problème de méthode sur une question simple (niveau terminale S )

[invite67d4b0e0]

bonjour tout le monde ! j' ai un dm sur les primitives à faire, j' y arrive assez bien mais il y a une question bizare que je n' ai jamais rencontrée qui m empêche de finir l' exercice. N' ayant jamais rencontré ce type de question je ne sais pas du tout comment m' y prendre c' est pourquoi j' implore votre aide. En fait j' ai une fonction g(x) dont je dois trouver la primitive or on ne peut pas le faire directement c' est pourquoi l' énoncé nous propose de changer l' écriture. Je vous demande juste de m' aider à changer l' écriture, pour la primitive je pense y arriver mais sans avoir changé l' écriture je ne peux rien faire.
g(x) = 1/ x (x+1)²
et je dois trouver 3 réels a, b et c tels que
g(x) = a/x + b/(1+x) + c/ (1+x)²

j' ai essayé a/x + b/(1+x) + c/ (1+x)² = 1/ x (x+1)²
j' ai tout mis au même dénominateur et je me retrouve avec
(a+b)x² + (2a+b+c)x + (a-1) = 0
c' est de la forme d' un polynome donc j' ai essayé de résoudre l' équation avec delta mais c' est trop compliqué.

Merci d' avance à tous ceux qui prendront le temps de me répondre. Biz et bon soir!
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[martini_bird]

Salut,

je te mets sur la voie: tu ne cherches pas x, mais a, b et c... et en 1ère, on t'a dit que si un polynôme est nul, ses coefficients...

A+

[Gwyddon]

[Mode HP ON]
cela s'appelle la décomposition en éléments simples
[Mode HP OFF]

en fait, il faut te souvenir d'un théorème que tu as dû voir en 1ereS : l'unicité du polynôme nul. D'où il en découle l'unicité de l'écriture d'un polynôme sous la forme

après avoir rassemblé sous une même écriture fractionnaire, tu identifies les coefficients : a+b=2a+b+c=a-1=0

EDIT : croisement avec martini_bird

[invitebf65f07b]

effectivement la méthode est pas immédiate...
l'idée c'est de prendre l'égalité a/x + b/(1+x) + c/ (1+x)² = 1/ x (x+1)²
puis de la multiplier par x et de regarder ce qui ce passe pour x=0. normalement tu dois être capable de retrouver a comme ça.
tu peux faire la même chose avec (1+x)² et trouver c (en prenant x tel que (x+1)²=0 ).
par contre, si tu regarde bien , b ne peut pas être obtenu de la même manière...
mais comme il ne te reste plus qu'une inconue b à trouver ça devrais bien ce passer...
bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[erik]

Ok, t'es sur la bonne voie,
ton équation est (doit être) valable quelque soit la valeur de x. Résoudre l'équation avec delta (comme tu dis) reviendrais à chercher une valeur de x pour laquelle l'équation serait satisfaite, or ce n'est pas cela que l'on demande.
Ce qu'il faut c'est trouver a,b,c tel que l'équation soit vérifiée pour n'importe quelle valeur de x.
A ton avis quelles valeurs doivent prendre a b et c pour que (a+b)x² + (2a+b+c)x + (a-1) = 0 quel que soit x ? (c'est tout bête en fait)

Dis moi si tu trouves

Erik

[invite67d4b0e0]

merci pour toutes vos réponses mais je suis désolée je ne comprends toujours pas .... je ne crois pas avoir déja eu affaire à ce cas ni en premiere ni en terminale ....

[invite67d4b0e0]

martini_bird : je n' ai jamais vu ce théorème ! est- il important ? si oui peux tu le finir stp ?

[invite67d4b0e0]

09jul85 : on ne m' a jamais parlé de cette unicité du polynome nul !

[erik]

J'me permet de répondre à la place de martini_bird,
Un polynome est nul si ses coefficients sont nuls.
Donc (a+b)x² + (2a+b+c)x + (a-1) = 0 si ...

Erik

[invite67d4b0e0]

robert et ses amis : je ne comprends pas ta méthode : pourquoi multiplier par x ? et si x = 0 , c' est impossible car le dénominateur serait nul ...

[invite77e86f54]

un polynome est nul ssi tous ses coefficients sont nuls...avec ca,tu dois pouvoir finir

[invite67d4b0e0]

erik : est ce que cela veut dire que si les coefficients sont nuls alors
(a+b) + (2a+b+c) + (a-1) = 0 ?
Je ne comprends pas trop ce théorème, il est au programme de première ?

[erik]

Chaque coef doit être nul, ça te fait trois équations

[invite67d4b0e0]

ah non en fait c est
(a+b) = 0
(2a+b+c) = 0
(a-1) = 0
est ce que j ai bien compris ?

[erik]

YES !
Et mon message #5 devrai te paraitre clair maintenant

[invite67d4b0e0]

donc a=1
b=-1
c=-1
merci beaucoup de m' avoir appris ce nouveau théorème bien utile !

[martini_bird]

erik : est ce que cela veut dire que si les coefficients sont nuls alors
(a+b) + (2a+b+c) + (a-1) = 0 ?
Je ne comprends pas trop ce théorème, il est au programme de première ?

Heu, ben j'avais vu ça en première...

Le polynôme (a+b)x²+(2a+b+c)x+(a-1) est nul donc chacun de ses coefficients est nul. Ainsi, tu obtiens le système de trois équations à trois inconnues:
a+b=0
2a+b+c=0
a-1=0

Regarde dans ton cours de l'année dernière, celà m'étonnerait que ce théorème n'y figure pas...

A+

[EDIT] Croisement avec tout le monde! Vous dégainez trop vite pour moi.

[invite67d4b0e0]

j' ai un memento de tous les théorèmes que j ai vus l' année derniere et celui la n y figure pas ! c' est vrai que c' est étonnant car il a l' air important .... mais bon avec mon prof de l' année dernière on n' a pas fait les trois quarts du programme alors ce n' est pas si étonnant .... heureusement que vous êtes la ! merci !

[martini_bird]

Je viens de regarder le programme de 1°S et effectivement, l'étude générale des polynômes a disparu. C'est bien dommage dans le cas de ton exercice, car le petit théorème cité est bien utile pour justifier rigoureusement la méthode.

Tu pourras nous communiquer la méthode attendue par ton prof, stp?

Cordialement.

[invite67d4b0e0]

bien sur pas de problème dès qu' elle nous rendra le dm je vous écris

[invite94e19ae9]

robert et ses amis : je ne comprends pas ta méthode : pourquoi multiplier par x ? et si x = 0 , c' est impossible car le dénominateur serait nul ...

En fait cette methode est simple pour trouver a et c,
tu multiplies a/x + b/(1+x) + c/ (1+x)² = 1/ x (x+1)² par x des deux cotés, et tu obtiens : a + b*x/(1+x) + c*x/ (1+x)² = 1/ (x+1)²
Ensuite pour x=0,tu obtiens : a = 1 .
Bon ensuite pour les autres c pas trés dur,
mais la methode en appliquant le fait que pour qu'un polynome soit nul il faut que tous ses coefficients soient nuls n'est pas si mal...
Bye

[invite67d4b0e0]

mais pourquoi prend- on x=0 ?

[invite67d4b0e0]

coucou ! alors ma prof nous a rendu le dm et elle m' a mis tous les points pour cette question, et pendant la correction elle nous a expliqué la même méthode que la vôtre et elle nous a dit que pourtant c' était au programme... Encore merci ! biz !

[inviteffc7dcca]

Bonjour !
Si ça peut aider d'autres : xxx Publicité xxx
Bon courage à tous.