Plusieurs questions sur les Maths (niveau lycée)

[Micki2a]

Bonjour, j'ai plein de question sur les maths au niveau lycée: J'ai cherché sur le net, mais je n'ai pas trouvé vraiment ce que je cherchai...

C'est quoi une Suite ?En me baladant sur le forum, je vois souvent ça, est-ce que c'est des suites numériques du genre 1/x+1 + 1/x+2 + 1/x+3...+ 1/x+20?

C'est quoi une dérivée quand on parle de fonction?
-----

[Gwyddon]

Hello,

Une suite c'est "une collection de bidules"

En gros l'idée c'est que tu te donnes une collection d'objets que tu vas indexer par un entier : "le premier élément", "le second élément", etc...

Exemple : la suite des entiers pairs (les éléments de ta suite partagent ici une relation), mais tu peux aussi décrire une suite d'éléments qui n'ont a priori rien à voir entre eux.

La suite au prochain numéro

[invite0387e752]

une suite en gros c'est une famille d'éléments ordonnés dans N (ensemble des entiers naturels, infini dénombrable) dont tu connais chaque terme grace au terme générale.
une dérivée c'est une expression donnant les variations et comportements de ta fonction sur son ensemble de définition. par ex, d'un point de vue physique l'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. en un point la dérivée représente le coefficient directeur de ta fonction en ce point.
j'ai essayé de t expliquer vulgairement parce que c'est un peu dur sans trop etre formel et avec des mots et pas des epsilon ou des lim

EDIT : doublé par julien

[Micki2a]

Merci pour vos réponses, est ce que la suite que j'ai donné dans mon message est une suite?

C'est quoi une limite?

[A voir en vidéo sur Futura]

[bubulle_01]

Ce n'est pas vraiment une suite ce que tu as donné, plutôt la somme des termes d'une suite (bien que cela puisse se mettre sous forme de suite, mais c'est moins pratique).
Dans ce cas là, le terme général de la suite serait donné par :

Tu vois tout de suite que etc ...
Dans ce cas là,
Une limite c'est, en gros, la manière dont se comporte une fonction, en un point d'absicsse non définie (ou définie, mais cela devient alors tout bêtement l'image par la fonction).
Par exemple :
Tu comprends donc que quand x tend vers 0⁺, son inverse tend vers + l'infini, ce qui est logique.

[Micki2a]

Merci, passionnant tout ça...
J'ai rendez-vous avec tout ça en 1ère S...

[bubulle_01]

Tu verras, c'est pas du tout difficile
C'est juste que là on te l'introduit un peu rapidement.

[Micki2a]

Pour info: Je me suis acheté un livre "L'année de la 1ere S" par Bordas. Il existe aussi "L'année de Seconde , 1ère ES, 1ère L et il doit exister ceux de collège".
Pour ce qui ne connaisse pas, ce livre est partagé en plusieurs parties: une pour chaque matière. Et dans chaqque partie, il y a les résumés de cours, des exos, corrigé. Je trouve ces livres passionnants, j'aime bien connaître les programmes à l'avance (c'est un vilain défault).
Tout cela pour revenir au sujet...

Ce livre répond à mes questions précédentes, et merci à vous aussi d'avoir répondu à mes questions.

Pour la modération: Cela est peut-être du Hors-Sujet, mais je viens remercier...

[Gwyddon]

Ce livre répond à mes questions précédentes, et merci à vous aussi d'avoir répondu à mes questions.

Pour la modération: Cela est peut-être du Hors-Sujet, mais je viens remercier...

Hello,

Et nous te remercions de venir prendre la peine de nous remercier, merci à toi

[Micki2a]

Je reviens à la charge avec une question que j'avais oublié

Est-ce que vous pouvez m'expliquer ce qu'est-ce qu'un exponentielle (je crois qu'on le note e).

Merci d'avance...

[Gwyddon]

Hello Mickia,

Il y a plusieurs manière de voir cette notion, tout va dépendre de tes connaissances actuelles.

Connais-tu l'un (au moins) des concepts suivants :

_ limite

_ dérivée

_ primitive

_ fonction réciproque

?

