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DM Maths/ Spé Maths



  1. #1
    Minos_Dragoon

    DM Maths/ Spé Maths

    Bonjour à tous (et bonne année^^),
    Mon prof de maths nous a donné un devoir en maths et un en spécialité à faire pendant les vacances et je dois avouer que j'éprouve quelques difficultés à certains endroits et je viens donc vous en faire part en éspérant quelques pistes .

    Pour celui de Spécialité j'ai réussi tous les exos sauf un ou je reste bloqué :

    Soit a un entier naturel pair
    1)Montrer que tout nombre premier p divisant a²+1 est de la forme 4n+1

    2)En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+1


    -Je tien tout d'abord à dire qu'un fois que le 1) est résolu , je pense que le 2) ne pose pas de problèmes : il suffit de dire qu'il existe une infinité de a car il existe une infinité de nombres pairs donc il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+1

    -Pour le 1) j'ai d'abord remplacer a²+1 par 4n²+1 car a étant pair on peut dire que a=2n mais le problème c'est qu'en prenant quelques exemples concrets je vois que cela ne marche pas (9 ne divise pas 17).je me suis donc dit que n n'était pas une bonne notation , mais alors à quoi corespond le n de 4n+1 ?
    -J'ai ensuite tenté de résoudre grâce au petit théoreme de fermat mais le problème est que c'est 4n²+1 et non pas 4n²-1...et je ne sais comment procéder.


    Pour le DM de maths je bloque également à un des exercices divisé en 3 parties.
    On nous propose 2 suites :
    Un= 1+ (1/1!) + (1/2!) +......+ (1/n!) et Vn= Un + 1(n*n!) pour tout n>=1

    Je n'ai pas rencontré de problèmes à la premiere partie de l'exercice qui nous propose de calculer quelques valeurs , de montrer que l'une et croissante et l'autre décroissante et qu'elles sont toutes deux adjacentes; on aboutit ensuite sur la limite qu'on suppose être e .

    La seconde partie me pose quelques problèmes à certains endroits.
    On introduit une fonction :

    Soit n entier fixé (n>=1). On pose x compris entre [0,1]

    f(x) = e(-x) [1+(x/1!) + (x^e /2!) +.... + (x^n / n!) ]


    (désolé pour l'écriture je me rend compte que c'est peu clair)

    Déja il se pose pour moi un problème de compréhension de la logique de la formule : pourquoi (x^e / 2!) et pas (x²/2!) puisque c'est (x^n /n!).

    1)
    a)On nous demande ensuite de calculer f(0) et de montrer que f(1) =Un.e(-1)
    Ca c'est bon.
    b)Il faut montrer ensuite que f est dérivable sur [0,1] et que
    f '(x)= - [(x^n) .e (-x)] / n!
    je ne vois pas comment transformer l'espression à l'intérieur du crochet avec le .... en une seule expression afin de dériver : je sèche.

    2) On pose pour x compris entre [0,1] g(x) = f(x) + (x/n!)

    a) on nous demande de calculer g'(x) et de montrer que g est croissante.
    Ca c'est bon , en utilisant leur expression de f' (x).

    b) en déduire que e - (e/n!) <= Un
    Et la je vois pas du tout comment ils dégagent cette expression :s

    3) déduire des questions 1 et 2 la valeur exacte de l
    Ca c'est bon en faisant la limite des 2 expression lorsque n tend vers l'infini.

    Et ensuite vient la dernière partie et non la moindre

    Formulons l'hypothese que e est rationnel , c'est à dire qu'il existe deux entiers p et q tel que e= (p/q)

    1) Justifier l'encadrement Uq < (p/q) < Vq
    ca c'est bon : on le déduis du fait que U et V sont adjacentes et que e est la limite.

    En déduire que l'entier N = pq! - qq! Uq vérifie 0<N<1 .
    La je vois pas du tout comment y arriver et idem pour la question suivante.

    2)Conclure que e est un irrationnel.

    Je vous remercie d'avoir eu le courage de tout lire et j'èspère que vous pourriez me donner quelques pistes vers où me diriger , merci^^

    -----

    Ceux qui font étalage de leur force se terrent lorsque les vrais puissants arrivent.

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  3. #2
    MiMoiMolette

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Plop,

    La spé d'abord, le reste ensuite !

    -Pour le 1) j'ai d'abord remplacer a²+1 par 4n²+1 car a étant pair on peut dire que a=2n mais le problème c'est qu'en prenant quelques exemples concrets je vois que cela ne marche pas (9 ne divise pas 17).je me suis donc dit que n n'était pas une bonne notation , mais alors à quoi corespond le n de 4n+1 ?
    Faux, enfin ton exemple du 9 ne divise pas 17.

    On te demande de montrer que si un nombre premier DIVISE (or, 9 ne divise pas 17) un nombre de la forme a²+1, alors il est de la forme 4n²+1.

