Problèmes de dénombrement

[invite0d212215]

Bonjour, j'ai un exercice sur le dénombrement, j'ai réussi à le résoudre mais je ne suis pas tellement sûr de mes résultats, j'espère que vous pourriez m'aider à les vérifier et éventuellement à les corriger :

On dispose de 3 billes numérotées 1,2 et 3 pouvant être mises dans 4 trous x, y, z et t. De combien de façons peut-on les placer dans chacun des cas suivants :
1)Toutes les billes sont placées dans le même trou
2)Le trou x ne contient aucune bille
3)Chaque trou contient au plus une bille
4)Deux trous au moins ne contiennent pas de billes

1°/
Pour un trou, il y a 3!=6 façons d'arranger les 3 billes donc il y a 3!*4=24 façons de placer les 3 billes dans un même trou

2°/
Garder le trou x vide signifie placer les 3 billes dans les 3 trous restants, soit
- 3 billes dans un des 3 trous y, z et t
- 2 billes dans un des 3 trous y, z et t et la bille restante dans un autre trou sauf x
- Une bille dans chaque trou sauf x

Ainsi, on trouve 3!*3 + A(3,1)*A(2,1)*A(1,1)*C(3,2) + A(3,1)*A(2,1)*A(1,1) = 42

{Rq : pour le 2ème cas, ça ne me parait pas très correct, j'ai considéré que pour la première bille, on a 3 choix, pour la 2ème on en 2 et pour la 3ème on en a un seul parmi les deux déjà choisis, et comme il y a 3 dispositions ou combinaisons (ou 2 trous seulement seront utilisés) pour chaque ensemble de choix, j'ai multiplié par C(3,2). C'est bon ? Je viens juste de voir une autre possibilités, c'est de considérer 3 choix de trous pour la première bille, 3 choix aussi pour la deuxième mais 2 choix seulement (parmi les trous déjà utilisés) pour la troisième : A(3,1)*A(3,1)*A(2,1). Ça mène au même résultat}

3°/
Chaque trous contient au plus une balle, donc il s'agit d'arranger les billes dans les 4trous, chacune dans un trou. Ainsi, on retrouve A(3,1)*A(2,1)*A(1,1) = 24 façons.

4°/
Garder au moins 2 trous vides signifie
- Mettre toutes les billes dans un même trou (le cas de 1°/)
- Mettre une des billes dans un trou et les deux autres dans un deuxième trou

pour le deuxième cas, on a 4choix pour la première bille, 4 choix pour la deuxième bille et seulement 2 choix pour la 3ème bille. On a donc A(4,1)*A(4,1)*A(2,1) = 32

Ainsi, le nombre de façons total est égal à 32 + 24 = 56. Cependant, sur la correction, il y a marqué 60, sans indiquer comment ni pourquoi. J'aimerai savoir ou est ce que j'ai pu commettre une erreur.

Merci d'avance.
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[invite0d212215]

Je m'excuse pour le double-post, j'ai oublié de spécifier que j'utilisera A(n,p) pour la formule d'arrangements (A(n,p) = n!/(n-p)!) et C(n,p) pour la formule de combinaisons (C(n,p) = A(n,p)/p!).

[invite1237a629]

Salut,

1)Toutes les billes sont placées dans le même trou

On te demande le nombre de possibilités...

Alors ce que je vois, c'est :

- toutes les billes sont dans le trou x
- toutes les billes sont dans le trou y
- toutes les billes sont dans le trou z
- toutes les billes sont dans le trou t

En vois-tu d'autres ? L'ordre des billes n'importe pas, dans un trou, tu ne vois pas lesquelles sont rentrées en première



Pour les autres questions, j'ai beaucoup de mal :s

[invite0d212215]

Um, c'est ce que j'avais cru comprendre au début, mais après, la prof nous a dit que l'ordre compte (elle aime le cassage de yeules, on n'y peut rien :/)

Pour le reste, bah, faut dire que c'est pas tellement évident, ça fait assez longtemps que je suis dessus :/

[A voir en vidéo sur Futura]

[bubulle_01]

J'ai l'impression qu'il y a quelques contradictions dans tes réponses.
Pour la première question, tu considères l'ordre des billes, mais dans les autres tu n'y prêtes pas attention (en tout cas il me semble ^^).
Es-tu réellement sûr qu'on doit considérer l'ordre des billes ?
Car dans ce cas, la réponse à la 4/ ne me semble pas être 60.

[bubulle_01]

EDIT : pas pour les dernières questions, plutôt pour la dernière question.