[TS] Equa diff + nombres complexes

invite72ea9d3f · 27/12/2007, 13h20

Bonjour !

Voilà, quelques questions me bloquent dans mon DM.

1. On étudie l'évolution d'une population de rongeurs, on note u(t) le nombre de rongeurs vivants au temps t, et on admet que la fonction u ainsi définie satisfait aux conditions (E2) :
- u(0) = 1
- u'(t) = u(t)/a - [(u(t))^2]/12, pour t>0 ou nul.

On suppose que pur tout t>0, on a u(t)>0. On considère sur [0;+ $\text{[math]}$ [, la fonction h définie par h=1/u.
Je dois démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E2) ssi la fonction h satisfait aux conditions (E3), c'est-à-dire :
- h(0) = 1
- h'(t) = (-1/4)h(t) + (1/12), pour tout t>0 ou nul.

Déjà, si h(0) est différent de 1, on ne peut pas avoir u(0)=1, donc h(0) doit être égal à 1. Mais pour la seconde condition, que faut-il démontrer exactement ? Qu'on n'obtient h' qu'avec u et u' ?

2. On a l'équation différentielle (E) y' + 0.5y = 20(e^-0.5t), avec y(0)=10. On a prouvé que l'équation f(x) = (20x + 10)(e^-0.5x) est solution de cette équa diff, et on doit montrer que f est l'unique solution. On note g une solution quelconque de (E) vérifiant g(0)=10. On doit démontrer que (g - f) est solution, sur [0;+ $\text{[math]}$ [, de l'équa diff (E') y' + 0.5y = 0.
Je ne vois pas comment faire !

3. J'ai M d'affixe z, auquel on associe M' d'affixe z' = -1/z.
Relation entre modules : |z'| = 1/|z|.
Relation entre arguments ? Je sais que Arg(1/z) = -Arg(z), mais dans ce cas, Arg (z') devrait être égal à -(-Arg(z)), non ?

**Nox** · 27/12/2007, 14h31

Bonjour,

En fait tin équation de départ n'ets pas directement soluble à cause du carré : tu poses donc une autre fonction h qui te simplifiera la résolution. Pour montrer que h(0)=1 c'est immédiat d'après la définition de h : tu as h(x)=1/u(x) pour n'importe quel x donc pour x=1 tu as h(1)=1/u(1)=1/1=1. Pour l'autre condirion, tu utilises le fait que u soit solution de E2, tu calcules h' en fonction de u' et u tu simplifie un peu l'écriture pour retrouver E3.

Pour le deuxième exercice, tu sais que f et g sont solutions de (E). Posons v la fonction f-g si tu veux. Que vaut v' en fonction de f' et g' ? Grâce à ce que tu sais que f' et g' d'après E, ne peux tu pas simplifier v' ? N'apparait-il pas aussi v quelque part ? D'autre part que vaut v(0) ? Or que sais tu de la solution d'une équation différentielle comme E' ? A quelle condition peut elle s'annuler ?

Pour le troisième oui mais je ne vois pas où cela pose problème ^^. Tu peux donc placer le point M' si t sais où ets le point M maiontenant puisqu'il suffit de connaitre le module et l'arguemeht d'un complexe pour le positionner ...

Si tu ne comprends pas tout n,'hésite pas à demander !

Cordialement,

Nox

[qui écrit son 600ème message !]

invite72ea9d3f · 28/12/2007, 19h43

Merci beaucoup ! Pour le 1, c'est bien ce que je pensais, j'ai juste du mal à rédiger la chose.
Pour le 2, c'est okay, merci.

Enfin, je crois. ^^" Je trouve que g = f, ce qui implique que f est seule solution (et qui est assez logique en fin de compte).
Pour le 3, je mettais que arg(z') = arg (z), mais c'est faux ! En réalité, arg(z') = pi - arg(z), tu ne crois pas ?
Et dans ce cas, je crois que je m'en sortirais pour la suite.

Merci encore.

invite72ea9d3f · 29/12/2007, 10h17

Mmh ! Tout compte fait, j'ai un petit problème avec la suite du 2.

