Pour ceux et celles qui aiment la géométrie ...

[invite2220c077]

Bonjour,

J'ai trouvé quelques exercices très sympathiques pour ceux et celles qui voudraient "toucher" à des exercices de géométrie quelques peu "inhabituels".

Exercice 1 : Soit ABCD un quadrilatère convexe et M, N les milieux respectifs de [AD] et [BC]. Montrer que

si et seulement si .

Exercice 2 : Soit D le milieu de [BC] du triangle ABC. Montrer que :

Exercice 3 : Soit M le milieu d'un segment [AB]. Montrer que pour tout point O du plan, hors du segment [AB], nous avons :

Indice : Tous ces exercices se basent sur une propriété forte connue :

L'inégalité triangulaire

Soient A, B et C trois points du plan. Alors, , avec égalité si et seulement si A € [BC]
-----

[invite2220c077]

D'autres pour la route :

Exercice 4 : Montrer que la somme des longueurs des hauteurs d'un triangle est strictement inférieure au périmètre de ce même triangle.

Exercice 5 : Soit M un point à l'intérieur du triangle ABC. Montrer l'inégalité :

,

avec le périmètre du triangle ABC.

N'hésitez pas à poster vos solutions (entre les balises [SPOIL] [/ SPOIL] pour laisser chercher les autres), histoire de voir d'autres méthodes d'approche que les miennes .

[invite2220c077]

Alors, des personnes ont-elles trouvé ?

D'ailleurs pour l'exercice 3, j'ai trouvé une généralisation. En fait on peut montrer que nous avons cette inégalité pour tout point O du plan (en scindant la démonstration en 2 : une partie traitant du point O hors de (AB) et l'autre partie lorsque O € (AB)).

[mx6]

J'ai trouvé exercice 1 et 2 . Les autres quand j'aurais le temps .
Sinon je trouve, que c'est pas trop dur, faut juste savoir appliquer les formules .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2220c077]

Tu pourrais poster tes solutions s'il te plaît ?

[mx6]

Désolé mais comme tu peux le remarquer jamais j'ai pu poster des solutions .. je connais rien à LaTeX désolé .

[invite2220c077]

Bah tu écris sans le LaTeX ... Avec les notations "standards du net" ; ex : ^ = exposant, _ = indice, /= : différent de etc ...

[invite2220c077]

Alors mx6 ?

[invite2220c077]

Je vois que mes problèmes n'ont pas eu un franc succès . Pour les plus chevronés, je vous propose celui-là, je l'ai trouvé magnifique, donc je le partage avec vous :

Exercice 6 :

Soient et des entiers naturels donnés et un point M du plan situé à l'intérieur d'un angle de sommet O. Une droite (l) passant par M coupe les côtés de l'angle en deux points A et B. Déterminer la position de la droite (l) de sorte que le produit soit minimal.

[invite1237a629]

Plop,

Juste parce que j'aime bien la géométrie et que j'ai parfois un tit côté maso, j'ai essayé le premier, j'garantis rien

I. (AB)//(CD) => MN=(AB+BC)/2

 Cliquez pour afficher

évident par Thalès

Quoi, faut l'montrer ? Pfff

1. (MN)//(AB) (et (CD), chipote pas !)
2. MN=(AB+BC)/2


Démonstration du 1.

Posons H tel que (MH)//(DC).
H est le milieu de [AC] par le théorème de Thalès (triangle ADC), car M est le milieu de [AD]
Or, N est le milieu de [BC]. Donc (NH)//(AB) (triangle ABC), donc (NH)//(DC).

Or, par un point, il passe une unique droite parallèle à une droite. Donc (HM) (qui aime le shopping me suive !) et (HN) sont confondues.


Démonstration du 2.

Point précédent => M,H,N alignés. Donc MN=MH+HN.

Thalès, Thalès, double Thalès ! MH=1/2 DC (triangle ADC) et HN=1/2 AB (triangle ABC).

