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équations différentielles



  1. #1
    -bonbon-

    équations différentielles

    Bonjour à tous!
    J'ai besoin d'aide pour cet exo où je suis bloqué dès la 1ère question, merci de bien vouloir m'aider.

    On considère une fonction g>0, dérivable sur [0;+inf, et on suppose que g est solution de l'équation différentielle :
    (E) : y' = ay*(1 - y/M) où a>0 et M>0 constantes

    1
    a) Montrer que 1/g est alors solution de l'équation différentielle : (E') : y' + ay = a/M
    b) Résoudre (E0') : y' + ay = 0
    c) Résoudre (E')

    Voilà après j'espère réussir à me débrouiller tout seul.
    Merci d'avance

    -----


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  3. #2
    Jum06

    Re : équations différentielles

    Salut!!

    Pour ta première question, tu as une chose à démontrer et une chose de connue, qui est g est solution de (E), ce qui t'amènes à une égalité...très simple ^^

    Donc pour démontrer que 1/g est solution de (E'), il faut que tu inclues ta fonction dans l'égalité (E') puis que tu retombes sur quelque chose de connu (déjà démontré par exemple ) et pour cela tu verras qu'il te faudra pas faire grand chose ^^

    La seconde question est une question de cours et la troisième doit découler des deux premières je pense!!

  4. #3
    -bonbon-

    Re : équations différentielles

    Ok je vais essayer ça merci

  5. #4
    dukeforever

    Re : équations différentielles

    La dernière revient juste à sommer ta solution de l'équation générale ( E0 ) et ta solution particulière trouvée dans le 1 ... ; )

  6. #5
    -bonbon-

    Re : équations différentielles

    Pour la question 1 a), j'ai développé ce que l'on avait en (E) et (E').

    On a :
    g' = ag ( 1- g/M)
    g' = ag - ag^2/M
    g*(-g'/g + a - ag/M) = 0

    et pour (E') : 1/g solution
    ssi (1/g)' + a/g = a/M
    ssi -g'/g^2 + a/g - a/M = 0
    ssi 1/g * (-g'/g + a - ag/M) = 0

    Donc 1/g solution de (E')

    Estce suffisant?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jum06

    Re : équations différentielles

    Citation Envoyé par -bonbon- Voir le message
    ssi 1/g * (-g'/g + a - ag/M) = 0

    Donc 1/g solution de (E')

    Estce suffisant?
    Le problème est que tu ne peux rien conclure par rapport au résultat sur lequel tu arrives, il faudrait que tu arrives à une égalité connue, car tu cherches à démontrer que 1/g solution et 1/g n'est solution de (E') que si tu retombes à la fin sur

    Citation Envoyé par -bonbon- Voir le message
    Pour la question 1 a), j'ai développé ce que l'on avait en (E) et (E').

    On a :
    g' = ag ( 1- g/M)
    g' = ag - ag^2/M
    J'ai enlevé ta dernière ligne pour simplifier, en fait tu as juste à multiplier par quelque chose pour arriver à ce résultat, en partant de ce que tu as écrit ici :

    Citation Envoyé par -bonbon- Voir le message
    et pour (E') : 1/g solution
    ssi (1/g)' + a/g = a/M
    ssi -g'/g^2 + a/g - a/M = 0
    Tu retombes sur quelque chose de vraie, dit dans l'énoncé, donc tu peux conclure que 1/g est aussi solution de l'équa diff !!!

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