On me demande de calculer la valeur moyenne d'une fonction f(x) = (20x + 10)*e^(-0.5x) sur l'intervalle [0;3]. Comment faire ? Dois-je me contenter de prendre la valeur de 0, celle de 1, de 2, de 3 et faire une moyenne ? J'ai vu qu'il y avait une formule, mais nous ne l'avons jamais abordée et le livre ne l'évoque même pas... Merci d'avance.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite72ea9d3f · 29/12/2007, 13h05

J'ai également un autre souci !

Dans l'exo sur les nombres complexes, j'ai θ un réel et M(z = e $\text{[math]}$ ). Comment calculer sous forme algrébrique l'affixe de I, milieu de MM'. Je sais que l'affixe de I est 0.5(z - 1/z), mais je suis perdue...

invite72ea9d3f · 30/12/2007, 17h53

Quelqu'un aurait-il une idée pour résoudre le problème ? Une piste à me donner ?

**Nox** · 30/12/2007, 20h29

Bonsoir,

Désolé je suis assez occupé en ce moment.

"Merci beaucoup ! Pour le 1, c'est bien ce que je pensais, j'ai juste du mal à rédiger la chose.
Pour le 2, c'est okay, merci. Enfin, je crois. ^^" Je trouve que g = f, ce qui implique que f est seule solution (et qui est assez logique en fin de compte).
Pour le 3, je mettais que arg(z') = arg (z), mais c'est faux ! En réalité, arg(z') = pi - arg(z), tu ne crois pas ?
Et dans ce cas, je crois que je m'en sortirais pour la suite.

Merci encore. "

Pour le 2 tu trouves que v vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre donc qu'elle est soit nulle, soit qu'elle ne s'annule jamais (puisqu'elle serait exponentielle). Comme elle est nulle en 0 il s'agit de la fonction nulle. Donc f-g=0 ie f=g.
Pour le 3 tu ne peux pas dire que arg(-1)=-arg(1) par exemple. C'est de là que vient ton problème. Effectivement tu as $\text{[math]}$

Voilà ! Je continue message par message !

Cordialement,

Nox

**Nox** · 30/12/2007, 20h35

Envoyé par SeD SOS

Mmh ! Tout compte fait, j'ai un petit problème avec la suite du 2.

On me demande de calculer la valeur moyenne d'une fonction f(x) = (20x + 10)*e^(-0.5x) sur l'intervalle [0;3]. Comment faire ? Dois-je me contenter de prendre la valeur de 0, celle de 1, de 2, de 3 et faire une moyenne ? J'ai vu qu'il y avait une formule, mais nous ne l'avons jamais abordée et le livre ne l'évoque même pas... Merci d'avance.

Rebonsoir,

Effectivement il y a une formule ... La valeur moyenne d'une fonction entre les valeurs a et b est $\text{[math]}$ . Est-ce que tu peux la comprendre ? Si oui, tu peux utiliser le fait que cette fonction vérifie une équadiff que tu connais, donc ça devient assez simple de calculer l'intégrale en question (sinon on pourrait la faire par IPP ..). Donc tu appliques avec a=0 et b=3

Cordialement,

Nox

**Nox** · 30/12/2007, 20h43

Envoyé par SeD SOS

J'ai également un autre souci !

Dans l'exo sur les nombres complexes, j'ai θ un réel et M(z = e $\text{[math]}$ ). Comment calculer sous forme algrébrique l'affixe de I, milieu de MM'. Je sais que l'affixe de I est 0.5(z - 1/z), mais je suis perdue...

Rerebonsoir,

Alors tout d'abord sais-tu que l'affixe du milieu c'est la moyenne (arithmétique) des affixes des deux points ? Ici tu as M $\text{[math]}$ donc M' $\text{[math]}$ . Et comme par hasard si tu calcules $\text{[math]}$ (qui est l'affixe de I ne l'oublions pas) tu vas reconnaître une formule de ton cours ...

Cordialement,

Nox

invite72ea9d3f · 31/12/2007, 14h14

Bonjour ! Merci beaucoup pour tes réponses, je conçois bien que durant les fêtes c'est difficile, merci de m'accorder un peu de ton temps !

