?

    Etes vous sur que nous palons de la même chose ?
    Oui on parle de la même chose, donne nous la limite de la suite
    Un=1 si n pair
    Un=1^- si n impair

    Si tu supposes 1 et 1^- different et tels que |1-1^-|<epsilon tu verras que ta suite admet deux limites !!

  6. #156
    GuYem

    Re : 4.9999...=5 ?

    Et oui je comprends Sephi, seulement moi je suis bète et ediscipliné, je lis le postulat de Pferdlieb :

    Je vous rappelle que je postule, peut être à tord, qu'il existe un réel, noté 1^- tel que pour tout epsilon>0, |1-1^-|<epsilon

    Ici il n'est pas précisé que 1^- ne vaut pas 1. Je déduis immédiatement de ce postulat que 1^-=1, cela devrait aider à clore le problème non?

    EDIT : Holala ça carambole encore de partout içi.
    la façon de faire de Sephi pour montrer l'absurdité d'un tel 1^- est correcte et j'y adhère ; mais je trouve quand même la mienne plus simple!
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  7. #157
    Sephi

    Re : 4.9999...=5 ?

    Si 1-=1 alors le problème est résolu et 0.99..=1, mais comme Pferdlieb refuse cette résolution, j'en déduis plutôt qu'il suppose que 1- différent de 1.

  8. #158
    Pferdlieb

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonjour,

    C'est un peu dur de répondre en même temps à 3 personnes. Je demande un moratoire jusqu'à ce soir. De toutes façons je rencontre un prof d'analyse numérique mercredi matin. J'aurai peut-être plus facile de me faire expliquer de vive voix ce fameux passage à la limite.

    Merci à tous,
    Cordialement,
    Pferdlieb.

    PS/ Quand même M. GuYem "Ici il n'est pas précisé que 1^- ne vaut pas 1." Ce n'est pas élégant comme façon de faire. Il me semble clair que dans mon postulat 1^- et différent de 1. Je suis peut-être maladroit dans mon énoncé, mais pas idiot.

  9. #159
    GuYem

    Re : 4.9999...=5 ?

    Eh bien si il suppose que 1^- est différent de 1 c'est qu'il n'est pas encore convaincu du théorème des gendarmes (ou de passage à la limite^^) : voilà un lien :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._des_gendarmes

    tout en bas, la variante avec les suites, prendre u_n=0, v_n=|1-1^-|, w_n=1/n.

    EDIT : Que tu le mettes ou que tu le mettes pas que 1^- ne vaut pas 1, ça ne change rien :
    si tu le mets, ton postulat est absurde
    si tu ne le mets pas alors 1 vaut 1^-.
    Dernière modification par GuYem ; 10/09/2005 à 11h41.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  10. #160
    uvdr

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Pferdlieb
    Bonjour,


    Oui bien sur.



    Non. Je ne suis pas complètement stupide. Si j'accèptais cette proposition, il est évident que j'accepterai 0.9999.... = 1. Je vous rappelle que je postule, peut être à tord, qu'il existe un réel, noté tel que .

    Désolé,
    Pferdlieb.
    ce que tu écris ici est équivalent à =1, comme te la fais remarquer GuYem.

    cordialement

    ps dans mon post au dessus, il y a un problème avec la citation, en fait je montre par récurrence que dans la division de 1 par 3 il y ait une succession infini de 3 aprés la virgule,

  11. #161
    abracadabra75

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par f6bes
    Bjr,
    Bien lourd tout ça.
    Si l'on donne une repas à 4,9999999999 milliards d'individus
    chaque jour et qu'il y ai 5 milliards d'individus, y en aura
    toujours un avec une gamelle vide !!!!!
    N-1 n'est pas égal à N
    Cordialement
    Je sais bien qu' un individu ne pèse pas lourd aujourd'hui, mais vaut-il quand même 0,0000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000eps ilon?

  12. #162
    GuYem

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bienvenu sur le forum abracadabra! (tu es venu faire des tours de magie? j'adore ça )

    En plus tu es tombé sur le bon fil, celui qui pose problème.
    D'aprés toi est-ce-que 0.999.. (ie avec une infinité de 9 aprés la virgule) est égal à 1 ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  13. #163
    Pferdlieb

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonjour,

    J'essaye de faire le point.

    Citation Envoyé par Sephi
    1- est bien sûr supposé différent de 1, sinon où est l'intérêt ? Le but, c'est de dire que 0.99... est différent de 1 parce que 1- se trouve entre les deux, mais si 1-=1 dès le départ, c'est un peu idiot.

