Salut, j'ai une simple question dans un gros DM à laquelle je n'arrive pas avec les congruences et les nombres premiers.
P désigne un nombre premier >3
Montrer que p est congru 1 ou -1 modulo 4 puis modulo 6.
Alors P premier donc impair, donc P-1 et p+1 pairs donc multiples de 2 (donc p congru 1 ou -1 modulo 2) mais après en arriver à 4 ou 6 j'ai aucune idée, je suis pas très fort vous savez.
Merci du petit coup de main.
P est impair donc de la forme 2k+1
Mais si p est congru a 2 modulo 4, il s'écrit de la forme 4k'+2 soit de forme 2k" avec k"=2k'+1
Si p est congru à 0 modulo 4, logiquement il n'est pas premier, ce qui contredit.
Donc p est soit congru a 3 soit -1 modulo 3 ou a 1 modulo 3.
Raisonne ensuite de la même manière pour 6
D'après ce que tu as écris p n'est pas congru à 0 modulo 4 ni à 2 modulo 4.
Mais comment en arrive t-on à -1 modulo 3 ou 1 modulo 3 et comment passe t-on au modulo 4??
p ne peut être congru que à 1 et 3 modulo 4 vu qu'il n'est pas congru à 2 ni à 0.
Or p est congru à 3 modulo 4 équivaut à p congru à -1 modulo 4.
Salut,
En fait, il faut juste avoir en tête que n'importe quel nombre peut être congru à x modulo n, avec x[0;n-1].
Or, un nombre premier n'est divisible que par 1 ou lui-même. Donc pour modulo 4, on oublie le 0 mod 4 qui signifie "multiple de 4". On oubliera également 2 mod 4, auquel cas, p = 2+4k=2(1+2k) -> non premier.
Restent 1 et 3. Et 3=-1
Pareil pour 6. Regarde si en introduisant la notation avec 6k, il est possible que le nombre soit premier.
Ah merci avec ça tout s'éclaircit.En fait, il faut juste avoir en tête que n'importe quel nombre peut être congru à x modulo n, avec x [0;n-1].
Merci à vous 2 pour votre aide j'ai fait avec succès le modulo 6.
Une dernière question : comment passe t-on de p congru 1 modulo 4 à p congru 1 modulo 8 ? Dois-je tout recommencer avec les congrus de p modulo 8 ou y a t-il un moyen plus rapide ?
Hm...
Alors ptite précision : ce que tu as cité vient tout simplement de l'utilisation de la division euclidienne (et d'un peu de logique). C'est cool si tu as compris ! =)
Pour 1 mod 8, tu peux, encore une fois, "passer aux k".
1 mod 4 <=> p=1+4k
Si k est pair, alors on a p=1+8k' <=> p = 1 mod 8
Si k est impair, alors on a p=1+8k'+4 <=> p = 5 mod 8
Quand tu passes de 4 à 8 tu ne peux pas conclure immédiatement.
Par contre, en passant de 8 à 4, tu peux.
Si p = 1 mod 8, alors p = 1 mod 4
