Aide limite

[invite2f666e02]

Bonjour j'ai une limite à calculer mais celle-ci est indéterminée...
Pour x tend vers + l'infini lim lnx/ (1+x)²= 0

Comment faire?

j'ai écrit lnX/ (1+x) * 1/(1+x) mais cela ne m'aide pas....
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[Gwyddon]

Bonjour

Il faut que tu utilises la limite dite remarquable (en TS)

que tu dois avoir dans ton cours (croissance comparée ça s'appelle)

[invite15e03428]

Bonjour,

Il faut que tu utilises la limite dite remarquable (en TS)

que tu dois avoir dans ton cours (croissance comparée ça s'appelle)

Si cette limite n'est pas donnée en cours..on doit normalement la démontrer.

j'ai oublié comment on le montre?!! est ce que par le moyen des Develeoppement limités!!

[Gwyddon]

Une manière triviale, et adaptée au niveau TS :

tu peux montrer par une étude de fonction (laissé en exercice ) que pour .

Donc au voisinage de l'infini, tu as

Je te laisse conclure

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite15e03428]

Salut,

Soit f la fonction définie sur ]0; +00[ comme suit:

la dérivée première de f est :

f' s'annule en t=4 positive pout t<= 4 et négative pour t>=4 donc donc la fonction f est décroissante pour t>=4 et on a f(4) = Ln(4) - sqrt{4} = -0.64<0 d'ou f est négative pour t>=4 cela implique que:

pour t>=4

d'ou l'égalité : qlq soit t>=4

Conclusion:

on a : pour t > 4



donc

est ce que c'est correct??

[Gwyddon]

Tout à fait correct

[invite15e03428]

Salut,

Juste j'ai oublié de dire: c'est quoi niveau TS ??

s'il s'agit de niveau bac cette méthode sera très bonne meme si elleest un peu longue.


Bur@q.

[invite2f666e02]

je n'ai jamais fait ce genre de chose...Je comprend la démonstration mais le seul problème c'est que je ne sais pas comment est-ce que vous trouvez la première fonction f.

pouvez-vous m'expliquez comment vous la trouvez svp?

[Gwyddon]

Salut,

Juste j'ai oublié de dire: c'est quoi niveau TS ??

s'il s'agit de niveau bac cette méthode sera très bonne meme si elleest un peu longue.


Bur@q.

Tout à fait, ça n'utilise que des outils de TS : dérivation et calcul de variations, théorème des gendarmes

je n'ai jamais fait ce genre de chose...Je comprend la démonstration mais le seul problème c'est que je ne sais pas comment est-ce que vous trouvez la première fonction f.

pouvez-vous m'expliquez comment vous la trouvez svp?

Alors si tu as compris la démo, c'est cool

Pour trouver la fonction, il faut avoir déjà une idée du résultat. Or pour avoir une idée du résultat, on regarde un peu le graphe des deux fonctions (x-> x et x -> ln(x) )

Tu vois bien sûr que x->x croît bien plus vite. Donc naturellement tu peux te dire qu'au voisinage de l'infini, c'est x qui va l'emporter devant ln(x).

Donc ton sentiment : ln(x)/x tend vers zéro.

Maintenant pour le démontrer, il peut être utile de comparer ça à une fonction que l'on maîtrise bien (ici l'inverse de la racine carrée)

Pour cela, j'essaye de majorer le logarithme par quelque chose que je maîtrise bien, et de telle façon que j'obtienne à la fin une fraction qui tend bien vers zéro.

D'où l'idée de la racine carrée, et l'on voit bien sur un graphe que la racine carrée est plus grande que le logarithme (ce qui a été démontré de façon propre par Buraq).


Voilà les grandes lignes qui te permettent de comprendre le choix de la fonction racine carrée

[invite15e03428]

Maintenant pour le démontrer, il peut être utile de comparer ça à une fonction que l'on maîtrise bien (ici l'inverse de la racine carrée)

Pour cela, j'essaye de majorer le logarithme par quelque chose que je maîtrise bien, et de telle façon que j'obtienne à la fin une fraction qui tend bien vers zéro.

j'apprécie bien cette nuance "que l'on maitrsie bien" . En fait: les maths ,c'est de la pédagogie aussi.

Cordialement.

[invite2f666e02]

Merci pour ces explications mais on me demande pour tout X>= 1.
Donc la démonstration ne fonctionne pas...

Je ne sais pas comment faire...

[Gwyddon]

Merci pour ces explications mais on me demande pour tout X>= 1.
Donc la démonstration ne fonctionne pas...

Je ne sais pas comment faire...

Attend, de quoi tu causes là ? Tu parles de limite (donc ma démonstration est parfaitement valable), donc qu'est ce qu'on te demande "pour tout X >= 1" ??