    Non, on peut plutôt montrer que 1- n'est pas un réel fixé, et donc il perd son statut de "valeur fixée qui sépare 0.99... et 1".
    Heu, mon 1- ne sépare pas O.999... et 1. 0.999... est une écriture valide de 1-, tout comme 0.111....... en binaire. Encore une fois, je ne prétends pas qu'il y a un réel entre 0.999... et 1. Je pretends simplement que 0.999... et 1 sont différents. Maintenant, je le répète si dans l'axiomatique de |R la différence entre 2 réels implique un réél intermédiaire alors je m'incline.

    Par contre, je reconnais que je ne comprends pas les implications de cette notion de "réel fixe". J'investique, ainsi que le théorème des gendarmes.

    M. GuYem je ne tiens pas pour acquise votre démonstration de 1 = 1- de votre message #147 que vous reprenez dans votre message #156. Pour votre démonstration vous utilisez subreptissement, (ainsi que je le faisais remarquer), le passage à la limite qui me pose problème.

    M. GuYem, si mon postulat de l'existence de 1- est absurde, expliquez mois cette absurdité, sans bien utiliser plus ou moins indirectement le fait que 0.999... = 1.

    M. UVDR, votre récurrence montre l'infinité de 3, mais comme la division euclidienne n'est jamais terminée, vous ne démontrez pas l'égalité de ce résultat jamais atteint et 3.

    M. Erik, je n'ai pas investigué votre proposition sur une suite à 2 limites.

    Cordialement,
    Pferdlieb.

  14. #164
    GuYem

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Pferdlieb
    Bonjour,

    J'essaye de faire le point.

    Maintenant, je le répète si dans l'axiomatique de |R la différence entre 2 réels implique un réél intermédiaire alors je m'incline.
    Si deux réels sont différents alors il y a un autre réel entre les deux, différents de chacun de ces deux, en effet :
    Soit x différent de y alors x < (x+y)/2 < y.
    Ce n'est même pas dans l'axiomatique de R mais juste une propriété simple.
    Tu t'inclines?

    Citation Envoyé par Pferdlieb
    M. GuYem je ne tiens pas pour acquise votre démonstration de 1 = 1- de votre message #147 que vous reprenez dans votre message #156. Pour votre démonstration vous utilisez subreptissement, (ainsi que je le faisais remarquer), le passage à la limite qui me pose problème.
    Ma démonstration du fait que le 1^- ainsi défini n'est rien d'autre que 1 est une simple application du théorème des gendarmes, voir le lien donné.

    Citation Envoyé par Pferdlieb
    M. GuYem, si mon postulat de l'existence de 1- est absurde, expliquez mois cette absurdité, sans bien utiliser plus ou moins indirectement le fait que 0.999... = 1.
    Ma démonstration n'utilise rien de tout ça.

    En espérant voir bientôt le bout du tunnel!
    GuYem
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  15. #165
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Salut JIp, et bienvenu sur le forum

    Citation Envoyé par JIp
    Je m'explique.
    Lorsque l'on dit que 4.999... = 5, c'est pour donner un sens a un nombre infini, donc sans "fin"!!!
    Vais-je répéter une infinité de fois qu'un "nombre infini" ne veut rien dire dans le contexte où l'on se place. A la limite, tu peux parler de représentation avec une infinité de chiffres (et c'est d'ailleurs le cas pour tous les réels), mais ne dit pas que 4.999... est un nombre infini, ça n'a pas de sens.

    Le probleme n'est pas de savoir si 4.999... = 5, mais si 4.999.... existe !
    4,999... existe, au même titre que 5, que d'ailleurs on peut écrire 5,000... . Qu'en dis-tu?


    Supposons qu'il existe µ un nombre infiniment petit, LE nombre le plus petit, soit 1/l'infini, donc, sa "representation" serait 0,00..une infinité de zéro et finirait par 1, soit à peu pres 0.000000...01 !!!!
    Ah! on vient d'inventer le nombre infini fini !!!!
    Tu comptes réinventer les maths?
    Si tu veux savoir ce qu'il en est des infiniments petits, va voir du côté de *lR et de l'analyse non standard.
    Pourrais-tu me dire ce que tu considère comme étant fini, et par la même infini?


    L'infini est unre notion, donc ...
    En es-tu sûr?

