integrale

[invite9f31e17a]

bonjour,
Soit f(x)=(x+1)²e^(-x) et g(x)= e^(-x).
On a tracé les courbes

déterminer les réels a, b, c pour que la fonction:
t -> (at²+bt+c)e^(-t) soit une primitive sur R de la fonction t-> (t²+2t) e(-t).
J'ai trouvé F(t) = (-t²-4t-4) e^(-t)

Calculer l'aire A(alpha) en cm² du domaine délimité par Cf et Cg, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=alpha.


J'ai trouvé A = intégrale de 0 à alpha [(f(t)-g(t))] dt

on a le droit de changer la variable du début pour f(x) et g(x)?

=(-alpha²-4alpha-4)e^(-t)+4

Est ce que c'est ce que vous trouvez aussi?

Merci
Ps: excusez moi pour l'écriture...
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[Flyingsquirrel]

Salut

J'suis d'accord pour le calcul de primitive mais par contre pour l'aire je n'arrive pas trop à voir à quoi elle correspond. C'est l'aire située sous Cf et Cg ou sous Cf ou Cg ? Je penche plutôt pour la seconde possibilité mais j'apprécierais que quelqu'un confirme.

[invite9f31e17a]

Calculer l'aire A(alpha) en cm² du domaine délimité par Cf et Cg, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=alpha. alpha étant positif.
Donc l'aire entre Cf et Cg comprise entre 0 et alpha>0

[Flyingsquirrel]

Oui effectivement, j'ai lu "abscisses" au lieu de "ordonnées". Dans ce cas, c'est tout bon. (sauf le t qui reste dans le résultat final mais j'imagine que c'est une coquille )

Pour la variable, oui, tu peux la changer, elle est muette. (tu peux l'appeler comme tu veux ça ne modifiera pas le résultat de l'intégrale)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9f31e17a]

lol ok merci.
ensuite on cherche:
lim (-alpha²-4alpha-4) e^(-alpha)
alpha -> +oo

lim (-alpha²-4alpha-4)= lim -alpha²=-oo
alpha ->+oo

lim e^(-alpha)= -oo
alpha->+oo

donc lim (-alpha²-4alpha-4) e^(-alpha) + 4=+oo
alpha->+oo

3. Calculer, en cm², l'aire du domaine limité par Cf, Cg, la droite d'équation x=-2 et l'axe des ordonnées.

intégrale de -2 à 0 (g(x)-f(x)) dx = -3intégrale de-2à0 e^(-x)x² dx
Pour commencer, est-ce que vous arrivez à ça, êtes vous d'accord?
Merci

[Flyingsquirrel]

Pour la limite, celle de l'exponentielle est fausse.
Pour l'aire, je ne comprends pas comment tu passes de la première intégrale à la seconde. Tu as calculé plus haut et là on te de demande ... tu as quasiment déjà tout fait dans l'autre question.

[invite9f31e17a]

Pourquoi l'exponentielle c'est faux?

tu as raison, on pourrait utiliser la formule:
Intégrale de b à a f(t)dt = - intégrale a à b f(t) dt
Sauf qu'ici c'est -2 et on nous dit plus haut que alpha est positif.
donc ça me pose pb...
Merci encore

[invite1237a629]

Salut,

Pour la limite de l'exponentielle, c'est une définition...
En plus de cela, l'exponentielle est toujours positive, donc il est impossible qu'elle tende vers - l'infini.

Si tu veux :



Ou bien :



Or, e^x tend vers + infini quand x tend vers l'infini.

[Flyingsquirrel]

tu as raison, on pourrait utiliser la formule:
Intégrale de b à a f(t)dt = - intégrale a à b f(t) dt
Sauf qu'ici c'est -2 et on nous dit plus haut que alpha est positif.
donc ça me pose pb...

Pour l'intégrale, je ne pensais pas à ça mais plutôt à donc et comme tu as calculé une primitive de dans une question précédente il n'y a plus qu'à remplacer.

[invite9f31e17a]

Ah oui mea culpa pour l'exponentielle!! Quelle erreur stupide. :s

Ok merci Flyingsquirrel. Je trouve A(-2)= -4


Partie C (la dernière) ^^
u est la suite définie pour tout n de N* par: Un=ln [f(n)]
1. Montrer que la suite u est décroissante
J'suis pas sûr de mon coup donc je vous demande...
je fqis Un+1-Un= ln [f(n+1)]-ln [f(n)]
=ln( (n+2)²/(n+1)²) .e^-1

[Flyingsquirrel]

Je trouve A(-2)= -4

Au signe près...

je fqis Un+1-Un= ln [f(n+1)]-ln [f(n)]
=ln( (n+2)²/(n+1)²) .e^-1

C'est l'idée. (mais 1/e est dans le log )

[invite9f31e17a]

Au signe près...

Ah bon je trouve bien -4

C'est l'idée. (mais 1/e est dans le log )

oui 1/e est dans le log

J'obtiens (ln( (n+2)²/(n+1)²)) -1

[Flyingsquirrel]

Cg est au dessus de Cf et on intègre "dans le bon sens" (de -2 vers 0) donc l'aire est positive... désolé

J'obtiens ln( (n+2)²/(n+1)² ) -1

Maintenant il faut montrer que c'est toujours négatif...

[invite9f31e17a]

ah oui effectivement . merci j'avais oublié que l'aire était négative.

en ce qui concerne le logarithme,
ln (n+2)²- (n+1)²
_______________
(n+1)²

dénominateur toujours positif. Donc c'est le numérateur qui détermine le signe.
ln(n+2)² - (n+1)²..

lol oui euh... j'ai un peu du mal là