Bonjour à tous (et bonne année^^),
Mon prof de maths nous a donné un devoir en maths et un en spécialité à faire pendant les vacances et je dois avouer que j'éprouve quelques difficultés à certains endroits et je viens donc vous en faire part en éspérant quelques pistes .
Pour celui de Spécialité j'ai réussi tous les exos sauf un ou je reste bloqué :
Soit a un entier naturel pair
1)Montrer que tout nombre premier p divisant a²+1 est de la forme 4n+1
2)En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+1
-Je tien tout d'abord à dire qu'un fois que le 1) est résolu , je pense que le 2) ne pose pas de problèmes : il suffit de dire qu'il existe une infinité de a car il existe une infinité de nombres pairs donc il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+1
-Pour le 1) j'ai d'abord remplacer a²+1 par 4n²+1 car a étant pair on peut dire que a=2n mais le problème c'est qu'en prenant quelques exemples concrets je vois que cela ne marche pas (9 ne divise pas 17).je me suis donc dit que n n'était pas une bonne notation , mais alors à quoi corespond le n de 4n+1 ?
-J'ai ensuite tenté de résoudre grâce au petit théoreme de fermat mais le problème est que c'est 4n²+1 et non pas 4n²-1...et je ne sais comment procéder.
Pour le DM de maths je bloque également à un des exercices divisé en 3 parties.
On nous propose 2 suites :
Un= 1+ (1/1!) + (1/2!) +......+ (1/n!) et Vn= Un + 1(n*n!) pour tout n>=1
Je n'ai pas rencontré de problèmes à la premiere partie de l'exercice qui nous propose de calculer quelques valeurs , de montrer que l'une et croissante et l'autre décroissante et qu'elles sont toutes deux adjacentes; on aboutit ensuite sur la limite qu'on suppose être e .
La seconde partie me pose quelques problèmes à certains endroits.
On introduit une fonction :
Soit n entier fixé (n>=1). On pose x compris entre [0,1]
f(x) = e(-x) [1+(x/1!) + (x^e /2!) +.... + (x^n / n!) ]
(désolé pour l'écriture je me rend compte que c'est peu clair)
Déja il se pose pour moi un problème de compréhension de la logique de la formule : pourquoi (x^e / 2!) et pas (x²/2!) puisque c'est (x^n /n!).
1)
a)On nous demande ensuite de calculer f(0) et de montrer que f(1) =Un.e(-1)
Ca c'est bon.
b)Il faut montrer ensuite que f est dérivable sur [0,1] et que
f '(x)= - [(x^n) .e (-x)] / n!
je ne vois pas comment transformer l'espression à l'intérieur du crochet avec le .... en une seule expression afin de dériver : je sèche.
2) On pose pour x compris entre [0,1] g(x) = f(x) + (x/n!)
a) on nous demande de calculer g'(x) et de montrer que g est croissante.
Ca c'est bon , en utilisant leur expression de f' (x).
b) en déduire que e - (e/n!) <= Un
Et la je vois pas du tout comment ils dégagent cette expression :s
3) déduire des questions 1 et 2 la valeur exacte de l
Ca c'est bon en faisant la limite des 2 expression lorsque n tend vers l'infini.
Et ensuite vient la dernière partie et non la moindre
Formulons l'hypothese que e est rationnel , c'est à dire qu'il existe deux entiers p et q tel que e= (p/q)
1) Justifier l'encadrement Uq < (p/q) < Vq
ca c'est bon : on le déduis du fait que U et V sont adjacentes et que e est la limite.
En déduire que l'entier N = pq! - qq! Uq vérifie 0<N<1 .
La je vois pas du tout comment y arriver et idem pour la question suivante.
2)Conclure que e est un irrationnel.
Je vous remercie d'avoir eu le courage de tout lire et j'èspère que vous pourriez me donner quelques pistes vers où me diriger , merci^^
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Envoyé par bubulle_01 
(On m'a compris j'éspère :P).
