Incompréhension correction arithmétique.

[invited622d663]

Bonsoir

J'ai du mal à comprendre une correction sur un exercice de math. voici la chose :

Le lien est le suivant pour voir l'exercice en entier, j'ai recree un topic car j'ai besoin d'une réponse rapide étant donné que j'ai une interro cette semaine en spécialité math.
http://forums.futura-sciences.com/post1104688.html
1 a)

En remarquant que N = M+2, déterminer le PGCD de M et N

Et bien, le correcteur a écrit :

PGCD(N,M) = PGCD(M,2) comme M >2 et M impaire , PGCD(N,M)=1

Et bien la fin j'ai compris et c'est logique, mais le début je ne comprend pas le passage PGCD(N,M)=PGCD(M,2) car N=M+2

Merci d'avance.
-----

[invite03f2c9c5]

Bonsoir, cela se base sur la propriété (par ailleurs très simple à prouver) : si c divise a et b, alors il divise toute combinaison du type au+bv (a, b, c, u, v étant des entiers bien sûr).

[invitef4181796]

Bonsoir

J'ai du mal à comprendre une correction sur un exercice de math. voici la chose :

Le lien est le suivant pour voir l'exercice en entier, j'ai recree un topic car j'ai besoin d'une réponse rapide étant donné que j'ai une interro cette semaine en spécialité math.
http://forums.futura-sciences.com/post1104688.html
1 a)

En remarquant que N = M+2, déterminer le PGCD de M et N

Et bien, le correcteur a écrit :

PGCD(N,M) = PGCD(M,2) comme M >2 et M impaire , PGCD(N,M)=1

Et bien la fin j'ai compris et c'est logique, mais le début je ne comprend pas le passage PGCD(N,M)=PGCD(M,2) car N=M+2

Merci d'avance.

Appelle P le PGCD de N et N+2. P divise N et N+2, donc aussi N+2-N=2.
Donc P=1 ou 2. Si N est impair, P=1. (et si N est pair, P=2).

[invite1237a629]

C'est aussi la propriété de la division euclidienne

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited622d663]

à d'accord !!! Merci bien vous me débloquer

[invited622d663]

Je me demandais là :

Peut-on écrire généralement

PGCD(b,b+a)= PGCD(b,a) ??? b et a entier naturel

[invite03f2c9c5]

Je me demandais là :

Peut-on écrire généralement

PGCD(b,b+a)= PGCD(b,a) ??? b et a entier naturel

Oui, à l'aide de la propriété que j'ai rappelée plus haut, tu peux facilement montrer que les diviseurs communs à a et b sont exactement les diviseurs communs à b et b+a. En particulier, le plus grand d'entre eux coïncide.

[invite1237a629]

Yes, mais là, la démonstration n'est pas aussi facile

Soit d = pgcd(b, b+a) et d' = pgcd(b,a)

Montrons que d divise d' et d' divise d. Alors d = d'

d divise b et b+a (logique)
Donc d divise a (car d divisera toute combinaison linéaire de b et b+a, donc (b+a)-b)
Donc d divise et b et a.
Donc d divise le pgcd de b et a, c'est-à-dire d' (attention, on a juste montré que d était un diviseur commun à b et a, pas que c'était le plus grand, d'où le fait qu'on affirme qu'il divise d' et non pas qu'il est égal)


Ensuite,
d' divise b et a
Donc d' divise aussi b+a
Donc d' divise b et b+a
Donc d' divise le pgcd de b et b+a (idem que plus haut), c'est-à-dire d


CQFD



Edit : ah bon ?

[invited622d663]

Merci beaucoup pour ta démonstration ! et merci bien pour votre aide précieuse.