Encore un DM

[invited189cc28]

slt à tous j'ai un gros problème avec mon devoir maison pourriez vous m'aider.
mon devoir maison est :
on considère ls fonctions f et g sur [o;+inf[par f(x)= Ln(x+1)-x et g(x)=Ln(x+1)-x+x²/2

1)étudier les variations de f et g sur ]0;+inf[ (ça c ok)

partie B
on considère la suite (Un) définie sur N*
par U1= 3/2 et Un+1= Un(1+1/2^n+1)
montrer par recurrence que Un>O pour tout entier naturel nsup ou égal à 1
2) montrer par recurrence que que pour tout n entier naturel superieur ou egal à 1 :Ln(Un)= Ln(1+1/2)+Ln(1+1/2²)+....+Ln(1+1/2^n)
3) on pose Sn = 1/2+1/2²+1/2^3+...+1/2^n et Tn=1/4+1/4²+1/4^3+...+1/4^n

à l'aide de la partie A montrer que Ln(Un) est superieur ou egal à (Sn-1/2)et inferieur ou egal à Sn
4) calculer Sn et Tn en fonction de n
5) en déduire lim Sn et lim Tn

parte C
1) montrer que la suite (Un) eststrictementcroissante
2) en déduire que 'Un) est convergente ; on note l sa limite
3) montrer que 5/6(<ou=)lnl(<ou =)1 et en déduire un encadrementde l.


la parti c je pense m'en sortir mais je beug à partir de la 3 et la 4 merci por votre aide
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[invited189cc28]

s'il vous plait un petit indice pour les question 3 et 4

il faut que j'applique la formule d'une somme géométrique?...

[invite1237a629]

Plop,

2) montrer par recurrence que que pour tout n entier naturel superieur ou egal à 1 :Ln(Un)= Ln(1+1/2)+Ln(1+1/2²)+....+Ln(1+1/2^n)
3) on pose Sn = 1/2+1/2²+1/2^3+...+1/2^n et Tn=1/4+1/4²+1/4^3+...+1/4^n

à l'aide de la partie A montrer que Ln(Un) est superieur ou egal à (Sn-1/2)et inferieur ou egal à Sn

Donc tu veux montrer que ln(Un) >= Sn - 1/2.
Donc que ln(Un) - Sn + 1/2 >= 0.
Or, à quoi est égal ln(Un) ? À quoi est égal Sn ?

Est-ce que tu ne pourras pas regrouper des termes entre eux de manière à retrouver la fonction f ou g (puisque ce sont les seuls éléments de la "partie A") ? C'est tout simple une fois que tu vois de quoi je parle Mais en dire plus serait donner la solution je pense...


Edit : euh non je ne pense pas qu'on ait besoin de passer par la définition de la somme des termes d'une suite géométrique... Surtout que tu n'as pas Un en fonction de n uniquement

[invited189cc28]

merci beaucoup!

[A voir en vidéo sur Futura]