[CG] un triangle et une droite

[invite1228b4d5]

Salut à tous.
Alors ce matin, j'ai fait le concours général de maths. Et, vous savez quoi... ben j'en ai pas réussi beaucoup des questions
enfin, il y a une exercice qui me tracasse... Le voici :

1. Le plan est rapporté à un repère orthonormal . On considère un triangle ABC dont aucun côté n'est parallèle à l'axe des ordonnées Oy. A toutes droite D non parallèle à Oy, on associe les points A', B' et C', intersection de D avec les parallèles à Oy menées par A,B et C respectivement.

Montrer qui existe une unique droite D pour laquelle la somme s des longeurs est minimale, et la caractériser.

2/ Montrer qu'il existe une droite D pour laquelle la somme des distances de A, B et C à D est minimale. Montrer que cette droite est unique si ABC n'est pas isocèle, et la caractériser.

Alors, j'ai galèré sur la 1 sans réussir je voulait tenter d'utiliser Thalès à un moment :/, j'ai essayer de fixer un point, mais rien à faire, c'est trop ardu.
J'ai aussi essayer analytiquement, en calculant ces distance, mais je me retrouve avec des valeurs absolue :/ Enfin bref ,si quelqu'un pouvait me donner une piste, ça serait sympa.
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[invite8a80e525]

Bonjour,

je l'ai passé aussi,

et pour cet exo je me suis aussi retrouvé avec des valeurs absolues.

J'ai fixé a, dérivé, trouvé le minimum,
fixé b, re-dérivé, re-trouvé le minimum.

Le problème, c'est que je sais pas si ça marche.
J'ai bien trouvé une unique droite, mais était-ce la bonne?

[invitea3eb043e]

Pas sûr que des équations soient la meilleure approche, justement à cause de ces diaboliques valeurs absolues.
Si on fait un schéma et qu'on glisse la droite D selon une direction fixe et qu'on part de très bas en montant, on voit que d'abord toutes les distances AA', BB', CC' diminuent pareillement, donc la somme aussi.
Ensuite on touche un des points A, B ou C. Alors si on continue à monter une des distances augmente tandis que 2 diminuent et toujours de la même quantité, donc la somme diminue.
A partir du moment où on coupe un second point, c'est l'inverse et ça augmente.
Pour trouver la direction la plus favorable, on intuiterait bien que c'est Ox mais je n'en suis pas sûr.

[invite8a80e525]

La direction n'est pas Ox,

imagine trois points "presque alignés".

Intuitivement, la direction de D est proche de celle des trois points,
donc pas de raison que ça soit Ox...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

La technique du "glissement" de Jean-Paul montre que pour une direction donnée, le minimum est atteint quand la droite D passe par un des trois sommets.
Maintenant on peut regarder autour d'un sommet. Avec la même idée de Jean-Paul, on montre facilement que pour un sommet situé le plus "à droite" ou la plus "à gauche" alors pour les droites passant "au-dessus" des deux sommets en la faisant tourner vers les deux sommets on diminue la somme, idem pour les droites situées "en-dessous" des deux sommets. Il faut donc regarde ce qui se passe entre les deux sommets. Si A est ce sommet, C le sommet le plus à droite,. On peut noter E l'intersection de (By) avec (AC). On note G et F les intersections d'une droite D passant par A avec (By) et (Cy). On compare la somme avec la position D=(AC). Il faut donc comparer EG et FC ce qui se fait facilement. On peut donc déterminer la droite minimisant la somme parmi celles passant par A.
Idem pour le sommet le plus "à droite" (on s'y ramène avec une symétrie).
Pour le point intermédiaire, on fait une étude du même type, il y a une unique droite minimisant ou alors une infinité pour lesquelles cette somme est la même et minimale avec deux droites plus intéressantes.
Comparer, les résultats entre les trois sommets se révèle être du travail déjà réalisé.
Résultat :

 Cliquez pour afficher

La droite minimisant est la droite passant par le sommet la plus "à droite" et celui le plus "à gauche".

