Barycentre et produit scalaire

[invite5ea7aaa4]

Salut à tous!
Je ne suis pas sur d'une réponse à ma question, merci de bien vouloir m'aider!

On donne A(-1;3), B(1;1), et C(-4;0).
G est le barycentre de (A;4), (B;3) et (C;5)

Soit h l'application du plan dans R définie par h(M)= MA.MB + 2MB.MC + 3MC.MA pour tout point M du plan ( je précise que MA, MB et MC sont en vecteurs).

a) Calculer les coordonnées de G
Je pense les avoir trouvées : G(-7/4 ; 5/4)

b) Faire une figure et construire le point G
C'est bon

c) Calculer h(G)
Et c'est là que je ne suis pas sur, j'ai calculé avec la formule :
GA.GB = (xa - xg)*(xb - xg) + (ya - yg)*(yb - yg)
J'ai fait le calcul et je trouve h(G) = -159/8
Et je ne vois pas trop où cela peut me mener!

Je vous mets la fin de l'énoncé au cas où :
d) Calculer h(M) en fonction de MG² et h(G)
e) Déteriner le lieu (H) des points M tels que h(M) = 18 et tracer le sur la figure

Merci pour votre aide ^^
-----

[invitea3eb043e]

c) Calculer h(G)
Et c'est là que je ne suis pas sur, j'ai calculé avec la formule :
GA.GB = (xa - xg)*(xb - xg) + (ya - yg)*(yb - yg)
J'ai fait le calcul et je trouve h(G) = -159/8
Et je ne vois pas trop où cela peut me mener!

Je vous mets la fin de l'énoncé au cas où :
d) Calculer h(M) en fonction de MG² et h(G)
e) Déteriner le lieu (H) des points M tels que h(M) = 18 et tracer le sur la figure

Merci pour votre aide ^^

Ca te mène surtout à la question suivante où tu as besoin de h(G). Ton calcul est correct dans son principe quoique je ne l'aie pas vérifié.
Ensuite tu calcules h(M) en remplaçant MA par MG + GA en vecteurs et pareil pour les autres puis tu développes. Le calcul est un peu long mais ça tourne.

[invite5ea7aaa4]

D'accord très bien je vais essayer ça de suite, merci beaucoup

[invite5ea7aaa4]

Je suis désolé mais pour ce que tu m'as dit de faire, j'arrive facilement à
h(M) = (MG + GA).(MG + GB) + 2(MG + GB).(MG + GC) + 3(MG + GC).(MG + GA)

Et ensuite, je factorise par quelque chose?
Comment introduire h(G)?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Je suis désolé mais pour ce que tu m'as dit de faire, j'arrive facilement à
h(M) = (MG + GA).(MG + GB) + 2(MG + GB).(MG + GC) + 3(MG + GC).(MG + GA)

Et ensuite, je factorise par quelque chose?
Comment introduire h(G)?

Tu développes et tu verras apparaitre entre autres h(G). Regarde bien.

[invite5ea7aaa4]

Alors voilà donc j'ai développé comme tu m'as dit et j'arrive au résultat suivant :
h(M) = 6MG² + h(G) + 2MG.GA + GB.MG + GC.MG (en vecteurs)

Mais il y a quelque chose dont je ne suis pas sur :
GA.MG = -MG.GA (en vecteurs)

Merci beaucoup pour votre aide

[invitedc2ff5f1]

Alors voilà donc j'ai développé comme tu m'as dit et j'arrive au résultat suivant :
h(M) = 6MG² + h(G) + 2MG.GA + GB.MG + GC.MG (en vecteurs)

Mais il y a quelque chose dont je ne suis pas sur :
GA.MG = -MG.GA (en vecteurs)

Merci beaucoup pour votre aide

Non non, le produit scalaire est commutatif :GA.MG = MG.GA (en vecteurs)

[invite5ea7aaa4]

Ah d'accord merci
On a donc
h(M) = 6MG² + h(G) + 4MG.GA + 3MG.GB + 5MG.GC

Peut-on encore changer l'égalité? (désolé j'ai du mal avec les règles sur le produit scalaire)

N'y a-t-il pas un lien avec les coefficients ( G est le barycentre de (A;4), (B;3), (C;5))?

[invitea3eb043e]

Maintenant tu mets MG en facteur dans ce qui est à droite et ce qui multiplie MG te rappellera sûrement quelque chose car G est un certain barycentre.

[invite5ea7aaa4]

Effectivement je peux mettre MG en facteur!
On a donc :
h(M)= 6MG² + h(G) + MG(4GA + 3GB + 5GC) (en vecteurs)
Or, par définition : 4GA + 3GB + 5GC = 0 (en vecteurs)

On a alors :
h(M) = 6MG² + h(G)

Est-ce correct?

[invitea3eb043e]

Oui, et ce n'était pas sorcier, n'est-ce pas ?

[invite5ea7aaa4]

Oui c'est vrai, merci beaucoup en tout cas