Comment approximer une fonction dérivée?

[invite0c5534f5]

Salut,

J'aimerais savoir comment font les logiciels qui, à partir d'une courbe tracent la courbe dérivée de celle-ci.

Et par exemple j'ai un tableau avec les valeurs de la position d'un objet qui tombe et sa vitesse à des instants espacés de 0.04s. La position a été obtenu à l'aide d'un film qu'on a décomposé image par image et donc j'en déduis que la vitesse a été obtenu grâce à un logiciel auquel on a d'abord fait tracer la courbe de la position en fonction du temps puis de la vitesse en fonction du temps en dérivant la courbe de la position. (cara dérivée de la position nous donne la vitesse)
Mais si moi avec le tableau j'approxime la dérivée de la position avec le formule f'(a)=(f(a+h)-f(a))/h (avec h=0.04) j'obtiens des résultats avec un écart assez important (par exemple 0.175 au lieu de 0.313).
Comment cela se fait-il que le logiciel à d'autres résultats (meilleurs?) à partir des mêmes données?

Du coup je me demande si j'aurais pas du poster en physique...

Meric pour vos réponses.
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[calculair]

J'avoue que je ne sais pas comment font les logiciels. C'est une question delicate pour les ordinateurs notamment en raison de la precision de calcul.

La derivée c'est quand l'accroissement de la variable tend vers 0. Pour l'odinateur on ne peut pas faire trop petit car la precision de calcul se dégrade donc la valeur de la dérivée.

Une solution pour minimiser l'erreur est de faire (F(x+h) -F(x) )/h et

-(F(X ) - F(X-h)) /h et
ensuite tu faits la moyenne des 2 derivées.

Maintenant il y a peut être des methodes plus astuscieuses. ???

[invitea3eb043e]

Mais si moi avec le tableau j'approxime la dérivée de la position avec le formule f'(a)=(f(a+h)-f(a))/h (avec h=0.04) j'obtiens des résultats avec un écart assez important (par exemple 0.175 au lieu de 0.313).
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Un écart pareil ce n'est pas une imprécision de calcul, c'est une boulette dans la méthode. En 0,04 seconde, la vitesse du mobile ne peut pas varier beaucoup. Faudrait donner plus de précisions.

[calculair]

Un écart pareil ce n'est pas une imprécision de calcul, c'est une boulette dans la méthode. En 0,04 seconde, la vitesse du mobile ne peut pas varier beaucoup. Faudrait donner plus de précisions.

Je ne connais pas la tête de F(X), mais ce type de calcul met la panique dans les programmes de calcul d'optimisation notamment lorsque on se trouve au niveau de l'extrémum, on a des suprises sur le coefficient directeur de la tangente. La 1° precaution à prendre est de faire le calcul en double precision.

Si c'est un problème physique, l'utilisation de coordonnées logarithmiques permet de conserver une erreur relative constante.

Maintemant il se peut qu'il y ait des techniques de calcul qui permettent de minimiser les erreurs d'approximations

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0c5534f5]

Un écart pareil ce n'est pas une imprécision de calcul, c'est une boulette dans la méthode. En 0,04 seconde, la vitesse du mobile ne peut pas varier beaucoup. Faudrait donner plus de précisions.

Ben pour t=0s j'ai x=0m, pour t=0.04s j'ai x=0.007 (et v=0.313m/s)
Donc 0.007/0.04=0.175m/s
Je vois pas où est l'erreur, donc pour moi l'imprécision viens des mesures et de l'approximation (pas de résolution pas assez petit).

[calculair]

Dans ton application, tu calcules avec ta methode la derivée au point n-1, puis au point n

Tu fais la moyenne des 2 derivéés et tu trouves une approximation de la dérivée au point n

[invite0c5534f5]

Pourquoi si je fais ceci ça me donne une approximation de la dérivée au point n et pas n-1? Ce serait pas plutôt une approximation de la dérivée au point intermdédaire du point n-1 et n ?

[invitea3eb043e]

La dérivée au point n peut être calculée comme [2 f(n) - f(n-1) - f(n+1)]/ 2h
où h est le pas.
L'avantage de cette formule par rapport à [f(n) - f(n-1)]/h est qu'elle est rigoureuse si f est une fonction parabolique du temps (ce qui est précisément le cas ici).
Il faut faire attention aux extrémités quand on programme cela.

[calculair]

La dérivée au point n peut être calculée comme [2 f(n) - f(n-1) - f(n+1)]/ 2h
où h est le pas.
L'avantage de cette formule par rapport à [f(n) - f(n-1)]/h est qu'elle est rigoureuse si f est une fonction parabolique du temps (ce qui est précisément le cas ici).
Il faut faire attention aux extrémités quand on programme cela.

Ta raison cela sera plus precis. ça revient enfait à faire la moyenne des derivées des points qui entourent le point ou on calcule la derivée.

[invite0c5534f5]

Ta raison cela sera plus precis. ça revient enfait à faire la moyenne des derivées des points qui entourent le point ou on calcule la derivée.

Je pensais aussi faire ça, avec cette méthode je trouve un résultat assez proche.
Par contre la formule de Jeanpaul me donne un résultat négatif...

[invitea3eb043e]

Ca dépend évidemment de ta convention de sens pour z.