sin^3(x)+cos^3(x)=1

[invite86dad43e]

Bonjour à Tous,

Qn peut-il m'aider à résoudre sin^3(x)+cos^3(x)=1.
en posant x=PI/4 + y.
Je suis bloqué avec
(racine(2)*cos(y))(1-1/2cos^2(y)+1/2sin^2(y)=1

Merci pour l'aide.
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[invite1237a629]

Pourquoi poster deux fois ... ?

[invite2220c077]

Or cos x <= 1 et sin x <= 1 etc ...

[inviteaa58b7ab]

Si tu est sur de (racine(2)*cos(y))(1-1/2cos^2(y)+1/2sin^2(y))=1, alors dis toi que sin^2(y) = 1-cos^2(y) car cos^2(y)+sin^2(y) = 1.

Les deux notions essentielles sont les zéros d'une fonction quadratique et la propriété fondamentale trigonométrique.

on a donc:
(rac(2)*cos(y))/(1-1/2cos^2(y)+1/2(1-cos^2(y))) = 1 (( puisque sin^2(y)+cos^2(y) = 1 ))

Ci-joint le reste du calcul de y, essaie de le faire, c'est pas compliqué

 Cliquez pour afficher

(rac(2)*cos(y) / (1-1/2cos^2(y)+1/2-1/2cos^2(y)) = 1 ((distribution))
[...]/(3/2-cos^2(y)) = 1 ((calcul))
rac(2)cos(y)= 3/2-cos^2(y) ((calcul))
cos^2(y)-rac(2)cos(y)-3/2 = 0 ((on met les composantes du même côté))
cos(y) = (rac(2) ± rac(2+4*3/2))/2 ((Formule pour trouver les zéros d'une fonction quad.))
cos(y) = (rac(2) ± 2rac(2))/2 ((calcul))
y = arccos ( -rac(2) / 2) ((calcul))
y = ±3pi/4 + k * 2pi, k appartient à Z. ((construction de arccos))

Copier, cay mal . essaie de résoudre toi même.

[A voir en vidéo sur Futura]

[danyvio]

En remarquant que cos³+sin³ est divisible par cos+sin, et en prenant les précautions d'usage en terme de simplification, on simplifie singulièrement le problème....

[invite2f72a2e0]

Bonjour à Tous,

Qn peut-il m'aider à résoudre sin^3(x)+cos^3(x)=1.
en posant x=PI/4 + y.
Je suis bloqué avec
(racine(2)*cos(y))(1-1/2cos^2(y)+1/2sin^2(y)=1

Merci pour l'aide.

pouvez vous demontrer cette equation
cos(sin(sin1))=1

[invite9a322bed]

pouvez vous demontrer cette equation
cos(sin(sin1))=1

Cette relation, n'est valable qu'en degrés ! Ce qui complique les choses pour sa démonstration....

[invitece2661ac]

Bonjour:

sin^3(x)+cos^3(x)=1 c'est une equation pas classique toute fois 0 + 2.k.PI et Pi/2 + 2.k.PI sont des solutions evidentes (triviale)

J'ai une idée mais il faut verifier est-ce que ça peut aboutir:

On fait un changement de variable: t = tg(x/2)

Donc : cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2) et sin(x) = 2.t/(1+t^2)
Donc notre equation devient:
(1-t^2)^3 + 8.t^3 = (1+t^2)^3

(1-t^2)^3 - (1+t^2)^3 + 8.t^3 = 0

or :: a^3 - b^3 = (a-b).(a^2 + a.b + b^2)
(1-t^2)^3 - (1+t^2)^3 =
[ (1-t^2) - (1+t^2)].[(1-t^2)^2 +(1-t^2). (1+t^2)+ (1+t^2)^2]=
[ -2.t^2].[1-2t^2+t^4 +1-t^4 +1+2t^2+t^4 ]=
-2.t^2.[3+t^4 ]

et donc : (1-t^2)^3 - (1+t^2)^3 + 8.t^3 = 0
-2.t^2.[3+t^4 ] + 8.t^3 = 0
-2.t^2.[3+t^4 -4.t] = 0

On trouve la premiere solution triviale t = tg(x/2) = 0 implique x=0

donc on doit resoudre : 3+t^4 -4.t = 0

equation dont une solution particuliere est t = tg(x/2) = 1 implique x = Pi/2

et donc en faisant une factorisation :
3+t^4 -4.t = (t-1).( t^3 +t^2 +t -3)
et pour finir on doit chercher s'il existent des solution de l'equation:
t^3 +t^2 +t -3 = 0

[invitece2661ac]

re:

t^3 +t^2 +t -3 = 0
cette equation egalement admet 1 comme solution et donc apres (division ) ou factorisation
t^3 +t^2 +t -3 = (t-1).( t^2 +2.t + 3) =0

et enfin les solutions eventuelles sont les racines de:
t^2 +2.t +3 = 0

equation simple a resoudre

[invitece2661ac]

re:

t^2 +2.t +3 = 0
delta = b^2 - 4.a.c = 4 - 12 = -8

donc pas de racines reelles

et donc les seules solutions sont les solutions triviales : x = 0 et x = Pi/2 a 2.Pi pres

[Flyingsquirrel]

Note : Dans ce message (resp. ) est la fonction qui renvoie le sinus (resp. cosinus) d'un angle en degrés.

pouvez vous demontrer cette equation
cos(sin(sin1))=1

Non puisqu'elle est fausse. Ma calculatrice donne . Si l'on arrondi en ne conservant que dix chiffres (ce que la plupart des calculatrices font, il me semble) on obtient effectivement 1... mais c'est grâce aux erreurs d'arrondis.

Pour montrer que la relation est fausse, il suffit de constater que l'argument du cosinus, c'est-à-dire le terme , est compris entre -1 et 1. Or la seule solution de appartenant à est . On doit donc avoir . Mais le terme appartient, lui aussi, à l'intervalle . Le seul point de cet intervalle où le sinus s'annule est 0. On doit donc avoir ce qui est absurde puisque le sinus s'annule en 0 et en 90 mais pas entre les deux.