problème sur un DM de Terminale S
Bonjour,
J'ai un DM avec 2 exercices à faire et dans chaque exercice il ya un endroit où je suis bloquée.
Voici l'énoncé et les questions du premier exercice :
Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et distincts, le cercle C de diamètre [OA], un point M variable appartenant au cercle C et distincts des points O et A, ainsi que les carrés de sens direct MAPN et MKLO. La figure est représenté ci-dessus.
Le but de l'exercice est de mettre en évidence quelques éléments invariants de la figure et de montrer que le point N appartient à un cercle à déterminer.
On munit le plan complexe dun repère orthonormal direct de sorte que les affixes des points O et A soient respectivement 0 et 1.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument π/2. On note k, l, m, n et p les affixes respectives des points K, L, M, N et P.
1°)Démontrer que, quel que soit le point M choisi sur le cercle C, on a |m-1/2|=1/2
2°)Etablir les relations suivantes : l=im et p=-im+1+i. On admettra que l'on a également n=(1-i)m+i et k=(1+i)m.
3°)a)Démontrer que le milieu Ω du segment [PL] est un point indépendant de la position du point M sur le cercle C.
b) Démontrer que le point Ω appartient au cercle C.
4°)a)Calculer la distance KN et démontrer que cette distance est constante.
b) Quelle est la nature du triangle ΩNK?
5°)Démontrer que le point N appartient à un cercle fixe, indépendant du point M, dont on déterminera le centre et le rayon.
Je suis bloquée à la question 4°)a) ... je fais le calcul de la distance et j'arrive à une expression qui contient m, donc si ca dépend de M c'est pas constant ? Enfin peut-être que si mais alors je ne vois pas comment prouver que c'est constant quand j'ai KN=-2m+1 ... j'ai peut-être fait une erreur aussi mais je ne vois pas où...
Voici l'énoncé et les questions du second exercice :
Le but de ce problème est d'étudier, pour x et y éléments distincts de l'intervalle ]O ; +∞[, les couples de solutions de l'équation x^y = y^x (E) et, en particulier, les couples d'entiers.
1. Montrer que l'équation (E) est équivalente à (ln x)/x = (ln y)/y .
2. Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par h(x) = (ln x)/x .
La courbe C représentative de la fonction h est donnée ci-dessous (là je ne l'ai pas mais si ca pose un problème j'essaierai de prendre en photo le graphique que j'ai sur mon énoncé). x¤ est l'abscisse du maximum de h sur ]0 ; +∞[.
a) Rappeler la limite de h en +∞; déterminer la limite de h en 0.
b) Calculer h'(x), où h' represente la fonction dérivée de la fonction h. Retrouver les variations de h. Déterminer les valeurs exactes de x¤ et de h(x¤).
c) Déterminer l'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses.
3. Soit λ un élément de l'intervalle ]0 ; 1/e [. Prouver l'existence d'un unique réel a de l'intervalle ]0 ; e[ et d'un unique réel b de l'intervalle ]e ; +∞[ tels que : h(a)=h(b)= λ.
Ainsi le couple (a,b) est solution de (E).
4. On considère la fonction s qui, à tout réel a de l'intervalle ]1;e[ associe l'unique nombre b de l'intervalle ]e ; +∞[ tel que h(a)=h(b).
(On ne cherchera pas à exprimer s(a) en fonction de a).
Par lecture graphique seulement et sans justification, répondre aux questions suivantes :
a) Quelle est la limite de s quand a tend vers 1 par valeurs supérieures ?
b) Quelle est la limite de s quand a tend vers e par valeurs inférieures?
c) Déterminer les variations de la fonction s et dresser le tableau de variation de s.
d) Déterminer les couples d'entiers distincts solutions de (E).
Pour cet exercice, c'est sur la question 4 que je bloque.Je ne comprends pas trop les questions... Déjà ca veut dire quoi "par valeurs supérieures" et "par valeurs inférieures" ?
Merci vraiment beaucoup d'avance pour votre aide!
Je sens que beaucoup vont avoir peur vu que mon message est très long!
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Envoyé par x-des-souriires-x 
par valeur supérieure (respectivement inférieure) ça veut dire tendre vers 
