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Dm fonctions TS



  1. #1
    -bonbon-

    Dm fonctions TS


    ------

    Bonjour à tous!

    J'ai des petitis problèmes pour finir mon DM de maths, j'espère que vous pourrez m'aider

    Voici l'énoncé :
    On considère la fonction fn définie sur R par :
    fn (x) = x^n * (1-x) où n est un entier naturel non nul

    Etudier suivant la parité de n :
    a) la limite de la fonction fn en -infini
    b) la limite de la fonction fn en +infini
    c) les variations de fn, on en dressera le tableau de variation en précisant les éventuels extrêma locaux
    d) le nombre de solutions à l'équation fn (x) = 1 sur R

    Voilà ce que j'ai fait :
    a) lim fn(x) = +infini pout tout n € Nétoile pair
    lim fn(x) = -infini pout tout n € Nétoile impair

    b) lim fn(x) = -infini pour tout n € Nétoile

    c) J'ai calculé la dérivée :
    fn'(x) = x^n * (n/x + n - 1)
    On a x^n > 0 pour tout x € Rétoile+
    x^n < 0 pour n impair et x<0
    x^n > 0 pour n pair et x<0

    Et après je suis bloqué pour le signe de (n/x + n -1).

    Merci d'avance!

    -----

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  3. #2
    Forhaia

    Re : Dm fonctions TS

    J'ai trouvé

    Après pour étudier le signe de, c'est une fonction affine normale, sauf que tu ne connait pas n, ta racine sera donc en fonction de n...

    N'oublie pas non plus que n est strictement positif.

  4. #3
    -bonbon-

    Re : Dm fonctions TS

    Oui en effet je me suis trompé en écrivant la dérivée.
    Il s'agit bien de x^n * ( n/x - n -1)

    Ensuite ce que tu viens de me dire :
    n/x - n - 1 < 0
    (n - nx - x)/x < 0
    n - nx - x < 0
    x> n - nx
    Voilà jusque là je l'avais déjà fait, mais pour après je sais pas...

  5. #4
    Forhaia

    Re : Dm fonctions TS

    C'est pas faux, mais ça te fait pas beaucoup avancer.

    Tu résous ça en mettant les termes (ici le terme) en x d'un côté, les autres de l'autre...

    Mais je me rend compte à l'instant que ta simplification de la dérivée est fausse.

    en effet:
    là tu as divisé et multiplié par x, ce qui suppose qu'il est non nul, ce qui n'est pas le cas.

    IL faut plutôt factoriser par
    cela donne finalement


    Tu étudies donc le signe de et de

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    -bonbon-

    Re : Dm fonctions TS

    Ok alors faisons comme ça

    x^(n-1) > 0 pour tout x > 0
    x^(n-1) > 0 pour x < 0 quand n impair
    x^(n-1) < 0 pour x < 0 quand n pair

    Ensuite pour (n- nx - x) :
    pour x < 0, (n - nx - x) < 0 car n>0
    Après pour x > 0
    n - nx - x > 0
    x + nx > n
    x ( 1 + n ) > n
    Enfin je sais pas trop

  8. #6
    Forhaia

    Re : Dm fonctions TS

    Tu pars dans le mauvais sens.

    Il faut écrire: n - nx - x < 0 et chercher les valeurs de x pour lesquelles c'est vrai

    et n - nx - x > 0 et chercher les valeurs de x pour lesquelles c'est vrai


    Si tu devais chercher le signe de 2-2x-x, comment procèderais tu?
    tu fais pareil sauf qu'au lieu de 2 tu as n...

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  10. #7
    -bonbon-

    Re : Dm fonctions TS

    n - nx - x < 0
    x + nx > n
    (n+1)x > n
    x > n / (n+1)

    Voilà j'arrive à ça

  11. #8
    -bonbon-

    Re : Dm fonctions TS

    De plus, n / (n+1) > 0

  12. #9
    Forhaia

    Re : Dm fonctions TS

    Oui c'est ça, maintenant tu peut faire ton tableau de signe...

