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Fonction logarithme, suite..



  1. #1
    HirukoTheGoblin

    Fonction logarithme, suite..


    ------

    Salut à tous, j'ai pratiquement finis un exo en maths, assez facile.. même si je bloque sur la dernière question et c'est là que j'aurais besoin d'un petit coup de pouce, je vais pas m'attarder sur le latex désolé mais je ferais de mon mieux pour être clair et concis..

    Soit f la fonction définit sur I = [0 ; ∞[ par:
    f(0) = 0
    f(x) = x / (x - ln(x)) lorsque x est différent de 0.

    a) déterminer les limites de f(x) aux bornes de I

    si x -> 0 alors lim f(x) = 0

    si x -> +∞ alors lim f(x) = 1



    b) étudier la dérivabilité de f en 0, préciser éventuellement la tangeante à courbe de f en 0

    si x appartient à {0}, alors f est définit par f(0) = 0

    donc f'(0) = 0

    donc y = f'(0)(x-0)+f(0) = 0

    normale, la dérivée d'une fonction constante c'est 0

    c)pourquoi y = 1 asymptote à la courbe

    la droite déquation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe d'équation y = f(x) si

    x->∞, lim f(x)=1

    d)étudiez les variations de f sur I

    f'(x) = (-ln(x)+1)/(x-ln(x))²

    tableau de signes ..

    f'(x) > 0 pour x appartenent à [0;e]
    f'(x) < 0 pour x appartenant à [e;∞[

    e) la fonction présente-t-elle un maximum?

    Oui c'est e d'après la question précédente


    f) soit a un réel de [1; +∞[

    (Un) définit par Un = 1 + (ln(a)/a) + (ln(a)/a) + ... + (ln(a)/a)^n

    1) montrez que Un est la somme des termes d'une suite géométrique dont on précisera raison et 1er terme

    facile U(n+1)/U(n) = ln(a)/a

    donc c'est la somme des termes de la suite géométrique définit par (ln(a)/a)^n

    2) en utilisant les résultats des questions précédentes montrer que 0 < (ou égal) lna/a < (ou égal) à 1/e

    a appartient à [1; ∞[ donc 0 < (ou égal) lna
    donc 0 < (ou égal) lna/a

    lna/a < (ou égal) à 1/e??

    f(x) = x / x-lnx

    jintroduis une fonction tiers appelée g définit par g(x) = lnx/x
    alors f(x) = 1/(1-g(x))

    f(x) < (ou égal) à f(e) car e est le maximum de la fonction

    <==> 1 / (1-g(x)) < (ou égal) 1 / (1-lne/e)

    <==> 1 /(1 - g(x)) < (ou égal) à e /(e-1)

    donc g(x) < (ou égal) 1/e

    <==> lnx/x < (ou égal) 1/e

    <==> lna/a < (ou égal) 1/e

    3) en déduire que la suite (Un) est convergente et que sa limite est f(a) !


    c'est là que je bloque, c'est la dernière question, un petit coup de pouce est donc bienvenue!!





    merci d'avance à tous ceux qui m'aideront!!
    A plus!


    PS: vous inquiétez pas pour la rédac .. j'ai pas été super rigoureux

    -----

  2. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Fonction logarithme, suite..

    Salut

    Citation Envoyé par HirukoTheGoblin Voir le message
    b) étudier la dérivabilité de f en 0, préciser éventuellement la tangeante à courbe de f en 0

    si x appartient à {0}, alors f est définit par f(0) = 0

    donc f'(0) = 0

    donc y = f'(0)(x-0)+f(0) = 0

    normale, la dérivée d'une fonction constante c'est 0
    Non. Il faut étudier la limite du taux d'accroissement de f en 0+. Ce n'est pas parce que l'on définit f(0)=0 que la fonction est constante, (être constant en un point n'a pas de sens) traces le graphe de la fonction pour t'en convaincre.

    e) la fonction présente-t-elle un maximum?

    Oui c'est e d'après la question précédente
    e c'est le point où est atteint le maximum et le maximum c'est f(e).
    3) en déduire que la suite (Un) est convergente et que sa limite est f(a) !


    c'est là que je bloque, c'est la dernière question, un petit coup de pouce est donc bienvenue!!
    Que vaut la somme des termes d'une suite géométrique de raison q<1 ?

  3. #3
    HirukoTheGoblin

    Re : Fonction logarithme, suite..

    Citation:
    Posté par HirukoTheGoblin Voir le message
    b) étudier la dérivabilité de f en 0, préciser éventuellement la tangeante à courbe de f en 0

    si x appartient à {0}, alors f est définit par f(0) = 0

    donc f'(0) = 0

    donc y = f'(0)(x-0)+f(0) = 0

    normale, la dérivée d'une fonction constante c'est 0

    Non. Il faut étudier la limite du taux d'accroissement de f en 0+. Ce n'est pas parce que l'on définit f(0)=0 que la fonction est constante, (être constant en un point n'a pas de sens) traces le graphe de la fonction pour t'en convaincre.

    Donc f'(0) = x->0 lim = 0

    car x->0 lim x = 0
    et x -> 0 lim (x - lnx) = +∞





    Pour les extremums c'est en fonction de y qu'on les exprime ok merci je retiens..



    et la somme des termes d'une suite géométrique de raison q c'est:

    )

  4. #4
    Flyingsquirrel

    Re : Fonction logarithme, suite..

    OK, maintenant tu peux exprimer Un en fonction de ln(a)/a et de n et regarder ce qu'il se passe en l'infini.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    HirukoTheGoblin

    Re : Fonction logarithme, suite..

    arf je suis vraiment nul, c'était archi facile en fait, la limite du coup c'est un ce qui est égal à vu que je l'ai démontré avant c'est good. et ça c'est parce que ln(a)/a est compris entre 0 et 1/e et que lorsque -1<a<1 la limite de lorsque n tend vers l'infini positif c'est 0 ...

    en tout cas merci beaucoup pour l'aide !!

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