Pb De Maths Besoin D4aide Merci

[invite167cacf7]

Fonction f(x)==xe^(1/x) avec f(0)=0 df:[0;+oo[

-montrer que f est continue en 0
-montrer que f est dérivable en 0
-calculer la lim f en +oo
-etudier les variation de f
je voudrai comparer mes réponses
merci d'avance
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[martini_bird]

Bonjour,

Fonction f(x)==xe^(1/x) avec f(0)=0 df:[0;+oo[

-montrer que f est continue en 0
-montrer que f est dérivable en 0

tu es sûr de toi?

[invite4910fcda]

Pour la continuité tu peux utiliser la limite: lim(x->0) xe^x=0=f(0).
Pour la dériveabilité je ne vois pas trop au premier coup d'oeil je vais prendre un papier.
Pour la limit il s'agit de +l'infini évidement.
Pour les variations, surement avec la dérivée.

[invitebb921944]

Lu

Pour la continuité tu peux utiliser la limite: lim(x->0) xe^x=0=f(0).

Sauf que la limite ne vaut pas 0 en 0+.
Pis j'ai pas l'impression que cette fonction soit dérivable en 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Hum... je vois pas pourquoi elle serait continue en 0!

jdh, maxxx a écrit exp(1/x) et non exp(x)...

[invite4910fcda]

Bon j'ai pas pu éditer mais voilà ce que je voulais mettre:

J'ai trouvé pour la dérivabilité:
lim x->0)(xe^(1/x )-0)/x=lim (x->0)e^1/x=lim(x->0)(e^x)/e=1/e.


Pour les variations: f'(x )= e^(1/x)*(1-1/x)
Ta fonction est donc strictement croissante sur ]-l'infini;0], décroissante sur [0;1], croissante sur [1;+l'infini]

PS: je n'ai pas vu l'exponentiellen cours.

[invite4910fcda]

En effet je me suis trompé, et ça ne marche pas en 0+ on une limite infinie alor qu'en 0- on a une limite en 0.
Pour le restec'est bon en tout cas.

[martini_bird]

PS: je n'ai pas vu l'exponentiellen cours.

Ce qui fait que tu as écrit des bêtises!

[invite4910fcda]

Ba juste pour la continuité. Le reste est bon.

[invitebb921944]

lim (x->0)e^1/x=lim(x->0)(e^x)/e

Eh beh...Tu sors çà d'ou ?

[martini_bird]

Tu as raison, ta dérivée est correcte. Mais pour te taquiner un peu, que penses-tu de la dérivabilité en 0?

[martini_bird]

Pour ta gouverne, jdh:

http://www.bibmath.net/dico/index.ph...ogarithme.html

Bien à toi,
mb.

[invite4910fcda]

Eh bien pour la dérivabilité en 0 je suppose qu'elle est continue puisque c'est la question précédente, c'est comme ça qu'on fait en lycée .

Pour Ganash e^(1/x)=e^(x^-1))=e^x*e^-1=e^x/e donc quand x tend vers 0, 1/e.
Merci pour le lien.

PS: J'ai déjà étudié l'exponnentielle ( et une bonne partie du programme deTS) cet été.

[invitebb921944]

Ta transformation de l'exponentielle est fausse jdh.

[invite4910fcda]

Ah bon mais pourquoi?

Ah oui suis-je bête: e^(1/x)=e^(x^-1)=(e^x)^-1=1/e^x, donc quand x tend vers 1,1.

[martini_bird]

Eh bien pour la dérivabilité en 0 je suppose qu'elle est continue puisque c'est la question précédente, c'est comme ça qu'on fait en lycée .

Et si la fonction n'est pas continue comme c'est le cas ici?

Petite explication:
une fonction dérivable en un point est nécessairement continue en ce point.
Une fonction continue n'est pas forcément dérivable (abs(x) est continue mais pas dérivable en 0).
Une fonction qui n'est pas continue ne risque pas d'être dérivable!

[invitebb921944]

lim (x->0)e^1/x=lim(x->0)(e^x)/e

Parce que çà c'est faux !