  13. #10
    -bonbon-

    Re : Dm fonctions TS

    Je viens de vérifier à la calculatrice et je pense que c'est bon.
    On a donc pour les signe de f' :
    si n impair, alors f' > 0 sur -infini 0
    f' < 0 pour le reste avec un passage à 0 en n/(n+1)

    si n pair, f' toujours n'gatif avec passage à 0 en n/(n+1)

    Est-ce correct?

  14. #11
    -bonbon-

    Re : Dm fonctions TS

    Dans cette visée, je verrai un extrema local pour n impair en x=0

    Pour fn(x) = 1, avec le théorème des valeurs intermédiaires, on va trouver une solution pou -infini<x<0
    Mais pour résoudre l'équation....

  15. #12
    Forhaia

    Re : Dm fonctions TS

    Non, pas vraiment,

    Fait deux tableaux de signe (l'un avec n pair, l'autre n impair) avec
    signe de , signe de n-xn-x et signe de et enfin seulement variations de f.

  16. Publicité
  17. #13
    -bonbon-

    Re : Dm fonctions TS

    Oui oui c'est ce que j'ai fait
    Sauf que pour le tableau de signe, il faut mettre x= 0 et x= n(n+1)
    Comme n/(n+1) > 0, on le met après 0

    Je te dis les nouvelles variations que je trouve :
    n impair : f croissant sur -infini ; n/(n+1) et décroissant sur le reste
    n pair : f décroissant sur R

    On a donc comme extrema local : n/(n+1)

    Voilà, j'espère que c'est bon

  18. #14
    -bonbon-

    Re : Dm fonctions TS

    Oup je me suis trompé pour n pair :
    f décroissant sur -infini;0 , croissant sur 0;n/(n+1) et décroissant sur le reste

  19. #15
    -bonbon-

    Re : Dm fonctions TS

    Et pour les extrema locaux on a :
    pour n impair : n/(n+1) (maximum)
    pour n pair : 0 minimum et n/(n+1) maximum

  20. #16
    Forhaia

    Re : Dm fonctions TS

    C'est tout bon!

    Tu peux maintenant déduire le nombre de solution de fn (x) = 1 sur R
    avec le TVI...

  21. #17
    -bonbon-

    Re : Dm fonctions TS

    Eh bien comme n/(n+1) différent de 1, donc il n'y a pas de solution pour n impair.
    En revanche, pour n pair, il existe une solution sur -infini;0.
    Voilà je crois que c'est bon.
    Juste une dernière question : l'image d'un cercle par une rotation est un cercle de même rayon, le centre est juste décalé de l'angle de la rotation?
    Merci pour tous en tout cas

  22. #18
    MiMoiMolette

    Re : Dm fonctions TS

    Salut,

    Tu peux regarder ici : http://www.crdp.ac-grenoble.fr/imel/...e/50/fiche.htm

    La rotation se fait sur tous les points du cercle. Cela signifie donc que leur position "relative" (position des uns par rapport aux autres) reste inchangée.

    Donc voui, le centre fait sa rotation et le rayon ne bouge pas
    Enfin je crois... j'pense qu'il faut différencier le cas où le centre de la rotation est le centre du cercle (le lien est plus fiable )
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  23. Publicité
  24. #19
    Forhaia

    Re : Dm fonctions TS

    C'est bien ça pour les solutions!

    Pour un cercle de centre O et de rayon r, son image par une rotation sera le cercle de O' et de rayon r, avec O' image de O par la rotation.

    Si le centre de rotation et le cercle sont confondu, le centre et son image sont confondu, donc l'image du cercle et le cercle sont confondus.

  25. #20
    -bonbon-

    Re : Dm fonctions TS

    Ok merci pour le site, j'vais y jeter un coup d'oeil

  26. #21
    -bonbon-

    Re : Dm fonctions TS

    Ok merci beaucoup pour tout

  27. #22
    Forhaia

    Re : Dm fonctions TS

    De rien!

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