    Pour rappel : 1 + l'infini est égale à quoi ? L'infini ou l'infini + 1
    Mais aussi, 1 + (1/infini) = ? Si vous avez la répose, alors,
    à quoi est égale 1 + une "infinité" de fois (1/infini)
    Si tu te place dans le cadre de la droite numérique achevée, tu pourras considérer que 1+infini=infini+1=infini . Pour le reste, je t'invite à regarder du côté d'un bon cours d'analyse de premier cycle universitaire.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  16. #166
    uvdr

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Pferdlieb
    Bonjour,
    M. UVDR, votre récurrence montre l'infinité de 3, mais comme la division euclidienne n'est jamais terminée, vous ne démontrez pas l'égalité de ce résultat jamais atteint et 3.
    je suis désolé je ne comprends pas ce que vous voulez me dire, qu'est-ce que "vous ne démontrez pas l'égalité de ce résultat jamais atteint et 3." ça veut bien vouloir dire?

    la récurrence montre juste que quelque soit le rang de la décimale ce sera 3, donc la décimale de rang n a pour valeur 3 ce qui induira toujours que la décimale de rang (n+1) a pour valeur 3 elle aussi, et ceci quelque soit n.
    ok, c'est sans fin (j'ose plus dire infini!).

  17. #167
    JIp

    Re : 4.9999...=5 ?

    Coucou Evariste,
    Ma reponse etait totalement ironique...
    Evidemment, infini + nimporte quoi = infini, mais l'infini = l'infini?
    Si tu connait la reponse, bravo, car pour les maths infinitésimales, on parle plutot de notion, non? Si ils etaient des nombres, ne pense-tu pas que l'on aurait la solution de (1/infini)*infini.
    Donc, dans un modele infinitésimal, 4.999 <> 5, mais dans un domaine representable, il y a bien l'égalité.

  18. #168
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par Pferdlieb
    Non. Je ne suis pas complètement stupide. Si j'accèptais cette proposition, il est évident que j'accepterai 0.9999.... = 1. Je vous rappelle que je postule, peut être à tord, qu'il existe un réel, noté tel que .

    Raisonnement totalement illicite.

    Puisque 1 et sont différents, > 0 .
    Je prend donc = , et j'en déduis, d'après ta définition, que < , absurde.

    Que peux-tu répondre à cela?
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  19. #169
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par JIp
    Coucou Evariste,
    Ma reponse etait totalement ironique...
    Je ne comprend pas ton propos. D'abord tu affirmes que ta réponse était totalement ironique, puis tu en remets une couche. Où veux-tu en venir?


    Si tu connait la reponse, bravo, car pour les maths infinitésimales, on parle plutot de notion, non?
    Qu'entends-tu par "maths infinitésimales"?


    Si ils etaient des nombres, ne pense-tu pas que l'on aurait la solution de (1/infini)*infini.
    Si 0 était un nombre, on aurait la solution de (1/0)*0... (On nage en plein délire là!)


    On peut considérer l'infini comme un nombre, est c'est d'ailleurs ce qu'on fait lorsqu'on construit la droite numérique achevée.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  20. #170
    JIp

    Re : 4.9999...=5 ?

    je te rappelle au cas ou, que 0+1 = 1. De plus, 1/infini existe (si si), alors que 1/0 n'existe pas.
    Il me semble que tu confonds la forme indeterminée, avec la non-existence.
    de plus, je te rappelle, que le referent est essentiel.
    A quelle vitesse va le voyageur du train, sachant que le train roule à 100km/h, et le voyageur se deplace dans le train, dans le sens de la marche à 5km/h.
    Si tu as la reponse sans determiner le repere, alors bravo...
    Donc, les reference sont importantes et change le resultat...

  21. #171
    JIp

    Re : 4.9999...=5 ?

    Une derniere chose concernant ton resultat.
    Quand tu dit que les 9 se soustrait, est-ce que l'infinité des 9 de 49.999 est égale à celle de 4.999, ou autrement est-ce que deux infini sont égaux? Et bien, rien ne le prouve, donc le résonnement de ta soeur ne tient pas.
    Comment annihilé une infinité de 9 par une autre infinité de 9 ?????

  22. #172
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par JIp
    je te rappelle au cas ou, que 0+1 = 1. De plus, 1/infini existe (si si), alors que 1/0 n'existe pas.
    Il me semble que tu confonds la forme indeterminée, avec la non-existence.
    de plus, je te rappelle, que le referent est essentiel.
    A quelle vitesse va le voyageur du train, sachant que le train roule à 100km/h, et le voyageur se deplace dans le train, dans le sens de la marche à 5km/h.
    Si tu as la reponse sans determiner le repere, alors bravo...
    Donc, les reference sont importantes et change le resultat...
    Quand j'ai écrit "(1/0)*0", c'était de "l'ironie"... Heureusement que tu suis...
    Puisque 1/infini existe, tu vas pouvoir nous dire à quoi il est égal, s'il te plait!

    Aussi, pourrais-tu répondre à mes questions: qu'entends-tu par maths infinitésimales?

    Toi qui ne considère pas l'infini comme un nombre, dis-moi comment tu peux définir 1/infini? Est-ce un nombre? Un nombre diviser par une "notion" (c'est le terme que tu emploies), ça donne quoi?