Donc MN=(AB+CD)/2

Figure : http://foxbergerie.free.fr/PourToiPublic/geom_1.JPG

II. MN=(AB+CD)/2 => (AB)//(CD)

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(tout en vecteurs - eh, maso, mais faut pas pousser ! )
MN=MH+HN

MH=MD+DC+CH

HN=HC+CN

MN=MD+DC+CN (que j'aurais pu trouver directement, mais c'était pas évident :P)
Or, MD=1/2 AD et CN=1/2 CB
AD=AB+BC+CD

=> MN=1/2 AB + 1/2 BC + 1/2 CD + DC + 1/2 CB
MN=1/2 AB + 1/2 DC

Inégalité triangulaire : on a

Donc AB et DC sont colinéaires, ie parallèles (égalité triangulaire si c'est colinéaire qu'on m'a dit ^^)

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Chécuèfedé. (heureusement que quelqu'un était là pour me parler d'inégalité triangulaire )

PS @ mx6 : pour le tex qu'il y a... t'aurais pu t'en passer

[invite2220c077]

J'ai survolé ta solution, et jusqu'à preuve du contraire, ça m'a l'air correct ^^

Parcontre, fiouuuu, tu t'es bien embêtée quand même .

[invite1237a629]

J'ai survolé ta solution, et jusqu'à preuve du contraire, ça m'a l'air correct ^^

Parcontre, fiouuuu, tu t'es bien embêtée quand même .

Oui surtout quand tu veux te fatiguer à bien expliquer les choses, ça rallonge... Et que 5 min après que t'aies posté ta solution t'as un pote qui te dit "tu connais pas la propriété du trapèze ?"...

[invite2220c077]

En ce qui concerne une solution plus courte, tu l'obtiens comme suit :

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Soit P = mil[AC]. Alors (MP) et (PN) sont respectivement parallèles à (CD) et (AB) (théorème de la droite des milieux). De plus, d'après ce même théorème, nous avons : MP = CD/2 et PN = AB/2. En appliquant l'inégalité triangulaire dans le triangle MNP nous obtenons :

AB/2 + CD/2 = PN + MP >= MN.

L'égalité a lieu lorsque P € (MN), c'est-à-dire lorsque les droites (MP), (PN) et (MN) coïncident. Puisque (MP)//(CD) et (NP)//(AB), alors l'égalité a lieu lorsque (AB)//(CD).

[patxiku]

Bonjour,

Exercice 2:

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D'après le théorème de la médiane on a:
On en déduis que:

[invite2220c077]

Exercice 7 : Problème du triangle de Schwarz (ou problème de Fagnano)

Inscrire dans un triangle ABC acutangle (ayant ses trois angles aigus) un triangle MNP de périmètre minimal.

Généralisation : Même question pour un triangle non acutangle.

NB : Le triangle obtenu s'appelle le "triangle orthique". Il a plein de propriétés sympas que vous trouverez sur Wikipédia. Par exemple, le triangle orthique est l'unique trajectoire de billard qui se ferme (http://pagesperso-orange.fr/therese....ard_rebond.htm).

[Forhaia]

Bonjour,

pour l'exercice 3:

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Soit un segment [AB] et M son milieu, soit un point O distinct du segment [AB]

D'après la "règle du parallélogramme", on peut construire un point C tel que OACB soit un parallélogramme et M milieu des diagonales de OACB

Dans le triangle OBC, d'après l'inégalité triangulaire

comme OC=2OM et OA=BC,
on a

de plus
donc

[Forhaia]

Pour le 4:

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Soit A', B', C' les pieds des hauteurs issues de A, B et C

Le triangle ABA' est rectangle en A' donc son plus grand côté est AB, donc AB>AA'

de même,
BC>BB' et AC>CC'

donc P(ABC)> AA'+BB'+CC'

[invite2220c077]

Exercice 8 : Problème de Steiner-Fermat-Torricelli

Trouver le point P dans le plan d'un triangle ABC acutangle donné, de sorte que la somme t(P) = AP + BP + CP soit minimale.

Généralisation : Même question lorsque t(P) = mAP + nBP + pCP, avec m, n et p des entiers naturels donnés.

[invite2220c077]

Bonjour,

pour l'exercice 3:

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Dans le triangle OBC, d'après l'inégalité triangulaire

Faux. L'inégalité est renversée justement. Par contre, l'idée d'introduire le point C comme tu l'as fait est une très bonne idée, tu es sur la bonne voie .

[invite2220c077]

Pour le 4:

 Cliquez pour afficher

Soit A', B', C' les pieds des hauteurs issues de A, B et C

Le triangle ABA' est rectangle en A' donc son plus grand côté est AB, donc AB>AA'

de même,
BC>BB' et AC>CC'

donc P(ABC)> AA'+BB'+CC'

C'est ça ! Pour chippoter, tu saurais me montrer que l'hypothénuse d'un triangle rectangle est le plus grand côté ?

