Unicité de la solution à y'=ay

[sailx]

Bonjour à tous.
Alors, je sais comment marche les équations différentielles (je vient de les voir) Mais, il y des truc dans les démonstrations qui me chagrine un peu.
L'existence de la solution à y'=ay j'ai compris. On montre juste que les fonctions sont solutions. (on dérive etc...)
Mais après, pour l'unicité ... j'ai la démonstrations sous les yeux, mais je ne voit pas pourquoi ça prouve l'unicité...
alors, la démonstration se fait via une autre fonction :
on pose où y(x) est une solution quelconque de y'=ay
On trouve que z(x) est une constante.(après moultes péripéties)
et donc on à ça :

je comprend le raisonnement. Mais pour le fait qu'on arrive à ça prouve que y est l'unique solution de y'=ay ? ? ?

Voilà. Merci d'avance.
-----

[Flyingsquirrel]

Salut,

Une équation du y'=ay admet une infinité de solutions... Si on rajoute une condition initiale, là, il y a unicité de la solution : tu sais que et la constante C peut-être déterminée.

[sailx]

Oui, mais par unicité, j'entendait que seul les solutions de type sont solution de y'=ay
Pourquoi n'y aurait il pas d'autre solutions, autre que de la forme de ? (normalement, la démonstration dont je parlait répond à cette question. Mais je ne vois pas vraiment à quoi ça mène ...)

[Gwyddon]

je comprend le raisonnement. Mais pour le fait qu'on arrive à ça prouve que y est l'unique solution de y'=ay ? ? ?

Voilà. Merci d'avance.

Tu es parti d'une solution quelconque y, et tu as montré qu'elle était de la forme Cexp(ax) ; que veux-tu de plus ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite790ae0c3]

tttttttttttttttttttttttttttttt ttttttttttt lé mem pa bon le tr1

[Gwyddon]

Bonjour,

Tu veux bien arrêter de polluer les autres discussions s'il te plaît ? Merci !

[sailx]

le tr1 ?

Enfin, après pas mal de relecture de la démonstrations j'arrive un peu mieux à comprendre.
Mais le doute est toujours là.
Dans la démonstrations, on sait djà ce qu'on cherche. Donc on introduit la fonction z. Donc forcément, on va tomber sur une fonction exponentielle.
Ce que je reproche donc, à cette démonstration, c'est qu'elle part du résultat, mais ne prouve pas que c'est l'unique ...
(pourrait bien y avoir des solutions autres que exponentielle, la démonstrations ne ledit pas, où alors, j'ai louper un train )

[Gwyddon]

Ce que je reproche donc, à cette démonstration, c'est qu'elle part du résultat, mais ne prouve pas que c'est l'unique ...
(pourrait bien y avoir des solutions autres que exponentielle, la démonstrations ne ledit pas, où alors, j'ai louper un train )

Elle démontre bien que c'est unique !! C'est juste que connaissant la solution on essaye de se simplifier la tâche.

En fait quand on pose on fait un changement de fonction, pas plus pas moins.

Si y est une solution quelconque*(je ne suppose RIEN du tout sur y ici) de l'équation y'=ay, qu'est-ce que ça donne sur z ?

tu vois que

ie puisque tu as supposé y'=ay.

Donc z'(x)=0 : si la fonction y est solution, alors z est solution de z' = 0

De même si z est solution de z'=0, on a nécessairement y solution de y'=ay


Donc tu as l'équivalence entre

"résoudre y'=ay" et "z'=0" avec le changement de variable ci-dessus qui relie y et z.


Maintenant z'=0 ça se résoud comment pour toi ?

[God's Breath]

le tr1 ?

Enfin, après pas mal de relecture de la démonstrations j'arrive un peu mieux à comprendre.
Mais le doute est toujours là.
Dans la démonstrations, on sait djà ce qu'on cherche. Donc on introduit la fonction z. Donc forcément, on va tomber sur une fonction exponentielle.
Ce que je reproche donc, à cette démonstration, c'est qu'elle part du résultat, mais ne prouve pas que c'est l'unique ...
(pourrait bien y avoir des solutions autres que exponentielle, la démonstrations ne ledit pas, où alors, j'ai louper un train )

Il est certain que l'on introduit la fonction par parce que l'on sait ce que l'on cherche.
Faire des mathématiques, ce n'est quand même faire n'importe quoi.
On va donc trouver les solutions sous la forme .

Mais on n'introduit de fait aucune restriction a priori, et l'on pourrait trouver n'importe quoi pour .
Si l'on obtient , on sera bien obligé d'accepter le fait que est solution de l'équation différentielle.
Le point essentiel de la démonstration repose sur le fait que l'on prouve que est constante, et que les seules solutions sont de la forme .

[sailx]

d'accord. Bon, merci beaucoup. ça s'éclaircit je commence à comprendre.

En faite, ça découle du fait que seul l'exponentielle se dérive comme elle le fait. Et ça c'est une autre démonstration. (que j'ai du faire, et que j'vais tenter de retrouver)

Mais sans le fait que l'exponentielle se dérive comme elle le fait, la démonstration ne démontrerai pas ce qu'elle veut (puisqu'il pourrai y avoir d'autres fonction qui se dérive comme elle le fait)

Enfin, merci beaucoup. Pour votre patience. j'ai l'impression d'être un buté qui veut pas comprendre une évidence... :/

[God's Breath]

dEn faite, ça découle du fait que seul l'exponentielle se dérive comme elle le fait. Et ça c'est une autre démonstration. (que j'ai du faire, et que j'vais tenter de retrouver)

Si l'exponentielle ne se dérivait comme elle le fait, ce ne serait plus l'exponentielle. On profite justement des propriétés connues des objets que l'on manipule.