Exercice spé maths petit théorème de Fermat

[invite8895889e]

Bonsoir je vous présente mon exercice j'ai peut etre resolu la 1er question et je vous propose les autre, j'ai un peu de mal en spé maths.


Exercice :

Rappel : La propriété appelée " petit théorème de Fermat" est la suivante :
" Soit p un nombre premier et a un entier naturel premer avc p, alors
a^(p-1)-1 est divisible par p"

A. Montrer qu'il existe un entier naturel k, non nul tel que 2^k congru à 1 modulo p

B. Soit k un entier naturel non nul tel que 2^k congru à 1 modulo p et soit n un entier naturel.
Montrer que si, k divise n alors 2^n est congru à 1 modulo p

C. Soit b tel que 2^b congru à 1 modulo p, b étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété.
Montrer, en utilisant la division euclidienne de n par b, que si 2^n congru à 1 modulo p, alors b divise n.




Merci d'avance, et allons étape par étape, je veux comprendre.
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[invite9c9b9968]

Bonjour,

Dis-nous d'abord ce que tu as trouvé à la 1ère question, sinon on ne t'aidera pas.

[invite8895889e]

exact j'ai oublié de l'écrire desolé !
dans le théorème a^(p-1)-1 divisible par p, donc a^(p-1)-1 congru à 0 modulo p


Par identification par rapport au théorème de fermat a=2 et k=p-1, donc 2^(k) -1 congru à 0 modulo p
et donc 2^k congru à 1 modulo p.
est ce bon ?

[invite35452583]

exact j'ai oublié de l'écrire desolé !
dans le théorème a^(p-1)-1 divisible par p, donc a^(p-1)-1 congru à 0 modulo p


Par identification par rapport au théorème de fermat a=2 et k=p-1, donc 2^(k) -1 congru à 0 modulo p
et donc 2^k congru à 1 modulo p.
est ce bon ?

Oui, cest bien ça.

Pour le B :
k divise n cela s'écrit aussi n=k.m pour un certain entier m.
k vérifie 2^k congru à 1 modulo p
A montrer que 2ⁿ est aussi congru à 1 modulo p.
Pour cela remplace n par k.m puis utilise les ^propriétés des puissances.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Hello,

C'est juste si tu pense bien à dire que p est différent de 2 ; et pourquoi est-ce juste ? En fait il te manque une petite justification...

[invite35452583]

Hello,

C'est juste si tu pense bien à dire que p est différent de 2 ; et pourquoi est-ce juste ? En fait il te manque une petite justification...

Oui, en effet, désolé pour cette inattention. (Maintenant dans l'énoncé donné je ne vois pas d'où va venir cette justification.)

[invite8895889e]

donc on a n=km pour m un entier relatif.
et 2^km congru à 1 modulo p
et ensuite ?

[invite9c9b9968]

Oui, en effet, désolé pour cette inattention. (Maintenant dans l'énoncé donné je ne vois pas d'où va venir cette justification.)

En effet, énoncé pas super bien posé...

[invite8895889e]

desolé mais j'ai recopié l'énoncé tel quel.
vous me proposez quoi pour le B ?

[invite9c9b9968]

vous me proposez quoi pour le B ?

Dis, tu n'essaierais pas de te payer notre tête ? homotopie t'a donné une indication déjà, nous on va pas te faire l'exercice

[invite8895889e]

J'ai trouvé,

Alors n = kk' pour k' entier naturel (non nul ou pas ?)

2^n congru à 1^n modulo p
2^kk' congru à 1^kk' modulo p
donc 2^n congru à 1 modulo p.

Est-ce bon ?

[invite1237a629]

Plop,

Non.

Il faut partir de l'hypothèse que 2^k est congru à 1 mod n et pas que 2^n est congru à 1 mod n.

Il est faux de dire que 2^kk' est congru à 1^kk', puisque ce n'est pas 2 qui est congru à 1 mod n...

[invite8895889e]

Pour la question C. je ne sais pas par ou commencer. pouvez vous m'aider ?

[invite9c9b9968]

Pour la question C. je ne sais pas par ou commencer. pouvez vous m'aider ?

As-tu réussi la question B déjà ?

Montre-nous et on te dira si c'est juste

[invite8895889e]

n = kk' pour k' entier naturel (non nul ou pas ?)

2^n congru à 1^n modulo p
2^kk' congru à 1^kk' modulo p
donc 2^n congru à 1 modulo p.

[invite9c9b9968]

n = kk' pour k' entier naturel (non nul ou pas ?)

2^n congru à 1^n modulo p
2^kk' congru à 1^kk' modulo p
donc 2^n congru à 1 modulo p.

MiMoiMolette t'a dit hier que c'était complètement faux, pourquoi donc tu n'as pas rectifié depuis ?

S'il te plaît relis son message (tu pars de la conclusion pour la démontrer, c'est un non sens !), on verra après pour la question C.

[invite1237a629]

Les écritures mêmes sont un non-sens de toute façon

Formule à utiliser (essentiellement) :



Mais pas dans le sens où tu l'as fait

[invite8895889e]

je suis à :

k divise n donc n =kk' pour k' un entier relatif
n congru à 0 modulo k

[invite9c9b9968]

je suis à :

k divise n donc n =kk' pour k' un entier relatif

Oui bon ça c'est juste la traduction de k divise n.

Ensuite tu as l'hypothèse sur 2^k : .

Maintenant utilise la relation donnée par MiMoiMolette

n congru à 0 modulo k

Oui mais on s'en fiche.

[invite8895889e]

B. on sait que k divise n donc n = kk' pour k entier relatif

2^k congru à 1 modulo p
2^kk' congru à 1^k' modulo p
2^n congru à 1 modulo p

c'est bon ?

[invite1237a629]

Oui, c'est ça !

Pour être plus rigoureuse, tu peux dire que 2^kk' = (2^k)^k' congru à 1^k' mod p.

Mais c'est bien celq qu'on voulait te faire dire. As-tu compris où ton raisonnement posait problème au début ?

Pour la question C, tu peux raisonner par l'absurde en écrivant une condition sur le reste de la division euclidienne de n par b

[invite8895889e]

oui, effectivement moi je commencais mon raisonnement par la conclusion, par ce qu'il fallait démontrer.
Pour la C. je peux dire que si 2^n congru à 1 modulo p alors b ne divise pas n ?

[invite1237a629]

Parfait, tu as compris ton erreur ! ^^ (même si le guidon l'a déjà dit... lol)

Non, l'absurdité porte sur la division euclidienne sur une condition donnée par l'énoncé.

Et encore, tu as de la chance, j'ai un pote qui devait montrer l'équivalence...

[invite8895889e]

la division euclidienne de n par b et si on raisonne par l'absurde on a n different de bq+r pour q entier relatif et r le reste de la division euclidienne de n par b

[invite1237a629]

Non, l'absurdité doit reposer sur r, pas sur n

Et ensuite, regarde à quoi serait congru 2^r