PPCM, PGCD Term S [Specialités Maths]

[inviteebd74612]

bonjour, j'ai un excercie de specilalité maths sur lequel je bloque le voici:

x et y sont des entiers naturels non nuls.

1) On suppose qu'il existe un couple (x₀,y₀) solution de l'équation PGCD(x,y)+PPCM(x;y)=x+6

Pn pose p=PGCD(x₀,y₀) et m=PPCM(x₀,y₀)

Monstrer que p divise 6.

2) Déterminer toutes les solutions du sytème PGCD(x,y)+PPCM(x,y)=x+6
PGCD(x,y)=5


3)Déterminer totuesl es solutions du système PGCD(x,y)+PPCM(x,y)=x+6
PGCD(x,y)=2


1) Cette question je l'ai faite en disant que (6/p)=m-x₀

or m est un entier naturel tout comme x₀ par conséquent m-x₀ est un entier naturel et donc p divise 6

2) Par contre c'est à cette question que je bloque
J'ai dit que comme PGCD(x,y)=5 alors il exsite un couple d'entier naturels premier entre eux tels que x=5x' et y=5y' mais je ne sais pas si c'est la bonne méthode car même si ca simplifie pas mal de choses j'ai l'impression que ca ne permet pas de trouver le résultat

( j'ai dit que PGCD(x,y)+PPCM(x+y)=x+6 <=> 5+5x'y'=5x'+6 car
PGCD(5x',5y')=5*PGCD(x',y')=5* 1 car x' et y' premiers entre eux et PPCM(5x',5y')=5x'y'

Donc 5x'y'=5x'+1 mais visiblement ca sert pas à grand chose.)

Voila à ceux qui me répondront
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[invite35452583]

Bonjour,
pour la 1) il y a de l'idée mais d'où vient ceci :

(6/p)=m-x₀

Ne serait-ce pas plutôt 6=p+m-x ?

pour la 2) tu viens de montrer (enfin presque) que p divise 6, tu crois qu'il y aura beaucoup de solutions avec p=5 ????
Ceci dit, je soupçonne la coquille dans l'énoncé, et qu'il faut trouver les solutions pour p=6. Dans ce cas, l'équation se simplifie en deux équations simples (pgcd(x,y)=6 en est une des deux).

Pour la 3) la bonne question à se poser est "quoi divise x et qu'est-ce que x divise" ? Il ne reste plus qu'à regarder peu de cas.

[inviteebd74612]

ok merci pour votre réponse mais c'est PGCD(x₀,y₀) qui divise 6 et non PGCD(x,y) ce ne sont pas forcément les mêmes et pour la démonstration de la divisiblité j'ai voulu montrer que 6/p appartient à Z on a donc 6/p=m-x

[invite1237a629]

Salut,

Pour la 1), il vaut mieux dire que p divise p+m-x puisqu'il divise chacun d'entre eux (à toi de le prouver, mais il n'y a rien de difficile ). Donc il divise 6.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteebd74612]

ok merci pour votre réponse j'y avais pensé mais est-ce que pour la 2) je suis sur la bonne voie ( prendre deux entiers premiers entre eux tels que x=5x' et y=5y' )

[invite1237a629]

Ben pour la 2), sers-toi juste de la question précédente. Est-ce que p=pgcd(x,y)=5 divise 6 ?

(déjà proposé par homotopie d'ailleurs ^^)

[inviteebd74612]

ok merci pour vos réponses pour la 2) j'ai fait ceci:

la question était de trouver toutes les solutions de

PGCD(x,y)+PPCM(x,y)=x+6

PGCD(x,y)=2

j'ai dit qu'il existait un couple d'entier naturels (x',y') premiers entre eux

tels que x=2x' et y=2y'

en rempalcant x et y on obtient par 2x' et 2y' ont obtient

PGCD(x,y)+PPCM(2x',2y')=2x'+6
<=> PPCM(2x',2y')=2x'+4
<=> 2*PPCM(x',y')=2x'+4
<=> PPCM(x',y')= x'+2
<=> x'y'=x'+2
<=> x'(y'-1)=2

cela signifie que :

x'=2 et y'-1=1 ou x'=1 et y'-1=2

donc x'=2 et y'=2 ou x'=1 et y'=3

or comme x' et y' sont premiers entre eux le seul couple de solution est (1;3)

donc (x,y)=(2,6).

J'ai donc trouvé un seul couple de solution (2,6), j'aimerais savoir si c'est la bonne réponse. ( Avec x=2 et y=6 l'équation est vérifiée mais je ne sais pas s'il s'agit du seul couple de solution)

Merci à ceux qui me répondront.

[invite1237a629]

T'as pô à te fatiguer !

pgcd(x,y)+ppcm(x,y)=x+6.

ppcm(x,y)=x+4

Or, x divise x (évident). Qu'en est-il pour ppcm(x,y) ? Qu'en déduit-on ?

Sinon, vi, je crois que les résultats sont bons

[inviteebd74612]

Merci pour vos réponses en effet votre méthode était plus simple car on pouvait facilement déduire que x divisait 4 et comme on savait que 2 divisait x on en déduisait que x=2