[invite1237a629]

C'est vraiment du chipotage ^-^ (pis pas contente, parce que j'avais trouvé, mais j'ai vu que quelqu'un était passé avant moi snif snif)

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Déjà, c'est hypoténuse (sans h ! venant de quelqu'un comme toi, ch'uis déçue ! xD)

Car c'est ainsi qu'on l'a défini

- BC²=AB²+AC², donc dans tous les cas BC>AB ou AC. Et si tu veux montrer que BC²=AB²+AC², il y a plein de démonstrations possibles

Exercice 5 (à moitié résolu )

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AM+MC>AC
AM+MB>AB
MB+MC>BC

Parce que c'est évident (le plus court trajet reliant deux points est le segment passant par ces points - j'ignore si c'est une propriété énoncée en cours, mais elle est vraie ^^)

Donc AM+MC+AM+MB+MB+MC=2(AM+MB+MC)> AB+BC+AC=P
Donc AM+MB+MC>P/2

Et l'autre, j'ai la flemme, je trouve pas

[invite1237a629]

Pour mon deuxième spoil :

 Cliquez pour afficher

Décidément, j'ai du mal à assimiler l'inégalité triangulaire !

La fameuse propriété dont je doutais de l'intersection entre les connaissances et le programme (en bref, dont je doutais de la validité dans une démonstration ), bin c'était l'inégalité triangulaire

[Forhaia]

Voilà le 5

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1. Montrons que :

En appliquant l'inégalité triangulaire dans AMB:

de même et
Si on considère le triangle ABC non réduit à un point, l'une des inégalités au moins est stricte,
on a donc AB+AC+BC < 2(MA+MB+MC)
soit



2. Montrons que

avec tels que M soit le barycentre de (A,a);(B,b);(C,c)

On a alors

soit B' et C' tels que et

On a alors (voire ma solution de l'exercice 3 pour plus de détails)

comme ,
et
on a et

donc

on montre de même que
et

si le triangle ABC n'est pas réduit à un point, l'une au moins des inégalités est stricte, donc
2(MA+MA+MC) < 2(AB+AC+BC)
soit MA+MA+MC < P


Conclusion:

[invite1237a629]

Pour le 3 :

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Là, j'en ai une toute bizarre

Construisons N tel que OANB soit un parallélogramme.

Inégalité triangulaire : ON+NB > OB
Or, [ON] est une diagonale de OANB. Donc M milieu de [ON] (après quelques lignes que la Molette prod. a décidé de tronquer ). Donc ON=2OM.

ON=2OM > |OB-NB|

Or, NB=OA, car c'est un parallélogramme.
Donc 2OM > |OB-OA|

C'est ça m'sieur ?

[Forhaia]

Faux. L'inégalité est renversée justement. Par contre, l'idée d'introduire le point C comme tu l'as fait est une très bonne idée, tu es sur la bonne voie .

il n'y a que moi pour être assez boulet pour appliquer l'inégalité à l'envers
ça donne donc:

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si
on applique l'inégalité triangulaire (dans le bon sens ):

soit

si
on applique aussi l'inégalité triangulaire:

soit

[invite2220c077]

il n'y a que moi pour être assez boulet pour appliquer l'inégalité à l'envers
ça donne donc:

 Cliquez pour afficher

si
on applique l'inégalité triangulaire (dans le bon sens ):

soit

Hum, non, l'inégalité obtenue n'est pas équivalente à . Pour la montrer, il faut montrer que l'on a et .

Quand tu auras fait ça, refais le même exercice lorsque O est un point quelconque du plan. En gros, traite le cas où O € (AB), et par la même occasion, établis les positions de O telles que 2OM = |OA - OB|

[Forhaia]

Ben si j'ai juste pas assez détaillé:

si





comme

donc |OA-OB|=OA-OB
donc


si
on applique aussi l'inégalité triangulaire:




comme

donc |OA-OB|=OB-OA
donc

[invite2220c077]

Ok . Sinon, sans faire un raisonnement par disjonction de cas :

Dans le triangle OBC on a : OC + OB > BC et OC + BC > OB, d'où 2OM > OA - OB et 2OM > OB - OA

[invite2220c077]

Allez, maintenant, passe aux problèmes beaucoup plus difficiles

[Forhaia]

une remarque pour le 6,

 Cliquez pour afficher

il faut ajouter dans l'énoncé que (l) ne passe pas par O non?


Sinon quand p et q sont non nuls:
(l) passe par O
donc O=A=B et


Si p est nul et q non nul:
on met (l) de sorte que B se rapproche de O le plus possible mais sans l'ateindre
ainsi

et

Si p et q sont nuls:
(l) est n'importe où,


Ou alors c'est ça la réponse?
ça me semble un peu trop simple non?