DM sur dérivée

[invitef829e88e]

Bonjour,

J'ai à faire un DM en maths sur les dérivée qui me pose des problèmes. En voici l'énoncé:

Exercice 1:
Soit f une fonction polynome du second degré et Cf sa courbe représentative.
Montrer que Cf est entièrement au-dessus ou en dessous de ses tangentes.

Il parait logique que les tangentes d'un polynome du second degré sont toujours en-dessous lorsque a>0 et au-dessus lorsque a<0, mais je n'arrive pas à trouver d'égalité qui le démontre.

Exercice:
On considère les paraboles P (représentant les polynomes du second degré) passant par O et tangentes en O à la droite d'équation y=x.
Démontrer que les sommets de ces paraboles P appartiennent tous à une même droite D dont on donnera l'équation.

Ici je suis complètement perdu. Je n'ai aucune idée comment démontrer cela.

Exercice 3:
On se propose de calculer la dérivée de la fonction f définie sur R par:
f(x)=Vx^4+1 (=racine carré de x puissance 4 + 1)
Pour cela, on considère la fonction u->x^4+1.
1. Calculer u'(x).

Ca, c'était encore facile.

2. Exprimer u en fonction de f. en déduire l'expression de u' en fonction de f et de f'.

Exprimer u en fonction de f, c'était facile mais je ne vois pas comment exprimer u' en fonction de f.

3. Déterminer alors f'(x).

Cela ne me pose pas trop de problème non plus.


J'ai besoin d'aide surtout pour les exercices 1 et 2.
Merci d'avance.
PLM
-----

[invitebfbf094d]

1) Si je me souviens, on a le résultat suivant : soit f une fonction dérivable sur l'intervalle I. Si pour tout x de I :

a) f ''(x) > 0 (dérivée seconde) alors la courbe est concave vers le haut pour tout x de l'intervalle I. Ce qui signifie, si tu représentes par un dessin, que la courbe est au-dessus de n'importe quelle tangente.

b) f ''(x) < 0 (dérivée seconde) alors la courbe est concave vers le bas pour tout x de l'intervalle I; la courbe est alors au-dessous de n'importe quelle tangente.

Il te suffit donc de calculer la dérivée seconde de la fonction f(x) = ax²+bx+c, et de conclure selon son signe.

2) De manière générale, la fonction polynome du second degré a pour équation f(x)=ax²+bx+c. Cependant, avec les hypothèses données, que peux-tu en déduire sur les valeurs :

a) de c si les courbes passent toutes pars zéro ?

b) de b si elles sont tangentes en O à la droite y =x ?

Avec ca, tu restreins déjà les équations possibles pour tes fonctions polynômes de degré deux. Après pour le calcul des sommets, il suffit de voir les valeurs de x pour lesquelles la dérivée est nulle. Tu en déduis alors les coordonnées (x,y) des sommets. Pour démontrer qu'ils passent tous par une même droite, j'ai pas encore trouvé ...

[inviteb47cb925]

bonjour,
j'ai exactement le meme devoir à faire pour vendredi.

Alors, pour ce qui est de l'exercice 1, je l'ai résolu sans problème, il suffit de suivre un méthode habituelle qui est la suivante:

- calculer f'(x) pour ensuite établir l'équation de la tangeante _formule f'(a)(x-a)+f(a)_(attention à cahnger a par alpha (par exemple) car a est déjà présent dans f(x) )

- calculer f(x)-y (avec y équation de tangeante), que tu cherche évidement à factoriser pour ensuite en déduire les variations de signe et les positions des tangeantes.

Ensuite, pour l'exercice 2, comme toi je suis totalement bloqué. idem pour 3)exprimer u' en fonction de f....vraiment bloqué.

Pour l'exercice 2 merci à zapple pour ces indices. Pour ma part, j'ai seulement fait le bilan des hypothèses qui est le suivant:

- les paraboles sont celles de polynômes de second degres donc, ax²+bx+c
- leurs sommets correspondent donc à -b/2a ("moins b sur deux a")
- si ils appartiennent tous à une même droite, ils ont le même coeff directeur, or celui d'une tangeante n'est autre que f' ...

voila, c'est tout..pour le moment..

[inviteb47cb925]

au ft, zapple avait raison, c'est exactement comme ça qu'il faut faire, merci =)
à l'aide des hypothèse trouver les valeur de b et c, en déduire l'équation des paraboles, utiliser alors les coordonées des sommets en sachant que leur abscisses sont -b/2a, en déduire l'équation de D.

pour l'ex 3 j'ai trouvé:
en ft quand l'énoncé dit "en déduire l'expression de u' en fonction de f et de f'." ce n'est pas:
u' en fonction de f puis u' en fonction de f' mais bien u' en fonction de f' ET f.
il faut donc utiliser la propriété qui dit que la dérivée d'une fonction f(x) = ax+b correspond à f'(x)=a[f'(ax+b)].

voilà...c'est tout...tout court.

[A voir en vidéo sur Futura]