besoin de correction!

[invitee262714d]

salut,voila l'énoncé:
soit ƒ une fonction continue sur IR tel que ƒ(x)=ƒ(2x) pour tout x de IR.
1- démontrer que quels que soient β de IR et a de IN ƒ(β/2ª)=ƒ(β) (je lai fait par récurrence)
2-en déduire que ƒ est constante.
jai essayé de montrer que ƒ est constante sur Q et en déduire qu'elle l'est sur IR puisque Q est dense dans IR.
mais la question était est ce que ce β/2ª atteint tt élement de Q?!
on pose Ga(β)=β/2ª Ga est continue et strictement croissante sur Q donc c'est une bijection de Q sur Q et quel que soit k de Q il existe un β de Q tel que β/2ª=k.
est ce que je peux endeduire mnt que ƒ est constante sur Q?
merci
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[invitea3eb043e]

Et si tu raisonnais par l'absurde ? Imagine 2 valeurs de x, soit a et b où la fonction f prend des valeurs différentes. Applique le raisonnement et tu trouveras qu'il existe 2 points aussi proches qu'on veut où la fonction prend des valeurs différentes, ce qui est incompatible avec une fonction continue.
Je te laisse écrire les équations.