comment tracer une section plane dans un tétraédre

[invite1fec0793]

bonjour
je voudrai savoir s'il vous plait comment tracer une section plane dans un tétraédre.J'ai besoin a tout prixx de votre aide car j'ai un contrôle et en refaisant mes exercices je n'arrive pas

merci de votre aide
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[invite1fec0793]

alors personne

[Duke Alchemist]

Bonjour,

Le problème à cette question c'est qu'elle nécessite des illustrations
Enfin ce serait bien plus simple à expliquer avec des images qu'avec du texte...

Maintenant, il faudrait peut-être davantage de détails notamment sur le plan lui-même :
- il doit passer par 3 points précis ?
- il doit être parallèle à l'une des faces ?
- ... (autres)

Duke.

[invite1fec0793]

Bonjour,

Le problème à cette question c'est qu'elle nécessite des illustrations
Enfin ce serait bien plus simple à expliquer avec des images qu'avec du texte...

Maintenant, il faudrait peut-être davantage de détails notamment sur le plan lui-même :
- il doit passer par 3 points précis ?
- il doit être parallèle à l'une des faces ?
- ... (autres)

Duke.

par 3 points quelquonques

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1fec0793]

help me please

[invite35452583]

par 3 points quelquonques

On va essayer sans figure (par contre tu as intérêt à en faire et de te construire un tétraèdre solide, avec du papier et de la colle par exemple, pour suivre à la fois sur la figure nécessairement plane et dans l'espace).
Les cas où un point est sur une arête étant les plus simples on va prendre le cas général où les trois points sont sur une seule face et sur des faces différentes.
Tu as trois points donc une face n'en contient pas. On appelle B, C et D les points de cette face, A le sommet commun aux trois faces contenant un point. M est sur (ABC), N sur (ACD), P sur (ADB)
La grosse difficulté en géométrie spatiale est que ce que l'on voit sur la figure ne correspond que partiellement à ce qui "se passe" dans l'espace. par exemple, (AB) et (CD) ne se coupent pas sur le tétraèdre de l'espace (le "vrai") mais leurs images vont se couper en général sur la figure. Il faut donc être précis pour trouver des points d'intersection. Pour cela, il faut s'assurer que les droites se coupent dans l'espace ce qui nécessite de montrer qu'elles sont dans un même plan.
Premiers points d'intersection "faciles" : (AM) coupe (BC) en I sur la figure mais aussi dans l'espace, en effet M est sur le plan (ABC), par hypothèse, donc les droites (AM) et (BC) sont dans le même plan (ABC). Si elles se coupent sur la figure alors elles se coupent dans l'espace (car dans un même plan).
On a de même (AN) coupe (CD) en J et (AP) coupe (BD) en K.
Ces points I, J et K n'ont aucune raison d'être sur le plan (MNP) (celui qui coupe le tétraèdre). Mais ils vont aider à trouver l'intersection du plan (MNP) avec le plan (BCD). Deux plans se coupent selon une droite (ou sont parallèles), ici, on supposera qu'ils se coupent selon une droite (d)
La droite (MN) va percer le plan (BCD) en un point G. Comment le trouver, tous les points de la figure sont potentiellement des points de (BCD) ? En trouvant une droite de (BCD) dont on est sûr qu'elle est dans le même plan que (MN). Cette droite est (IJ), en effet par construction A est sur (MI) et sur (NJ), deux droites concourantes étant dans un même plan (MI) et (NJ) sont dans un même plan, (IJM) par exemple mais aussi (IJN), (MIJ) et (MNI). Les points M, N, I et J sont donc dans un même plan, les droites (MN) et (IJ) sont donc coplanaires. Leur point d'intersection G sur la figure correspond donc bien à un "vrai" point d'intersection dans l'espace. Ce point G est sur le plan (MNP) car est sur (MN) et est sur le plan (BCD) car sur la droite (IJ) avecI et J sur le plan (BCD).
De même, (MP) et (IK) se coupent en H car (MI) et (KP) se coupent en donc les points M, P, K et I sont dans un même plan. H est aussi sur les plans (MNP) et (BCD).
La droite (d) est donc égal à (GH) (on vérifie que (NP) et (JK) se coupe sur un point de (d)).
Les droites (BC) (ainsi que (CD) et (BD)) coupent la droite (d) car sont toutes dans le plan (BCD) en X.
Je suis pressé, désolé, (XM) coupe (AB) et (AC) en deux points de la section du plan avec le tétraèdre ce qui permet de construire la section.

[invite35452583]

De retour.
Je reprends de là :

La droite (d) est donc égal à (GH) (on vérifie que (NP) et (JK) se coupe sur un point de (d)).

Intersection du plan (MNP) avec le plan (ABC) :
La droite (BC) et (d) sont sur le même plan (BCD) donc sont parallèles ou se coupent en X.
Cas où elle se coupent en X. Le point X est sur la droite (d) donc dans le plan (MNP) et sur la droite (BC) donc sur le plan (ABC). De même le point M est sur ces deux plans. Donc toute la droite (XM) est dans (MNP) et dans (ABC). On a donc l'intersection du plan (MNP) avec le plan (ABC).
Intersection du plan (MNP) avec les plans (ABD) et (ACD)
(XM) coupe les droites (AB) et (AC) puisque dans le même plan (ABC). On note Y et Z les points d'intersection. Ces deux points sont dans le plan (MNP) puisque toute la droite (XM) est dans ce plan.
Y est sur (AB) donc dans (ABD) et est dans (MNP), il en est de même de P. Donc le plan (MNP) coupe le plan (ABD) selon la droite (YP).
Z est sur (AC) donc dans (ACD) et est dans (MNP), il en est de même de N. Donc le plan (MNP) coupe le plan (ACD) selon la droite (ZN).

On a l'intersection du plan (MNP) avec les plans (BCD), (ABC), (ABD) et (ACD) qui contiennent les faces du tétraèdre. Pour la section (sur la figure en trait plus appuyé ou en couleur), on ne garde que les parties réellement présentes sur les faces mais là c'est plus classique.