Aire sous la parabole

[invite700d1e38]

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide sur un exercice d'entrainement portant sur plusieurs notions, on y retrouve des calcules d'aires, des fonctions mais aussi des suites.
Voici l'énoncée :

Dans un repère (O;vOI,vOJ) soit P la courbe qui représente la fonction f définie sur [0;1] par f(x)=x². Soit D le domaine situé sous la courbe C. On choisit pour unité d'air l'aire du carré OIKJ. Le but de cette activité est de determiner l'aire A du domaine D.

On subdivise l'intervalle [0;1] en n intervalles de longueur 1/n, n étant un entier naturel non nul. On définit les fonctions en escalier p et g suivantes : pour entier k compris entre 0 et n-1 et sur chaque intervalle [k/n;(k+n)/1[ on a : p(x) = (k/n)² et g(x) = ((k+1)/n))².

1. Représenter graphiquement, à l'aide d'un grapheur ou d'un tableur, les fonctions f, p et g pour n = 4.

2. On note sn la somme des aires des rectangles situés sous la courbe de p et Sn la somme des aires des rectangles situés sous la courbe g.
- a) Calculer sn et Sn pour n = 4 et n =10. En déduiree que 57/200 <egal A<egal 77/200
- b) Expliquer pourquoi, pour tout n, on a : Sn pour tout entier naturel non nul n on a : sn <egal A <egal Sn
- c) Démontrer que pour tout entier naturel non nul on a : (1/n^3)(1²+2²+...+(n-1)²) et Sn = (1/n^3)(1²+2²+...+n²)

Donc voilà la premiere question a déjà été faite, je coince sur la partie 2.
J'aurais donc aimé savoir si une aide aurais été possible.
Merci !
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[Flyingsquirrel]

Salut

Dans le cas n=4, que vaut l'aire du premier rectangle ? celle du deuxième ? du troisième ? du quatrième ? donc que vaut l'aire totale des rectangles sous la courbe ? Ensuite il faut faire la même chose dans le cas n=10. (...)

[invite700d1e38]

En fait ce que je n'ai pas compris c'est que représentait n ?

[Flyingsquirrel]

n correspond simplement au nombre de rectangles placés sous la courbe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite700d1e38]

Je ne comprends pas
Pourriez vous me faire le calcul pour n = 4 ?

[Flyingsquirrel]

On va faire n=2, le principe est le même

On nous dit :

On subdivise l'intervalle [0;1] en n intervalles de longueur 1/n, n étant un entier naturel non nul. On définit les fonctions en escalier p et g suivantes : pour entier k compris entre 0 et n-1 et sur chaque intervalle [k/n;(k+1)/n[ on a : p(x) = (k/n)² et g(x) = ((k+1)/n))².

Donc pour n=2 on a deux rectangles :
_ le premier (k=0) va de k/n à (k+1)/n soit de 0 à 1/2 (donc largeur : 1/2) et à une hauteur de (k/n)²=0 soit une aire de 0...
_ le second (k=1) va de k/n à (k+1)/n soit de 1/2 à 1 (même largeur : 1/2) et à une hauteur de (1/2)²=1/4 soit une aire de (1/4)*(1/2)=1/8

L'aire totale est la somme des deux aires donc s₂=1/8.

[invite700d1e38]

Donc pour n = 4 on refait la même chose mais pour le troisième et le quatrième ? ( dans la continuité de l'exemple )

[Flyingsquirrel]

Oui, il faut refaire ce que j'ai fait pour les deux premiers et continuer de la même manière avec le troisième et le quatrième.

[invite700d1e38]

Mais si n = 4 alors :

- le troisième (k=2) va de k/n à (k+1)/n soit de 2/4 à 3/4 (donc largeur : 1/4) et a une hauteur de (2/4)²=4/16 soit une aire de (4/16)*(1/4)= 4/64 = 1/16

- le quatrième (k=3) va de k/n à (k+1)/n soit de 3/4 à 4/4 (donc largeur : 1/4) et a une hauteur de (3/4)²=9/16 soit une aire de (9/16)*(1/4)= 9/64

L'aire totale est la somme des deux aires donc s2= 10/64 = 5/32

Heu c'est ça ? Désolé je suis fatigué u_u

[Flyingsquirrel]

On s'est mal compris

Il faut calculer l'aire pour les quatre rectangles donc k=0, k=1, k=2, k=3 puis faire la somme. Sinon, pour les cas k=2 et k=3, je suis d'accord. (à part que ça ne fait pas 10/64 mais on mettra ça sur le compte de la fatigue ^^)

[invite700d1e38]

Oui pardon 1/16 + 9/64 = 64/1024 + 144/1024 = 208/1024 = 13/64

Et donc pour n = 10 il faut faire 10 calculs comme ceux-ci ou il y a une autre méthode ?

[Flyingsquirrel]

L'autre méthode ça pourrait être d'utiliser la formule générale mais c'est ce que l'on te demande de faire à la question 2.c... donc non, il faut faire les calculs. (mais si tu as bien détaillé pour n=4, tu peux te contenter de donner l'aire de chaque rectangle puis l'aire totale)