Pour le 2) le glissement parallèle montre que la droite minimale pour une direction donnée est celle qui passe par un sommet.
Pour une droite passant par un sommet et extérieure à l'angle formé par les trois sommets, il suffit de comparer avec une droite bien choisie pour montrer qu'elle n'est pas minimale ( ne pas oublier que 0<toute distance et un segment partant d'un point M et qui coupe une droite est toujours plus long que la distance de M à cette droite, bref les comparaisons sont dans le même sens).
Pour une droite intérieure, il n'est pas inintéressant de regarder une perpendiculaire à D et de ramener la somme des deux distances à la longueur d'une seul segment.
De là on en tire que seules trois droites sont encore en course, une considération d'aire permet de conclure facilement.

 Cliquez pour afficher

La droite est celle portée par le côté de plus grande longueur

[invitea3eb043e]

Bien vu, Homotopie. Ca paraît quand même dur et très inhabituel pour des lycéens qui vont se précipiter sur des équations.

[invite1228b4d5]

c'est quand même bizarre cette idée de plus à droite, plus à gauche ...
et je t'avoue que à première lecture, j'ai pas tout compris ^^, je vais prendre tes explication et les lires avec attentions.
Pour la 2eme, j'avait graphiquement trouvé le résultat, en faisant plein de schéma. Mais démontrer après c'était un chouillat trop pour moi... et j'ai rien fait sur cette exo
au faite, Si j'ai compris en faite, l'idée du repère orthonormé c'est juste pour t'embrouiller ?

[invite265ae223]

J'ajouterais une vision un peu différente qui rejoint surement ce qu'a expliqué homotopie

AA'=aBB'=bCC' (en vecteur) avec AA',BB',CC'>0
f=x+ax+bx (a,b>0)
Min quand x tend vers 0

Soit AA'=0
BB'=dCC' avec BB'>0
g=x+dx
Min quand xtend vers 0

Soit AA'=BB'=0

AA'+BB'+CC'=CC'

Comme A,B et C sont interchangeables, il faut choisir la droite D contenant le segment du triangle minimisant cette longueur. En l'occurrence, graphiquement, il s'agit du segment composé des 2 points extrêmes (selon x) du triangles.

Pour la question 2), il suffit de remarquer que c'est 1 cas particulier du 1 qd D est perpendiculaire à un axe Oy'.
Par un raisonnement analogue, on s'apercois que
AA'+BB'+CC'= une des hauteurs du triangle
Cette hauteur minimale est alors unique si abc non isocèle.

[invite35452583]

AA'=aBB'=bCC' (en vecteur) avec AA',BB',CC'>0
f=x+ax+bx (a,b>0)

Qu'est "x" ? AA' dans ce cas on a f(x)=x+x/a+x/c

Min quand x tend vers 0
Soit AA'=0

Non ! a et b dépendent de la droite D et ne sont pas constants donc aucune raison que le minimum soit "quand x tend vers 0".

Comme A,B et C sont interchangeables

Soyons cohérent on a AA'=0 et BB'=0 et CC'=0.
La droite D passe donc par A, B et C.

Pour la question 2), il suffit de remarquer que c'est 1 cas particulier du 1 qd D est perpendiculaire à un axe Oy'.

Non ! la direction des projections changent en fonction de la droite D contrairement à la 1ère question.

J'ajouterais une vision un peu différente qui rejoint surement ce qu'a expliqué homotopie

Je ne crois pas...

Bien vu, Homotopie. Ca paraît quand même dur et très inhabituel pour des lycéens qui vont se précipiter sur des équations.

C'est le CG quand même. Quand je l'ai passé, on avait eu droit à ceci :
Soit S1 et S2 deux sphères disjointes de l'espace, de rayon respectifs R1 et R2.
Soit (d) une droite ne coupant ni S1 ni S2.
On pose pour un point M de la droite (d) f(M)=MT1+MT2 où T1 (resp. T2) est le point de contact avec la sphère S1 (resp. S2) d'une tangente à la sphère S1 (resp. S2) passant par M.
Minimiser f(M) quand M parcourt la droite (d).
Là aussi il ne faut pas voir peur aux yeux pour essayer d'affronter ça avec des équations. Géométriquement, c'est faisable avec une partie un tout petit plus calculatoire qu'ici. Je n'ai pas regardé les annales du CG mais je pense que ce sont des exos plus ou moins classiques à ce niveau.

