Bonjour,
J'ai fait cet exercice tiré du concours général 2007, mais ma réponse à la deuxième question n'est pas très élégante.
Je vous met tout l'énoncé, si ceux que ça intéressent pouvaient poster leurs démonstrations, qu'on compare nos méthodes, ce serait sympa...
Concours général 2007: Exercice 2
source: maths express
Bon, ça sent le principe des tiroirs à plein nez. Je suppose c'est ce que tu as utilisé dans les 3 questions ?
Ben non,
pour la première
si on appelle P1, P2,P3 les trois produits,
avec
on sait que
soit
on remplace P3
on a donc
soit(la fontion racine est croissante)
on a donc
on élève au carré:
Soit
donc
Pour le deuxième, j'ai montré qu'il n'y avait que 72, 80, 84 qui pouvaient être le produit de trois entiers entre 72 et 89 et que dans tous les cas, une des lignes ou colones était supérieure ou égale à 90.
C'est surtout pour celle-là que si tu trouves mieux, je suis preneur.
Pour la deuxième question, ma démonstration n'est aussi pas très élégante, mais je propose :
Supposons qu'un tel carré existe (avec lignes et colonnes inférieures à 90).
Essayons alors d'en établir un.
Les différentes combinaisons possibles avec le chiffre 9 sont :
9/2/3
9/2/4
et 9/1/X avec X compris entre 2 et 8.
Mais, comme on considère les colonnes et les lignes, on doit utiliser 2 des 3 combinaisons ci dessus.
Cela restreint donc l'intervalle de X à [3;8] car le chiffre 2 est déja utilisé pour les deux autres combinaisons.
On a ainsi une colonne 9/1/X et une ligne 9/2/4 ou 9/2/3.
Cas où la ligne est 9/2/3 :
Dans ce cas là, les chiffres restants sont tous supérieurs à 4 (car on vient de placer 1,2 et 3), et on peut établir ce carré :
9/2/3
1/X/X
X/X/X
La dernière ligne est de cette manière obligatoirement supérieure à 90, car la valeur minimale est : 4.5.6 = 120 > 90.
En raisonnant de la même manière pour le cas 9/2/4, la dernière ligne a pour valeur minimale 3.5.6 = 90.
Ainsi, ce genre de carré n'est pas possible car on retrouvera toujours une ligne (ou colonne selon comment on se place) supérieure ou égale à 90.
En fait, le tout est de dire que le 9 "monopolise" le 1,2 et 3 ou 4 et que ca contraint les autres combinaisons à dépasser la barre des 90.
J'aime pas trop ce genre de démonstration car on peut toujours oublier certains cas, mais je pense qu'elle est tout de même correct en modifiant un peu la rédaction.
Je vous laisse juger ^^
Cela me semble correct,
mais tu procèdes comme moi par tâtonnement,
peut être que c'est la seule manière de parvenir au résultat?
Ba, il doit y avoir un moyen mais faut chercher et cette solution est la seule qui me soit parvenue sur le coup.
Pour la question 1, j'ai d'abord envisagé une démonstration similaire à celle de Forhaia mais ensuite je me suis rendu compte qu'on pouvait faire plus simple :
Soient P1, P2, et P3 les produits des éléments de chacune des trois lignes, respectivement numérotées de 1 à 3.
P1*P2*P3=9! (car le tableau contient une et une seule fois tous les entiers de 1 à 9).
On remarque que 71^3=357911 et que 9!=362880 donc 71^3 < P1*P2*P3.
Supposons que P1 <= 71, P2 <= 71, et que P3 <= 71.
Alors P1*P2*P3 <= 71^3 < P1*P2*P3.
Cela n'est pas possible donc au moins un des produits des éléments d'une ligne est supérieur ou égal à 72 (en fait c'est une démonstration par l'absurde).
Voilà ! Par contre vous me faites peur... Est-ce que vous arrivez à faire plusieurs exercices en entier ? Combien avez-vous de moyenne en maths ?
Est-ce que les intégrales peuvent tomber parce-qu'on ne les aura pas vues en cours d'ici l'épreuve ?
