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Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...



  1. #1
    -Zweig-

    Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...


    ------

    Bonjour,

    J'ai trouvé quelques exercices très sympathiques pour ceux et celles qui voudraient "toucher" à des exercices de géométrie quelques peu "inhabituels".

    Exercice 1 : Soit ABCD un quadrilatère convexe et M, N les milieux respectifs de [AD] et [BC]. Montrer que

    si et seulement si .

    Exercice 2 : Soit D le milieu de [BC] du triangle ABC. Montrer que :


    Exercice 3 : Soit M le milieu d'un segment [AB]. Montrer que pour tout point O du plan, hors du segment [AB], nous avons :


    Indice : Tous ces exercices se basent sur une propriété forte connue :

    L'inégalité triangulaire


    Soient A, B et C trois points du plan. Alors, , avec égalité si et seulement si A € [BC]

    -----

  2. #2
    -Zweig-

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    D'autres pour la route :

    Exercice 4 : Montrer que la somme des longueurs des hauteurs d'un triangle est strictement inférieure au périmètre de ce même triangle.

    Exercice 5 : Soit M un point à l'intérieur du triangle ABC. Montrer l'inégalité :

    ,

    avec le périmètre du triangle ABC.

    N'hésitez pas à poster vos solutions (entre les balises [SPOIL] [/ SPOIL] pour laisser chercher les autres), histoire de voir d'autres méthodes d'approche que les miennes .
    Dernière modification par -Zweig- ; 11/11/2007 à 23h49.

  3. #3
    -Zweig-

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Alors, des personnes ont-elles trouvé ?

    D'ailleurs pour l'exercice 3, j'ai trouvé une généralisation. En fait on peut montrer que nous avons cette inégalité pour tout point O du plan (en scindant la démonstration en 2 : une partie traitant du point O hors de (AB) et l'autre partie lorsque O € (AB)).

  4. #4
    mx6

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    J'ai trouvé exercice 1 et 2 . Les autres quand j'aurais le temps .
    Sinon je trouve, que c'est pas trop dur, faut juste savoir appliquer les formules .

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    -Zweig-

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Tu pourrais poster tes solutions s'il te plaît ?

  7. #6
    mx6

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Désolé mais comme tu peux le remarquer jamais j'ai pu poster des solutions .. je connais rien à LaTeX désolé .

  8. #7
    -Zweig-

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Bah tu écris sans le LaTeX ... Avec les notations "standards du net" ; ex : ^ = exposant, _ = indice, /= : différent de etc ...

  9. #8
    -Zweig-

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Alors mx6 ?

  10. #9
    -Zweig-

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Je vois que mes problèmes n'ont pas eu un franc succès . Pour les plus chevronés, je vous propose celui-là, je l'ai trouvé magnifique, donc je le partage avec vous :

    Exercice 6 :

    Soient et des entiers naturels donnés et un point M du plan situé à l'intérieur d'un angle de sommet O. Une droite (l) passant par M coupe les côtés de l'angle en deux points A et B. Déterminer la position de la droite (l) de sorte que le produit soit minimal.

  11. #10
    MiMoiMolette

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Plop,

    Juste parce que j'aime bien la géométrie et que j'ai parfois un tit côté maso, j'ai essayé le premier, j'garantis rien

    I. (AB)//(CD) => MN=(AB+BC)/2

     Cliquez pour afficher


    II. MN=(AB+CD)/2 => (AB)//(CD)

     Cliquez pour afficher


     Cliquez pour afficher


    PS @ mx6 : pour le tex qu'il y a... t'aurais pu t'en passer
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  12. #11
    -Zweig-

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    J'ai survolé ta solution, et jusqu'à preuve du contraire, ça m'a l'air correct ^^

    Parcontre, fiouuuu, tu t'es bien embêtée quand même .

  13. #12
    MiMoiMolette

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    J'ai survolé ta solution, et jusqu'à preuve du contraire, ça m'a l'air correct ^^

    Parcontre, fiouuuu, tu t'es bien embêtée quand même .
    Oui surtout quand tu veux te fatiguer à bien expliquer les choses, ça rallonge... Et que 5 min après que t'aies posté ta solution t'as un pote qui te dit "tu connais pas la propriété du trapèze ?"...