    Exemple : a = 5, a²+1 = 26, 2 divise 26 et 2 est de la forme 4n²+1... Bon...il n'y a pas une condition sur p ? ^^

    Ca, c'est fait...now, faut trouver tu m'excuseras, faut que je réfléchisse xD
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  4. #3
    MiMoiMolette

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Déja il se pose pour moi un problème de compréhension de la logique de la formule : pourquoi (x^e / 2!) et pas (x²/2!) puisque c'est (x^n /n!).
    Très bizarre, oui. Dis-moi, ton prof ne t'aurait pas donné ce dm sous forme manuscrite ?

    A remplacer par 2, c'est une absurdité =)

    b)Il faut montrer ensuite que f est dérivable sur [0,1] et que
    f '(x)= - [(x^n) .e (-x)] / n!
    je ne vois pas comment transformer l'espression à l'intérieur du crochet avec le .... en une seule expression afin de dériver : je sèche.
    La dérivée d'un produit est uv'+u'v.
    dérivée de e(-x) = -e(-x) (je donne la solution,mais vu ton mode de raisonnement, je suppose que tu connais tout ça...)

    Développe f(x) et dérive membre à membre (sans tout copier de 1 à n ! tu auras la solution intuitivement), tu comprendras mieux
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  5. #4
    bubulle_01

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Pour ton exercice de spé :
    On pose
    On a alors
    On s'intéresse modulo 4.

    Ainsi
    Or divise soit
    Ainsi
    Or
    D'où
    Soit est de la forme avec entier.

  6. #5
    Minos_Dragoon

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Meric beaucoup Bubulle , j'avais pas du tout penser à commencer directement par les congruences et je me suis perdu avec les n...^^

    Merci aussi Minimoilette ,je pense aussi que l'énoncé était faux (mais il était photocopié et pas manuscrit , bizarre).En dérivant je suis en effet tombé sur la formule voulut^^

    A partir de la , le reste en a découlé , j'ai tout trouvé sauf la derniere question où il faut dire que e est un irrationnel.

    Merci encore à vous deux pour votre aide^^
    Ceux qui font étalage de leur force se terrent lorsque les vrais puissants arrivent.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    bubulle_01

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Citation Envoyé par bubulle_01 Voir le message
    Or
    D'où
    J'ai dit ca mais je ne pense pas que cela soit juste, en tout cas l'un n'équivaut pas l'autre ...
    Je me suis mis à inventer des théorèmes ^^

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  10. #7
    MiMoiMolette

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Voui, ça m'a paru bizarre aussi, parce qu'on ne marche pas avec le même modulo

    (ma feuille va m'aider >_<)

    Dernière modification par MiMoiMolette ; 05/01/2008 à 14h13.
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  11. #8
    MiMoiMolette

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Erreur dans le lien -_-

    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  12. #9
    bubulle_01

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Comment trouves-tu l'égalité ?
    Ce ne serait pas plutôt

  13. #10
    MiMoiMolette

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Ben N multiple de p, j'enlève 1 p et je l'isole
    Ah oui, ce serait plutôt ça, mais en fait, ça peut très bien être k'-1 ou autre, on s'en fiche... ^^


    Mais ça n'avance à rieeeen

    (en fait, si, je crois avoir trouvé XD)

    Edit, bon en fait non -_-
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  14. #11
    bubulle_01

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Bah si t'as ca équivaut à -_-

  15. #12
    MiMoiMolette

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Non, ce n'est pas le même facteur oO
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

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  17. #13
    bubulle_01

    Re : DM Maths/ Spé Maths


    Si
    Alors
    Soit soit

  18. #14
    MiMoiMolette

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Arf, on s'est mal compris

    (espèce de patate ^^)

    Qu'on appelle ça k'-1, 1-k', x, z, ou autre, on s'en fiche. Oui, j'ai fait une erreur de signe ! mais c'est le global qu'on veut, a priori ça on n'en a rien à faire :/

    Ce que je voulais montrer c'est que ton affirmation n'est pas démontrable oO enfin doit bien y avoir un moyen...
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  19. #15
    bubulle_01

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Ba non c'est toi la patate !
    k' n'est pas un entier quelconque, c'est le quotient de N avec p.
    Tu peux pas avoir k'=2 par exemple, donc justement, on se soucie du signe (On m'a compris j'éspère :P).
    Dernière modification par bubulle_01 ; 05/01/2008 à 15h57.

  20. #16
    MiMoiMolette

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Arf...

    Bon bref, on met -(k'-1) au lieu de +(k'-1) j'ai bien compris =)

    Mais ça ne fait pas avancer le schmilblick ~
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  21. #17
    bubulle_01

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Nan, pas trop ^^
    /me va faire un tour près des théorèmes de Fermat qu'il ne connait pas ^^

  22. #18
    bubulle_01

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    J'ai un truc mais bon ... :
    est un nombre représentable de la forme avec pair et .
    Or divise .
    Ainsi, si est premier et est de la forme avec réel quelconque, alors divise et soit divise .
    Or si divise ,
    Or donc différent de .
    Ainsi ne divise pas . Donc n'est pas de la forme .
    Ainsi car p premier.
    Ca utilise un théorème qui n'est pas forcément connu ...