[invite4910fcda]

Je le sais bien mais bon c'est un moyen si la fonction est continue, puisqu'elle ne l'est pas c'est faux mais bon c'est pas comme si je pensais qu'elle était dérivable en 0.

[invitebb921944]

Non mais çà n'a pas de rapport avec sa continuité là, c'est ton calcul qui est faux.
e^(1/x) n'est pas égal à e^x/e

[invite4910fcda]

Désolé Ganash j'ai vu la faute c'est:
e^(1/x)=e^(x^-1)=(e^x)^-1=1/e^x, donc quand x tend vers 1,1.

[invitebb921944]

C'est beaucoup mieux !

[invite4910fcda]

Oups, Ganash le message était pour Martini Bird pas pour toi, je suis de ton avis à présent.

[martini_bird]

J'y comprends plus rien!

Reprenons:
- la fonction n'est pas continue en 0 donc ça ne sert à rien de calculer la dérivée!

- Ganash a raison: dans l'emploi de l'exponentielle, tu as commis une erreur (ce qui est compréhensible si tu ne l'a pas encore vu).

Désolé Ganash j'ai vu la faute c'est:
e^(1/x)=e^(x^-1)=(e^x)^-1=1/e^x, donc quand x tend vers 1,1.

Désolé, mais c'est faux! Les règles sur l'exponentielle sont les mêmes que pour les puisssances, tout simplement. Comme avec les puissances, on a pas l'associativité:

(a^b)^c différent de a^(b^c)!

(sinon 10^(3^2)=(10^3)^2 et 10^9=10^6, ce qui arrangerait bien mon banquier! )

[invite4910fcda]

Donc récapitulons:
-f n'est pas continue en 0
-f n'est pas dérivable en 0
Donc autant ne pas chercher les répnses à ces questions ( Martini_bird tu fais quel métier pour avoir des sommes comme ça?)
Ce qui nous amène à deux question: -Martini_bird et Ganash vous voulez bien me pardonner?
-Maxxx où as-tu dégoté ce problème??

[invite4910fcda]

Effectivement j'étais un peu dissipé, si j'étais pas devant le pc ça ne serait pas arrivé.

[invite03056aa2]

En fait lorsque la fonction n' est pas continue en 0 on peut parfois calculer sa dérivée en 0 au sens des distributions ( cela donne souvent des dirac) mais ici la fonction en question n' est pas localement intégrable au voisinage de 0 donc la dérivée au sens des distributions n' est pas définie... il est peut être néanmoins possible de voir f comme une distribution d 'ordre supérieur à 1 ( style la valeur principale...) mais je pense que cela à peu de chance de réussir .

[martini_bird]

En fait lorsque la fonction n' est pas continue en 0 on peut parfois calculer sa dérivée en 0 au sens des distributions ( cela donne souvent des dirac) mais ici la fonction en question n' est pas localement intégrable au voisinage de 0 donc la dérivée au sens des distributions n' est pas définie... il est peut être néanmoins possible de voir f comme une distribution d 'ordre supérieur à 1 ( style la valeur principale...) mais je pense que cela à peu de chance de réussir .

Tu fais du bulldozer Pilzenbil?

[invite4910fcda]

Pilzenbir, vu la tête de l'éxercice c'est du niveau TS à première vu pas license de maths.
( tu utilise aussi ce genre de raisonnement à confrontation??)

[martini_bird]

Ceci étant, j'en profite pour poser une question: on a à faire à une singularité essentielle en 0 et ça fait quelques mois que j'essaie de tirer des informations sur des fonctions à partir de leur comportement au voisinage d'une singularité essentielle.

Quelqu'un connait des choses sur les singularités essentielles (surface de Riemann associée, revêtements, résidus)?

[invite03056aa2]

Un amateur de confrontation jdh??

Sinon bien sûr ce n'est pas un raisonnement à proposer en ts et ma réponse était plutôt destinée à d' autre intervenants pour éléver un peu le débat...