    Merci.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  23. #173
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par JIp
    Une derniere chose concernant ton resultat.
    Quand tu dit que les 9 se soustrait, est-ce que l'infinité des 9 de 49.999 est égale à celle de 4.999, ou autrement est-ce que deux infini sont égaux? Et bien, rien ne le prouve, donc le résonnement de ta soeur ne tient pas.
    Comment annihilé une infinité de 9 par une autre infinité de 9 ?????
    Quand tu t'adresses à quelqu'un, ça serait bien de préciser son pseudo, histoire qu'on s'y retrouve un minimum...
    Qu'entends-tu par "infini" encore une fois?
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  24. #174
    JIp

    Re : 4.9999...=5 ?

    Les maths infinitésimales sont justement l'étude de ces "nombres".
    Pour info, quel que soit x , x/infini est equivalent à 1/infini, donc, infiniment petit.
    de même, quel que soit x, x*infini est equivalent à l'infini.
    Tu as remarqué, équivalent, pas égal !!!

  25. #175
    martini_bird

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonjour,

    ce fil devient un peu, comment dire... bordelique!

    Sérieusement, il serait de bon ton de rester dans le cadre de la discussion, qui tourne autour de deux questions:
    • Comment définir un nombre avec une infinité de décimales?
      Réponse: à l'aide des séries, qui sont des limites de suites.
    • Comment démontrer que 0,99...=1?
      Réponse: à l'aide des séries géométriques.

    Bref, on peut parler des infiniments petits (dans le cadre de l'analyse non-standard, par exemple), mais dans un autre fil, svp.

    Merci de votre compréhension.

    Pour la modération.

  26. #176
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par JIp
    Les maths infinitésimales sont justement l'étude de ces "nombres".
    Pour info, quel que soit x , x/infini est equivalent à 1/infini, donc, infiniment petit.
    de même, quel que soit x, x*infini est equivalent à l'infini.
    Tu as remarqué, équivalent, pas égal !!!
    C'est bizarre, si je prend x=0, j'ai un petit doute sur la véracité de ta remarque.
    Et, sans vouloir te manquer de respect, les maths infinitésimales dont tu parles, je n'en ai jamais entendu parler. Si tu as un lien web où on en parle, n'hésite pas à me le donner .
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  27. #177
    evariste_galois

    Re : 4.9999...=5 ?

    Citation Envoyé par JIp
    Une derniere chose concernant ton resultat.
    Quand tu dit que les 9 se soustrait, est-ce que l'infinité des 9 de 49.999 est égale à celle de 4.999, ou autrement est-ce que deux infini sont égaux? Et bien, rien ne le prouve, donc le résonnement de ta soeur ne tient pas.
    Comment annihilé une infinité de 9 par une autre infinité de 9 ?????
    J'avais oublié cette remarque. Si j'ai bien compris, tu veux savoir s'il y a autant de "9" dans "49,999..." que dans "4,999..." ? Et bien, aussi bizarre que cela puisse paraitre, la réponse est oui. J'en avais rapidement parlé dans un post précédent, il faut faire appel à la notion de dénombrabilité.
    Mais tout ceci reste difficile à cerner, et puis, je pense qu'on a largement fait le tour de la question sur ce post, il serait temps de conclure.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  28. #178
    JIp

    Re : 4.9999...=5 ?

    il faut faire appel à la notion de dénombrabilité.

    Si tu peut démonbrer l'infini, alors la, BRAVO

  29. #179
    erik

    Re : 4.9999...=5 ?

    Si tu peut démonbrer l'infini, alors la, BRAVO
    Et pourtant il existe des infinis de tailles différentes :
    L'infini dénombrable (c'est à dire qui peut être mis en bijection avec N)
    L'infini du continue (c'est à dire qui peut être mis en bijection avec R)

    J'ai l'impression JIp que tu devrais te renseigner sur ces notions, avant de lancer des grands BRAVO ironiques
    Dernière modification par erik ; 10/09/2005 à 16h51.

  30. #180
    Pferdlieb

    Re : 4.9999...=5 ?

    Bonjour,

    Citation Envoyé par evariste_galois
    Raisonnement totalement illicite.

    Puisque 1 et sont différents, > 0 .
    Je prend donc = , et j'en déduis, d'après ta définition, que < , absurde.

    Que peux-tu répondre à cela?
    Echec et mat.

    Il ne me reste plus qu'à reprendre toute la discussion pour comprendre où j'en suis, et me convaincre que tout ceci nous a bien amené à démontrer que 0.99999... = 1. Merci à tous pour vos messages.

    Cordialement,
    Pferdlieb.

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