Alors... pour ton premier message, c'est okay, c'est bien ce que j'avais trouvé. Pour le second, mon seul souci est que nous n'avons pas abordé les intégrales ! XD Tu connais un autre moyen de faire la moyenne ? Bien sûr, je peux utiliser ça, mais j'aurais préféré trouver autre chose...

Quant au dernier message : merci beaucoup ! Je ne sais pas pourquoi je n'y ai pas pensé ! Je me retrouve donc avec $\text{[math]}$ ? C'est bien ça ?

**Nox** · 31/12/2007, 14h24

Envoyé par SeD SOS

Quant au dernier message : merci beaucoup ! Je ne sais pas pourquoi je n'y ai pas pensé ! Je me retrouve donc avec $\text{[math]}$ ? C'est bien ça ?

Bonjour,

Pas vraiment ... z' n'est pas $\text{[math]}$ mais son opposé .. Ce que tu as rectifié immédiatement avec le Im. Autre petit problème, la partie imaginaire d'un complexe est un réel, nous sommes d'accord ? Dans ce cas il manque un i quelque part ...

Cordialement,

Nox

**Nox** · 31/12/2007, 14h27

Bonjour,

Sinon pour la valeur moyenne il n'y a que cette méthode vu la définition ...

Cordialement,

Nox

invite72ea9d3f · 31/12/2007, 18h37

C'était une faute de frappe !

Sinon en effet, ça n'aurait aucun sens ! XD

invite72ea9d3f · 02/01/2008, 15h48

J'ai une autre question ! Histoire de vérifier ce que j'ai fait...

Tout d'abord, on me demande de déterminer les points M du plan complexe pour lesquels M et I sont confondus. Je dois résoudre l'équation z = 0.5(z - $\text{[math]}$ ), n'est-ce pas ?
Je trouve z = i ou z = - i. Est-ce normal ?

Par la suite, on me demande, avec M (z = x +iy), d'exprimer l'affixe de I en fonction de x et y. Je dois donc faire : 0.5(z - $\text{[math]}$ ) = 0.5 (x + iy - $\text{[math]}$ ) ? Mais j'arrive à un résultat comportant des cubes...

invite72ea9d3f · 04/01/2008, 10h22

Quelqu'un a-t-il une idée ? Nox, si tu passes par là... pour me rassurer. lol

**Gwyddon** · 04/01/2008, 10h39

Hello,

Nox étant manifestement absent ce matin, je vais prendre sa place momentanément

Pour I=M, tu as juste, qu'est-ce qui te chagrine ?

Ensuite pour la deuxième partie de la question, avoir des cubes ne devrait pas te choquer beaucoup non plus, puisque tu as le module de z qui intervient au dénominateur dans le calcul. Qu'obtiens-tu exactement ?

**Nox** · 04/01/2008, 16h50

Bonsoir,

Effectivement j'étais assez peu présent ces derniers jours ^^.

Sinon c'est bon ! D'accord avec Gwyddon !

Cordialement,

Nox

invite72ea9d3f · 04/01/2008, 20h03

Hi Gwyddon,

Rien ne me chagrine.

Je voulais juste avoir une confirmation.

Pour la suite, j'obtiens : 0.5 * (z - $\text{[math]}$ ) = 0.5 * $\text{[math]}$ .

Le problème n'est pas d'obtenir des cubes, en fait : le problème est de déterminer l'ensemble des points M pour lesquels I appartient à l'axe des abscisses, donc des réels, et donc les points I pour lesquels Im(I) = 0.

**Gwyddon** · 04/01/2008, 22h40

Hello,

Petite remarque en passant : c'est $\text{[math]}$ au dénominateur

Sinon qu'est-ce qui te bloque dans ta résolution ? Je te donne un indice : tu dois obtenir une droite normalement.

invite72ea9d3f · 05/01/2008, 10h06

Et dire que j'avais le carré sur mon brouillon ! XD
Je me suis revue en train de poster le message cette nuit (oui, un peu insomniaque) et ça m'a torturée ! XD
Bon, je regarde ça dès que j'ai fini mon devoir d'histoire. (Passionnant.)