En fonction de ta réponse, je vais essayer de t'introduire l'exponentielle de la manière la plus simple pour toi

[Micki2a]

Toujours aussi rapide Gwyddon !!!
Mais moi c'est Micki2a et non pas Mickia

Le seul truc que je connais dans tes propositions c'est le mot Fonction

[Gwyddon]

Toujours aussi rapide Gwyddon !!!
Mais moi c'est Micki2a et non pas Mickia

Désolé pour la faute

Le seul truc que je connais dans tes propositions c'est le mot Fonction

Ah... Ça va être dur alors

Bon on va commencer par le concept de limite, après tout c'est peut-être le plus simple à comprendre là-dedans.

Pour que tu te fasses une idée du phénomène, on va prendre un exemple.

Soit la suite u_n = 1/n

Calcule les 5 premiers termes de cette série. Que peux-tu m'en dire ?

[invitecb6f7658]

Salut, je suis en première S et je suis intéressé par ton initiation à l'exponentielle...

Je viens d'apprendre ce qu'était une limite, la dérivée c'est bon, la primitive je crois savoir que c'est la fonction qui donne la dérivée par contre fonction réciproque je ne vois pas trop.

Je crois qu'il y a un rapport avec la fonction ln(x)?

Merci d'avance.

[Micki2a]

Et Gwyddon, j'ai un secret à te dire:

 Cliquez pour afficher

Je suis qu'en seconde, on m'a juste expliqué précédemment ce qu'était une suite mais je ne sais pas calculer tout cela.

[Gwyddon]

Bonjour Apprenti-lycéen,

Je te propose alors d'attendre la fin de l'initiation pour Micki2a, ensuite je te montrerai d'autres définitions qui se basent sur les notions que tu connais déjà, et effectivement il y a un rapport avec la fonction logarithme

Pour la notion de fonction réciproque : tu prends une fonction f bijective. La fonction g qui est telle que sa composée avec f soit identique à la fonction identité est appelée fonction réciproque de f.

De façon plus concise, la fonction réciproque de f, notée ici g, est telle que f o g = g o f = Id, où Id est la fonction telle que Id(x) = x

[Gwyddon]

Bon la suite on en a déjà parlé ici

Pour ce que je t'ai donné, la formule u_n = 1/n signifie que le premier terme de ma suite (u_1) c'est 1/1 = 1 ; le second terme de ma suite ( u_2) c'est 1/2 = 0.5 ; etc...


EDIT : je vais me coucher, on reprendra ça un autre jour

Bonne nuit

[Micki2a]

J'y crois pas !!!! Gwyddon a fait un double post, faut le punir .

Ah d'accord, je comprend mieux la suite...

Donc:
u₃= 1/3 = 0.33
u₄= 1/4=0.25
u₅= 1/5= 0.2

Quelle est la suite du programme?

Bonne nuit Gwyddon... Pareil pour moi.

[invitecb6f7658]

Ok merci de tes réponses rapides.
Je pense avoir saisi le concept de la fonction réciproque, si j'illustre par un exemple, on a f(x)= 2x et g(x)= x/2
d'où f°g(x)=x=g°f

Pour ce qui est de la fonction ld(x)=x c'est juste une notation? et concrétement à quoi servent les fonctions réciproques?

Merci.

[bubulle_01]

La fonction est appelée fonction identité, donc tu peux la noter Id.
Je ne suis qu'en terminale, et l'utilisation de fonction réciproque ne se résume qu'à une chose pour moi :
Dans le cadre d'une équation qui n'est pas polynomiale, faisant intervenir par exemple une exponentielle, l'utilisation de la fonction réciproque permet de trouver la valeur exacte de la solution.
Exemple :

Voilà voilà, mais je sais que beaucoup de fonctions réciproques sont utilisées en trigonométrie (cos^-1; tan^-1 etc ...) : tu peux les utiliser sur ta calculette, grossièrement elle permettre le calcul "opposé".

[Micki2a]

Gwyddon voudrais tu continuer l'explication ?

[Gwyddon]

Gwyddon il essaye de finir un truc urgent, et après il arrive pour faire tout ça

[Micki2a]

Tu sais ce n'est pas pressé... je ne suis qu'en seconde normalement je devrai même pas me demander ce qu'est les exponentielles... Mais vu que j'adore m'interessé aux programme futurs....
De toute façon, j'ai tout mon temps

[invitecb6f7658]

Ok merci bubulle, en gros c'est un moyen de résolution d'équations dans lesquelles interviennent ln(x) et e^x, par exemple.