c'est quand même bizarre cette idée de plus à droite, plus à gauche ...
et je t'avoue que à première lecture, j'ai pas tout compris ^^, je vais prendre tes explication et les lires avec attentions.
Pour la 2eme, j'avait graphiquement trouvé le résultat, en faisant plein de schéma. Mais démontrer après c'était un chouillat trop pour moi... et j'ai rien fait sur cette exo
au faite, Si j'ai compris en faite, l'idée du repère orthonormé c'est juste pour t'embrouiller ?

Je reprends le 1er exercice :
à distinguer deux choses : on fait "glisser", on fait "tourner" la droite, bref la partie dynamique, est très utile pour la recherche mais est délicat à rédiger.
Pour la rédaction, mieux vaut privilégier une rédaction "statique" :
a) D minimal pour une direction donnée
la rédaction va comparer la somme des distances pour la parallèle passant par un des sommets et telle que les deux autres sommets sont de par et d'autre (ou passant par deux sommets dans le cas où la droite portée par un des côtés est de la direction donnée) avec la somme des distances pour une droite quelconque de la direction donnée.
On aboutit pour toute droite D ne passant pas par un sommet ou passant par un sommet mais ne coupant le côté opposé, on a f(D)>f(D') où D' est parallèle à D mais passant par un sommet et coupant le côté opposé (éventuellement en un sommet).
b) autour d'un sommet
Retour à la "dynamique" (aucune démo à ce niveau, c'est de la pure observation graphique), on renomme les sommets de telle manière que xA<xB<xC (le repère peut-être un peu utile, maintenant je pense qu'il est là surtout pour envoyer se casser les dents sur une résolution analytique ).
Quitte à prendre la symétrie par rapport à (Bx) on peut supposer B au-dessus de (AC).
On part de la parallèle à (OY) passant par B (cas exclu mais pris ici comme cas limite), la somme est infinie. On fait tourner de telle manière que A' soit en -dessous de A. En tournant autour de B vers (BA), AA' et CC' diminuent donc f(D) diminue et atteint un minimum pour cette partie en (BA).
Si on continue à tourner la droite ne vérifie plus la condition "coupe le côté opposé"->nouveau pivot : A
On tourne autour de A de (AB) vers (AC), BB' augmente, CC' diminue. Comment varie la somme ? La longueur pour couper (By) est toujours plus courte que celle pour aller couper (Cy) donc BB' augmente moins vite que CC' ne diminue donc la somme diminue->minimum en (AC)
Si on continue à tourner la droite ne vérifie plus la condition "coupe le côté opposé"->nouveau pivot : C
Entre (CA) et (CB), c'est similaire au cas précédent mais "inversé" AA' augmente, BB' diminue mais moins vite donc la somme augmente->minimum en (AC)
Si on continue à tourner la droite ne vérifie plus la condition "coupe le côté opposé"->nouveau pivot : B
et en continuant de tourner AA' et CC' augmentent donc la somme aussi jusqu'à devenir infinie quand on finit le tour et que l'on tend vers (By).
Retour à la "statique" et à la rédaction :
On compare le cas D passe par A mais distinct de (AC), configuration de Thalès on montre que f(D)>f(AC), en particulier pour D=(AB).
Son symétrique pour les droites passant par C.
On compare le cas (BA) et D passant par B avec A' en-dessous de A C' au-dessus de C, cas facile car les deux inégalités sont dans le même sens.
Le cas (BC) et D passant par B avec C' en-dessous de C, A' au-dessus de A est le symétrique selon (By) du précédent.
Pour D passant par B on a f(D)>=f(AB) ou >=f(AC). donc dans les deux cas f(D)>f(AC).
Or pour toutes les autres droites D on a f(D)>f(D') pour D' passant par un sommet et coupe le côté opposé, donc f(D)>f(AC).
f(D) atteint donc son minimum en (AC) et seulement en (AC).