Nombre complexe
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Nombre complexe



  1. #1
    invite13389dc8

    Question Nombre complexe


    ------

    bonjour ~~ j'ai un petit probleme avec mon devoir de maths

    Voici l'exercice : z est un nombre complexe et z' = 1 + z + z² + z^3 + z^4.

    a) Vérifier que si z différent de 1 alors z' = (1-z^5) / (1-z).
    Cette question j'ai répondu en utilisant la suite consécutif de la suite géométirque de raison z

    b ) que vaut z' si z= e^i2pi/5 ? (j'ai remplace dans l'expression précedente)

    En déduite la valeur de :
    S = 1+ cos (2pi/5) + cos (4pi/5) + cos (6pi/5) + cos(8pi/5)

    je ne sais pas quoi faire aider moi svp

    tout ce que je sais c'est que ce S est un nombre réel ( puisque sinus est disparu).

    Merci en avance de votre réponse pertinente et détalillé

    -----

  2. #2
    Flyingsquirrel

    Re : nombre complexe

    Salut,

    Essaies d'écrire z' pour z=exp(2i*pi/5) en utilisant la première formule et en séparant partie réelle et partie imaginaire.

  3. #3
    invite13389dc8

    Re : nombre complexe

    oui mais je vois pas comment je pourrai continuer

    jai z' = (1-(cos 2pi + isin(2pi)) / (1- (cos 2pi/5 + isin 2pi/5))

  4. #4
    Flyingsquirrel

    Re : nombre complexe

    Je parlais de z'=1+z+z2+z3+z4 quand j'ai dit "la première équation"

    Citation Envoyé par Johnsguy Voir le message
    j'ai z' = (1-(cos 2pi + isin(2pi)) / (1- (cos 2pi/5 + isin 2pi/5))
    Oui mais et

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite13389dc8

    Re : Nombre complexe

    z'=1+z+z2+z3+z4

    z' pour z=exp(2i*pi/5)

    = 1 + e^2ipi/5 + (e^2ipi/5)² + (e^2ipi/5)^3 + (e^2ipi/5)^4
    = 1 + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) ² + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5)^3 + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) ^4

    et là comment je continue ? je dois mettre cos d'un côté et le sinus d'un autre ?

    et puis cos 2pi = 1 sin 2pi = 0

  7. #6
    invite13389dc8

    Re : Nombre complexe

    z'=1+z+z2+z3+z4

    z' pour z=exp(2i*pi/5)

    = 1 + e^2ipi/5 + (e^2ipi/5)² + (e^2ipi/5)^3 + (e^2ipi/5)^4
    = 1 + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) ² + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5)^3 + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) ^4
    = 1 + cos 2pi/5 + i sin 2pi/5 + cos 4pi/5 + i sin 4pi/5 + cos 6pi/5 + i sin 6pi/5 + cos 8pi/5 + i sin 8pi/5
    = 1 + cos4pi + i sin4pi
    = 2

    S= 2 ?

    c'est ca ?

  8. #7
    Flyingsquirrel

    Re : Nombre complexe

    z' = 1 + cos 2pi/5 + i sin 2pi/5 + cos 4pi/5 + i sin 4pi/5 + cos 6pi/5 + i sin 6pi/5 + cos 8pi/5 + i sin 8pi/5
    Oui, donc S = Re(z')

    et puis cos 2pi = 1 sin 2pi = 0
    Donc
    Avec tout ça tu dois pouvoir conclure.

    S= 2 ?

    c'est ca ?
    Non. Je ne comprends pas comment tu arrives à ça.

  9. #8
    invite13389dc8

    Re : Nombre complexe

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Oui, donc S = Re(z')
    Mais il faut en déduire la valeur de S. en addiotant tous les cos je tombe sur cos 4pi = 1 donc 1+1=2


    et je sais que z' = 0 car 1- cos 2pi+isin 2pi = 0

  10. #9
    Flyingsquirrel

    Re : Nombre complexe

    Citation Envoyé par Johnsguy Voir le message
    Mais il faut en déduire la valeur de S. en addiotant tous les cos je tombe sur cos 4pi = 1 donc 1+1=2
    Non, le 4pi tombe du ciel. La seule simplification possible c'est S = 1+ cos (2pi/5) + cos (4pi/5) + cos (6pi/5) + cos(8pi/5) = 1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5). Il n'y a pas de raison pour qu'un cos(4pi) apparaisse.

    De toute façon, si le calcul direct était possible, on ne t'aurait pas fait calculer z' pour te dire ensuite d'en déduire la valeur de S.

    et je sais que z' = 0 car 1- cos 2pi+isin 2pi = 0
    Donc S = Re(z') = ...

  11. #10
    invite13389dc8

    Re : Nombre complexe

    Donc S= Re(z') = 0 ?

  12. #11
    Flyingsquirrel

    Re : Nombre complexe

    Et oui, tout simplement

  13. #12
    invitea3eb043e

    Re : Nombre complexe

    Encore plus simplement : calcule le produit z * z' à partir de la définition pour voir (quand z est la racine 5ième de 1).

  14. #13
    invite7ac151ce

    Re : Nombre complexe

    je parie que ton exo a pour but de calculer cos Pi/5 . Non ?

  15. #14
    invite13389dc8

    Re : Nombre complexe

    Merci beaucoup ^^ tout le monde et surtout Flyingsquirrel. Je crois que j'ai cherché trop loin et oui cet exo a le but de calculer cos pi/5 ^^ pourquoi tu l'as déjà fait ?

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