[Gwyddon]

Hello,

J'ai un peu de temps devant moi, je peux donc le consacrer à vous

D'abord,

Ok merci de tes réponses rapides.
Je pense avoir saisi le concept de la fonction réciproque, si j'illustre par un exemple, on a f(x)= 2x et g(x)= x/2
d'où f°g(x)=x=g°f

Tu as tout à fait compris la manoeuvre

QUOTE=Apprenti-lycéen;1618410]Ok merci bubulle, en gros c'est un moyen de résolution d'équations dans lesquelles interviennent ln(x) et e^x, par exemple.[/QUOTE]

Pas que ça, loin de là. L'utilité peut aussi se retrouver dans les fonctions trigonométriques et leurs réciproques, ces dernières interviennent aussi dans des calculs plus complexes d'intégrales. Mais là n'est pas le sujet


Donc Micki2a on reprend le programme. Tu as bien calculé les premiers éléments de cette suite, qu'est-ce que tu peux remarquer ? Que la suite semble décroître. En fait, elle décroît bien, tout en restant positive strictement puisque l'on ne regarde que les entiers naturels, et 1/n > 0 pour tout entier n.

Ainsi, plus je prend des n grand, plus u_n est petit, tout en étant positif. Je peux donc prendre n aussi grand que je veux pour me rapprocher d'aussi près que je le souhaite de 0 avec u_n.

Plus précisément, si je me donne n'importe quel réel r, aussi petit que je le souhaite, mais positif, je sais que je peux trouver un entier N tel que u_N = 1/N soit plus petit que r ; tu prends par exemple N=E(r)+1, où E(r) est la partie entière de r (**)

Si jamais le concept de partie entière ne vous est pas familier, il est très simple : E(n) = n pour un entier, et pour un réel E(r) est l'entier le plus proche de r par voie inférieure (ie dans l'écriture décimale r=N,abcd..., E(r) = N)

Le raisonnement exposé dans la phrase (**) est le concept de limite, et qui veut dire que la limite de la suite u_n quand n tend vers l'infini est 0, ce que l'on écrit



Ce qui signifie concrètement que tu peux t'approcher d'aussi près que tu veux de zéro pourvu que tu prennes des entiers n suffisamment grand. C'est ça le concept de limite, c'est l'idée de se rapprocher de quelque chose, d'aussi près qu'on le désire, mais sans nécessairement l'atteindre : ta suite u_n = 1/n est toujours strictement positive, elle n'atteint pas 0 !!

Est-ce clair pour toi le concept de limite Micki2a ?

Si c'est clair sur cet exemple, je passerai à la notion de série et de limite de série.



EDIT : il y a un problème dans les balises quote, le forum n'affiche pas ce que je désire

[Micki2a]

Oui, on va dire que c'est assez clair... Merci de m'accorder du temps

Enfin, ça j'ai un peu vu avec la fonction inverse... Elle est décroissante sur R- et R+ et qu'elle ne peut pas faire 0 car c'est impossible donc Df= R \ {0}

[Gwyddon]

Hello Micki2a,

Je reviens à toi, ça s'est calmé par chez moi

Pour la suite, je voudrais t'introduire les séries.

Prenons une série pas trop difficile : la série de terme général . Une série, c'est une suite mais dont chaque élément est une somme de termes.

Ainsi


...



Dans notre exemple, avec , on appelle une série géométrique car le terme général est une suite géométrique.

Maintenant tu as vu ce qu'était une limite de suite. On peut donc passer à la limite de série, puisque une série n'est qu'un type particulier de suite

On dira que la série converge si elle converge au sens des suites défini plus haut. Dans ce cas on note sa limite ainsi :



Il faut bien se rendre compte que c'est avant tout une notation




Pour en revenir à notre série particulière, on peut montrer que pour tout entier n et tout réel q différent de 1, on a



(montre le par récurrence )

Du coup, tu vois que pour , tu as

Donc converge, et



Si tout ça tu digères, on passe à l'exponentielle

[Gwyddon]

Bonsoir à tous,

Apprenti-lycéen m'ayant gentiment demandé de poursuivre l'aventure, je reviens sur cette discussion.

Je dois malheureusement avouer qu'il y a des détails techniques qui demandent une utilisation de notions absolument pas au programme de terminale. Je vais les énoncer, et préfère renvoyer le lecteur à une recherche quant à ces détails techniques s'ils en souhaitent une démonstration rigoureuse (dans le cas contraire l'essentiel de la discussion serait noyé).

