Complexes

[invite228eff64]

hello les matheux

j'ai un petit problèmes de nombre complexes ( et oui je vois ça a l'unif ) vu que j'étais en math 4 en secondaire ( belgique) fin soit ,
c'est un détail voilà mon petit problème

y'a un petit truc qui me chiffonne regardez...
O = theta
P= Pi
exemple : e^iO = cos O + i sin O

bon si les O sont les memes style P/4 je comptends j'arrive a résoudre

mais si les O sont différents ??? style 3/5 et 4/5 ?? je fais comment ??

merci de votre réponse

Oliviero
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[invite1237a629]

Plop,

C'est la formule d'Euler. Que ce soit pi/4 ou 4/5, ça n'a pas d'importance. C'est valable pour tout nombre complexe (les réels sont des complexes). Par contre, il n'y a pas beaucoup d'intérêt, car on ne sait généralement pas calculer le sin et le cos de 4/5 par exemple ^^

[invite228eff64]

ah ouais mais si je veux le remettre sous forme trigonométrique? je mets quoi ?

regarde l'exs , tout simple racine carée de 3+4i
je suis obligé de passer par cette étape si je veux au final égaler mes modules et mes arguments non?

ou alors tu m'as p-e mal compris , ou ej me suis mal exprimé ....

en fait je tombe sur eiO = cos 3/5 + i sin 4/5 et après je bloque parce que je sais pas quel theta prendre

[invite1237a629]

Euh j'avoue que j'ai un peu de mal à comprendre

Normalement, dans la formule d'Euler, c'est le même "theta" "partout"...

regarde l'exs , tout simple racine carée de 3+4i

Je vois pas l'"exs"...

Quel est ton exercice ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite228eff64]

c'est "chercher la racine carée de 3+4i"


*merci de répondre si vite

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Tu peux toujours partir de (a+ib)², développer puis identifier à 3+4i.

Duke.

[invite228eff64]

regarde mon développement :

|z|² . e^i2O = |z| .e^iO => |z| = racine de X²+Y² => 5 => cos O = partie réelle / 5 et sin O = parie imaginaire / 5 .... => cos O = 3/5 et sinO = 4/5
puis je passe par e^iO = cos O + i sinO mais je vois pas comment je peux faire pour avoir 1 seul theta pour ensuite l'identifier avec

e^i2O = e^iO +2kP etc etc

[inviteb737c723]

Ah, mais c'est parceque c'est ton cos O qui est égal à 3/5, pas O. Pareil pour ton sin.

Edit :

en fait je tombe sur eiO = cos 3/5 + i sin 4/5

Du coup ca te fait eiO = 3/5 + 4i/5

[invite228eff64]

nostr0 ? je vois pas du tout du tout ....d"ésolé

[inviteb737c723]

Et bien, quand tu trouves

cos O = 3/5 et sin O = 4/5

, tu n'as pas deux valeurs différentes de O. Tu as deux valeurs différentes pour cos O et sin O.
Il te suffit de taper sur ta calculette sin-1 de 4/5 et cos-1 de 3/5 et tu dois trouver la valeur de O. Et ca doit être la même ( désolé j'ai pas ma machine sous la main ).

[invite228eff64]

ah ouais ! hey hey t'arraches donc finalement je m'étais pas trompé , c'était juste une petite astuce "calculatoire"

[inviteb737c723]

Effectivement, les complexes faut faire gaffe à tout.

[Duke Alchemist]

Re-

Juste pour le fun, Oliviero_igx, tu nous dis ce que tu trouves au final...

Duke.

[invite57a1e779]

c'est "chercher la racine carée de 3+4i"

Si tel est ton problème, le méthode trigonométrique ne paraît pas la plus adaptée.
Si tu cherches en effet à écrire sous la forme , la considération du module te conduit à puis aux équations et qui ne permettent pas un calcul exact de afin d'obtenir les racines carrées.

Il vaut mieux, comme le suggérait Duke Alchemist, chercher la racine carrée sous la forme .
Tu es conduit à résoudre qui conduit, par séparation des parties réelle et imaginaire, aux équations et , auquelles il faut adjoindre l'équation en module : .

Les équations et fournissent et , soit et .
L'équation permet de choisir convenablement les signes : ou .
Les deux racines carrées, dans , de sont et .

[Duke Alchemist]

Re-

... Il vaut mieux, comme le suggérait Duke Alchemist, chercher la racine carrée sous la forme .
Tu es conduit à résoudre qui conduit, par séparation des parties réelle et imaginaire, aux équations et , auquelles il faut adjoindre l'équation en module : .

Les équations et fournissent et , soit et .
L'équation permet de choisir convenablement les signes : ou .
Les deux racines carrées, dans , de sont et .

Si tu lui dis tout aussi ...

Ce qui me rassure, c'est que je ne dis pas que des bêtises

Duke.

[invite57a1e779]

Re-Si tu lui dis tout aussi ...

Ce qui me rassure, c'est que je ne dis pas que des bêtises

Duke.

Lorsque j'étais petit, j'ai appris que l'on cherchait les racines carrés d'un complexe z sous forme trigonométrique lorsque z lui-même avait un module et un argument simples à déterminer, mais que, dans les cas les plus fréquents où il n'en est pas ainsi, il valait mieux les chercher sous la forme a+ib, en n'oubliant pas l'équation en module, ainsi que je l'ai fait ci-dessus.

J'ai scrupuleusement suivi cette règle de conduite, et je m'en suis toujours très bien porté.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Lorsque j'étais petit, j'ai appris que l'on cherchait les racines carrés d'un complexe z sous forme trigonométrique lorsque z lui-même avait un module et un argument simples à déterminer, mais que, dans les cas les plus fréquents où il n'en est pas ainsi, il valait mieux les chercher sous la forme a+ib, en n'oubliant pas l'équation en module, ainsi que je l'ai fait ci-dessus.

J'ai scrupuleusement suivi cette règle de conduite, et je m'en suis toujours très bien porté.

... et c'est une bonne chose

De mon côté, je n'avais que développé (a+ib)² puis identifié à 3+4i. C'est plus calculatoire, j'en conviens.

En fait, ce que je voulais dire ne concernait pas la méthode mais le fait que tu lui détailles les calculs par la suite...
M'enfin...

Duke.

[invite57a1e779]

Bonjour.... et c'est une bonne chose

De mon côté, je n'avais que développé (a+ib)2 puis identifié à 3+4i. C'est plus calculatoire, j'en conviens.

En fait, ce que je voulais dire ne concernait pas la méthode mais le fait que tu lui détailles les calculs par la suite...
M'enfin...

Duke.

J'ai détaillé les calculs parce que, lorsque l'on propose de résoudre , beaucoup en restent à et , mais ne pensent pas (ne savent pas ?) qu'en adjoignant l'équation en module , on a un calcul rapide des solutions.