    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  14. #13
    -Zweig-

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    En ce qui concerne une solution plus courte, tu l'obtiens comme suit :

     Cliquez pour afficher

  15. #14
    patxiku

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Bonjour,

    Exercice 2:
     Cliquez pour afficher

  16. #15
    -Zweig-

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Exercice 7 : Problème du triangle de Schwarz (ou problème de Fagnano)

    Inscrire dans un triangle ABC acutangle (ayant ses trois angles aigus) un triangle MNP de périmètre minimal.

    Généralisation : Même question pour un triangle non acutangle.

    NB : Le triangle obtenu s'appelle le "triangle orthique". Il a plein de propriétés sympas que vous trouverez sur Wikipédia. Par exemple, le triangle orthique est l'unique trajectoire de billard qui se ferme (http://pagesperso-orange.fr/therese....ard_rebond.htm).

  17. #16
    Forhaia

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Bonjour,

    pour l'exercice 3:

     Cliquez pour afficher

  18. #17
    Forhaia

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Pour le 4:

     Cliquez pour afficher

  19. #18
    -Zweig-

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Exercice 8 : Problème de Steiner-Fermat-Torricelli

    Trouver le point P dans le plan d'un triangle ABC acutangle donné, de sorte que la somme t(P) = AP + BP + CP soit minimale.

    Généralisation : Même question lorsque t(P) = mAP + nBP + pCP, avec m, n et p des entiers naturels donnés.

  20. #19
    -Zweig-

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Citation Envoyé par Forhaia Voir le message
    Bonjour,

    pour l'exercice 3:

     Cliquez pour afficher
    Faux. L'inégalité est renversée justement. Par contre, l'idée d'introduire le point C comme tu l'as fait est une très bonne idée, tu es sur la bonne voie .
    Dernière modification par -Zweig- ; 16/02/2008 à 18h13.

  21. #20
    -Zweig-

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Citation Envoyé par Forhaia Voir le message
    Pour le 4:

     Cliquez pour afficher
    C'est ça ! Pour chippoter, tu saurais me montrer que l'hypothénuse d'un triangle rectangle est le plus grand côté ?

  22. #21
    MiMoiMolette

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    C'est vraiment du chipotage ^-^ (pis pas contente, parce que j'avais trouvé, mais j'ai vu que quelqu'un était passé avant moi snif snif)

     Cliquez pour afficher


    Exercice 5 (à moitié résolu )

     Cliquez pour afficher
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  23. #22
    MiMoiMolette

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Pour mon deuxième spoil :

     Cliquez pour afficher
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  24. #23
    Forhaia

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Voilà le 5

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par Forhaia ; 16/02/2008 à 18h54.

  25. #24
    MiMoiMolette

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Pour le 3 :

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par MiMoiMolette ; 16/02/2008 à 19h03. Motif: Rajout des [ ] pour les segments ! :D
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  26. #25
    Forhaia

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    Faux. L'inégalité est renversée justement. Par contre, l'idée d'introduire le point C comme tu l'as fait est une très bonne idée, tu es sur la bonne voie .
    il n'y a que moi pour être assez boulet pour appliquer l'inégalité à l'envers
    ça donne donc:

     Cliquez pour afficher

  27. #26
    -Zweig-

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Citation Envoyé par Forhaia Voir le message
    il n'y a que moi pour être assez boulet pour appliquer l'inégalité à l'envers
    ça donne donc:

     Cliquez pour afficher
    Hum, non, l'inégalité obtenue n'est pas équivalente à . Pour la montrer, il faut montrer que l'on a et .

    Quand tu auras fait ça, refais le même exercice lorsque O est un point quelconque du plan. En gros, traite le cas où O € (AB), et par la même occasion, établis les positions de O telles que 2OM = |OA - OB|
    Dernière modification par -Zweig- ; 16/02/2008 à 19h35.

  28. #27
    Forhaia

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Ben si j'ai juste pas assez détaillé:

    si





    comme

    donc |OA-OB|=OA-OB
    donc


    si
    on applique aussi l'inégalité triangulaire:




    comme

    donc |OA-OB|=OB-OA
    donc

  29. #28
    -Zweig-

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Ok . Sinon, sans faire un raisonnement par disjonction de cas :

    Dans le triangle OBC on a : OC + OB > BC et OC + BC > OB, d'où 2OM > OA - OB et 2OM > OB - OA

  30. #29
    -Zweig-

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    Allez, maintenant, passe aux problèmes beaucoup plus difficiles

  31. #30
    Forhaia

    Re : Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

    une remarque pour le 6,

     Cliquez pour afficher

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