Préliminaires :

Après avoir vu le concept de limite puis de série et de limite de série, nous allons avoir besoin de trois résultats importants.

Le premier nécessite l'introduction du concept de 'suite de Cauchy'. On dit d'une suite qu'elle est de Cauchy quand, grossièrement, "ses termes se rapprochent les uns des autres d'aussi près qu'on le désire". En terme mathématique, cela signifie que pour tout réel E positif, il va exister un certain entier N tel que pour tout entiers n, p supérieurs à N, on aura

|u_n - u_p | < E


On adapte très facilement ce concept aux séries, en se souvenant qu'une série n'est qu'un type de suite particulier.

Le résultat technique à admettre est le suivant : il se trouve que toute suite réelle qui est de Cauchy est aussi une suite qui converge, ie qui admet une limite. Ce résultat est loin d'être trivial et est une propriété particulière de l'ensemble des réels, qu'on nomme la 'complétude'.

Les petits curieux pourront démontrer assez facilement que la réciproque est aussi vraie (elle l'est toujours en fait), à savoir qu'une suite qui converge (qui admet une limite) est aussi une suite de Cauchy



Le second résultat important concerne la série des 1/n² , et devient facile à démontrer : cette série converge, existe donc bien.

Pour cela, il suffit de montrer que c'est une série de Cauchy

Si on prend deux entiers n,p, avec n>p (ceci n'est pas une restriction importante, en fait ça reste très général c'est pour alléger la démonstration - puisque dans le cas contraire on change n en p, p en n), on a



Ceci suffit à démontrer que c'est bien une série de Cauchy car 1/n converge vers 0 : il suffit donc, pour tout E > 0, de prendre le rang N tel que 1/n < E pour n>N !


Enfin le troisième résultat important est ce que l'on appelle 'le théorème de convergence des séries à terme positif" : si on a et qui converge, alors converge aussi.

La démonstration n'est guère compliquée, vous pouvez montrer par exemple que est de Cauchy, en vous appuyant sur le fait que l'est puisque elle converge.


L'exponentielle

Maintenant on est armé pour étudier une série très importante : celle de terme général 1/n!.


1/n! est positif, et on a évidemment pour tout n>0 .

On a vu avec le deuxième résultat que la série des 1/n² était convergente.

On peut alors appliquer le résultat numéro 3, à savoir le théorème de convergence

D'où la série des 1/n! converge : existe donc.




On appelle 'nombre exponentiel', ou 'e', cette limite :




On peut calculer une bonne approximation de e avec cette série, en calculant les 10 premiers termes par exemple (la série converge très vite).

L'étape suivante consisterait à donner un sens à

pour tout réel x ; cela est possible (c'est-à-dire que pour tout réel x la limite existe), et c'est ainsi que l'on peut définir la fonction exponentielle :



Ensuite, on peut s'intéresser à la notion de dérivée de cette fonction, et se rendre compte qu'elle est égale à sa dérivée (on retrouve une notion très classique vue en terminale à propos de l'exponentielle ! ) mais là aussi j'ai besoin de résultat assez puissant

Bon en attendant, est-ce clair, Apprenti-lycéen ? N'hésite pas à poser des questions, si je ne suis pas là pour y répondre je ne doute pas que d'autres membres de ce forum seront aptes à le faire

[invitecb6f7658]

Salut et merci beaucoup de nous accorder de ton temps...

Je rencontre une première difficulté lors de la démonstration allégée de la convergence de via les séries de Cauchy. Ce n'est pas le raisonnement qui me pose problème, mais plus particulièrement l'inégalité déduite du calcul du module de Sn-Sp, j'ai eu beau prendre des valeurs concrètes pour le voir de mes propres yeux, je trouve que:

Cependant cet encadrement me permet également de conclure que la série est de Cauchy...où serait mon erreur?

Deuxième question, pour , je sais que l'on traite dans le cadre de grandes valeurs, cependant, si on prend , l'inégalité n'est plus valable si? Autrement je suis ok avec ce qui en découle.

Dernière question
Pour ce qui est de ça tendrait vers ...La-dessus j'avais aperçu qu'on pouvait également l'obtenir grâce à , sont-ce juste deux manières différentes de l'écrire (à mon avis oui...)

C'est tout comme questions pour le moment, encore merci pour tes explications.

[Micki2a]

Bon je crois que je vais attendre la terminale
J'ai eu quelques infos sur la fonction exponentielle sur le net...

Merci à toi Gwyddon