Merci de votre aide à tous les deux !

invite72ea9d3f · 05/01/2008, 11h18

Eh bien... Il y a une chose qui me bloque...

Pour obtenir l'ensemble des points I pour lesquels Im(I) = 0, j'arrive donc à $\text{[math]}$ = 0, est-ce que ça me donne : (y/2) + $\text{[math]}$ = 0 ?

Pour trouver quand Re(I)=0, est-ce que je dois obtenir OM = 1 ? C'est ce que j'ai trouvé en faisant (je passe la première partie du calcul) $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ et donc |z| = 1 pour Re=0.
Mais je me demande si ce n'est pas faux puisqu'avec la même méthode pour trouver quand Im(I) = 0, j'obtiens n'importe quoi. ^^" (Où n'importe quoi veut dire |z| = -1, ce qui est impossible...)

**Gwyddon** · 05/01/2008, 12h39

Im(I) = 0 te donne y³+y+yx²=0

ça correspond à quoi cette équation ?

invite72ea9d3f · 05/01/2008, 13h37

Justement, je ne vois pas trop ! Factoriser par y ne m'éclaire pas... je dois vraiment être fatiguée...

Même avec y( $\text{[math]}$ ) = 0, bon, j'obtiens une droite, mais aussi un cercle, donc... comment faire ?!

**Gwyddon** · 05/01/2008, 17h39

Es-tu sûr que x²+y²+1=0 admet des solutions réelles ?

invite72ea9d3f · 05/01/2008, 18h25

Non, en effet, puisque... x² + y² = -1 n'a pas de solution. Réelle.

Merci ! Mais pour Re(I) = 0, ma réponse est-elle juste ?

invite72ea9d3f · 06/01/2008, 11h38

Il y a une chose que je ne comprends pas : à partir du fait que I n'appartient à l'axe des abcisses que s'il appartient à la droite d'équation y = 0, comment trouver l'ensemble des points A pour lesquels I vérifie ces conditions ?

I n'appartient à l'axe des réels que si Im(I)=0, mais pour trouver les points A...

invite72ea9d3f · 07/01/2008, 18h36

Je sais que j'insiste, mais qui n'ose rien n'a rien, hein ?

**Nox** · 08/01/2008, 07h05

Bonjour,

On te demande simplement de dire ce qui correspond géométriquement à l'ensemble des solutions que tu as trouvé par la partie imaginaire nulle ... Donc de dire qu'il s'agit ici de l'axe des abscisses...

Quoique je suis en train de dire des bêtises ...

Je dirais plutôt qu'ensuite tu prends y=0 dans l'expression de l'affixe de I que tu as, puis tu vois à quel ensemble de points cela correspond...

Cordialement,

Nox

invite72ea9d3f · 09/01/2008, 11h07

Désolée, mais je ne vois pas trop à quoi ça m'amène ! Si je remplace, et je fais sans doute une erreur, je trouve z = x...

**Nox** · 09/01/2008, 22h49

Bonsoir,

On a $\text{[math]}$ . En prenant sa partie imaginaire nulle tu es arrivé(e) à y=0. En remplacant j'obtiens $\text{[math]}$ . Je tourne en rond ..

Bref je fatigue ... Je regarderais ça un autre jour. Mais ton ensemble de points A en fait c'est l'ensemble des points M tels que I soit sur l'axe des abscisses donc a priori avec ce que tu as écris on doit avoir y nul donc z(M) réel ie M sur l'axe des abcisses lui aussi..

En fait j'aurais fait l'exo autrement... Un complexe est réel si et seulement si il est égal à son conjugué. Et entre Z réel et 0.5Z réel il y a peu de différence... Donc ton exercice revient à trouver les z tels que $\text{[math]}$ ie (je ne détaille pas ..) $\text{[math]}$ ie $\text{[math]}$ . Or $\text{[math]}$ est impossible donc on a $\text{[math]}$ ie z réel.

Conclusion : $\text{[math]}$ est réel si et seulement si z est réel.

On retrouve le résultat précédent.

Cordialement,

Nox

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