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  24. #19
    MiMoiMolette

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Citation Envoyé par bubulle_01 Voir le message
    J'ai un truc mais bon ... :
    est un nombre représentable de la forme avec pair et .
    Or divise .
    Ainsi, si est premier et est de la forme avec réel quelconque, alors divise et soit divise .
    Or si divise ,
    Or donc différent de .
    Ainsi ne divise pas . Donc n'est pas de la forme .
    Ainsi car p premier.
    Ca utilise un théorème qui n'est pas forcément connu ...
    Outch le code ! Je comptais prendre un morceau seulement, mais...je vais oublier ça

    Donc, ce que je voulais faire remarquer, c'est comment tu peux affirmer la partie "p divise a et b ou p divise 1" alors que tu as dit explicitement que b = 1 ?

    De plus, si p divise N, on ne sait pas forcément que p divise a et p divise b.
    Contre-exemple : a = 5, b = 7, N = 25+49 = 74. p = 37 et tu me dis quoi dessus ? ^^


    Ah, tu peux citer le théorème ? :s
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  25. #20
    bubulle_01

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    divise et . Mais .
    Donc divise .
    Je n'ai pas mis "ou" mais "soit" ^^
    Justement, la deuxième partie de ton message est justifiée par le théorème

  26. #21
    MiMoiMolette

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Tu ne m'as pas comprise.

    Pourquoi p diviserait a et b ?
    Avec b = 1 comme tu l'as dit précédemment.

    Tu ne veux pas citer ce théorème ? ^^'
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  27. #22
    bubulle_01

    Re : DM Maths/ Spé Maths


  28. #23
    MiMoiMolette

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Décidément, j'ai du mal :s

    Théorème
    Un entier naturel n peut être représenté comme une somme de deux carrés ssi chaque facteur premier de la forme p=4m+3 apparaît avec un exposant pair dans la décomposition en facteurs premiers de n.


    Perso, je vois pas ce que peut apporter ce théorème ici :s

    Corollaire
    ...


    Faut que tu m'expliques comment tu fais le lien entre ce qu'il y a et cet exo
    Désolée, mais j'adore contredire les gens ^^'


    Petite aparté : un dm niveau terminale ne demanderait pas l'utilisation de telles choses, à moins d'avoir un prof sadique ~
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  29. #24
    bubulle_01

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Page 24 :
    "(4) Si p=4m+3 est un nombre premier qui divise un nombre représentable n=x²+y², alors p divise x et y, et donc p² divise n."

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  31. #25
    MiMoiMolette

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Donc comme p ne peut pas diviser y (dans notre cas), on en déduit que la proposition "Si p=4m+3 est un nombre premier qui divise n" est fausse.

    Now, la proposition est fausse sur quels points ?
    - le 4m+3
    - le caractère premier du nombre
    - la divisibilité de n

    ^^


    [autocorrection] Ok : mais quelle nouille je fais
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  32. #26
    bubulle_01

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Ba dans notre cas, p=4m+3 ne divise pas n ^^

  33. #27
    MiMoiMolette

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Ui ui c'est parce que nous on a un p qui divise n mais qui ne divise pas y (1) ^^

    Par contre...un poil compliquée à la démonstration !
    Tu n'aurais pas pu trouver plus simple comme théorème ? Pauvre Minos_Dragoon

    Ca m'étonne qu'on demande ça en terminale :s le fait de pouvoir trouver un x barre tel que x x barre = 1 mod p fait appel à une notion qu'on ne voit pas en terminale (du moins dans mes souvenirs...)
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  34. #28
    bubulle_01

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Oui ...
    Il doit y avoir un moyen de prouver le truc sans faire appel à ca, mais ca m'échappe :S

  35. #29
    Minos_Dragoon

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Le prof a donné la solution je vais essayer de me rappeler comment il a fait^^:
    Comme a est pair (par def) alors a²+1 est impair.
    Donc si on travaille modulo 4 , p est de la forme 4n+1 ou 4n+3 (car 4n+2 est pair donc impossible).
    Comme a et p premiers on a d'après fermat :
    a^(p-1) congrue à 1 [p]

    Par l'absurde si p premier de la forme 4n+3 :
    a^(4n+2) congrue à 1 [4n+3]

    comme p divise a²+1 alors
    a² congrue à -1 [p]
    a^(4n) congrue à 1 [p]
    a^(4n+2) congrue à -1 [p]
    donc 1 congrue à -1 [p] donc p=2 , absurde car p de la forme 4n+3

    Donc p n'est pas de la forme 4n+3 , p est de la forme 4n+1.
    (désolé mais je ne savais pas faire le signe "congrue à" au clavier)
    Ceux qui font étalage de leur force se terrent lorsque les vrais puissants arrivent.

  36. #30
    MiMoiMolette

    Re : DM Maths/ Spé Maths

    Aaaaah, interesting =}

    Le truc, c'est entre les deux paragraphes, ce n'est pas le même n. Mais ça ne change rien je crois...

    Arf, vraiment tordu

    Pour le signe congru, tu peux utiliser le langage tex : [ tex]\equiv[/tex]

    =>
    Dernière modification par MiMoiMolette ; 08/01/2008 à 20h09.
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
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