[TS] Suites et aires

[invite3a32c143]

Bonsoir,
j'aurais besoin de votre aide sur ce sujet (voir lien ci-dessous) car je suis un peu perdue.

http://www.hiboox.com/lang-fr/image....g=2tvwpizu.jpg

Déjà, pour la question 1 de la première partie, j'ai fait :
An=(1/n)*somme(k^3/n^3)de k=0 à (n-1)
soit An=(1/n^4)*somme(k^3) de k=0 à (n-1)
mais en fait je voudrais savoir si le i qui est donné dans l'énoncé correspond bien au k ou pas ? car sinon je ne vois pas du tout ce qu'il représente.

2) Bn=1/n^4*somme(k+1)^3 de k=0 à (n-1) et ensuite je peux en déduire directement que Bn=1/n^4*somme k^3 de k=1 à n en changeant les bornes de la somme ?!!!

3) je ne vois pas comment démontrer cette formule !
pour la suite :
Bn=(n+1)²/4n²
et pour An je ne sais pas trop vu que les bornes ne sont pas les mêmes, je ne vois pas trop bien comment changer.

Merci d'avance pour votre aide.
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[invite35452583]

Il me semble que tu es surtout des problèmes avec les indices dans les sommes.
Dans une expression du type le nom de la variable n'a strictement aucune importance (on dit qu'elle est muette).
Ainsi,
Attention certaines variables ne sont pas forcément muettes, dans :
, n n'est pas muet (à remarquer que l'on ne somme pas sur n mais sur i).
Ceci pour ré^pondre à ton problème concernant la 1ère question.

Maintenant on peut faire des changements de variables. Dans on fait le changement j=i+c (il y en a des plus compliqués mais ce sont les plus courants, à remarquer que c peut être négatif).
Quand i=a, j=a+c, quand i=b j=b+c, donc on somme cette fois entre a+c et b+c. Le terme dans la somme est alors f(i)=f(j-c). On a .
Exemple :
en posant j=k+1. On a alors puisque la variable j est muette :

Avec ceci tu devrais résoudre ton problème pour la question 2.

Ça peut être utile pour le 3), on a :


Le 3) peut se montrer par récurrence (pense à "sortir" (n+1)³ de la somme)

[invite3a32c143]

ok, merci beaucoup pour cette réponse, je pense avoir compris.

Donc pour la question 3, la récurrence c'est ok et ensuite j'ai : An= (n+1)²/4n² -1/n et Bn= (n+1)²/4n²

ce qui donne (question 4) : lim(An-Bn)=0 mais pour prouver que les 2 suites sont adjacentes je dois prouver également que l'une est croissante et l'autre décroissante ou cela suffit ?

pour la question 5, A(1) correspond à la limite de An et Bn ? je trouve alors A(1)=1/4 mais je ne suis pas du tout sure. C'est cela ou non ?

Merci beaucoup !

[invite35452583]

Pour la question 5, A(1) est bien égal à 1/4.
Pour la question 4, il faut montrer la croissance de (A_n) et la décroissance (B_n). La raison est que cela fait partie de la définition. Maintenant, cette définition est choisie car elle est suffisante pour s'assurer que (A_n) et (B_n) convergent. Alors que lim(A_n-B_n)=0 n'est pas suffisant comme l'illustre le contre-exemple A_n=n B_n=n+1/n. La différence tend vers 0 mais aucune de ces suites ne converge.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3a32c143]

ok, c'est bien ce que je pensais mais je n'arrive pas trop à démontrer leur sens de variation. Pour Bn, j'ai essayé en faisant la différence B(n+1)-Bn mais je suis bloquée dés le début à :

(n+2)²/4(n+1)²-(n+1)²/4n²
et je ne vois pas trop comment arranger ça...idem pour An.

[invite35452583]

Tu ramènes au même dénominateur, tu factorises grâce à une identité remarquable et tu obtiens le signe de cette différence.
Idem pour A(n+1)-A(n).

[invite3a32c143]

Pour B(n+1)-Bn, en mettant au même dénominateur j'obtiens :

4n²(n+2)²-(n+1)²4(n+1)²
-------------------------
4n²*4(n+1)²


soit :

(4n(n+2))²-(2(n+1)(n+1))²
--------------------------
(4n(n+1))²

Puis identité remarquable a²-b²=(a+b)(a-b) :

(4n(n+2)+2(n+1)²)*(4n(n+2)-2(n+1)²)
------------------------------------
(4n(n+1))²


et là je ne vois pas trop comment simplifier...

[invite35452583]

(4n(n+2))²-(2(n+1)(n+1))²
--------------------------
(4n(n+1))²

Ton "4" est erroné là. De plus tu t'es compliqué la vie : pourquoi avoir aussi "monté" le "4" ?
Après correction tu arrives sur quelque chose de voisin de ce que tuas à la fin. Tu as un produit de deux facteurs. Celui qui est une somme le signe est évident, l'autre il suffit de développer.

[invite3a32c143]

ok, donc sans monter le 4; j'ai pour résultat final :

-(n(n+2)+(n+1)²)
________________
4(n+1)²n²

et comme n>0 on a bien B(n+1)-B(n)<0 soit Bn croissante.

Je m'attaque à An maintenant !!!

[invite3a32c143]

Pour A(n+1)-An en fait j'ai mis au même dénominateur puis j'ai tout développé et si je ne me suis pas trompée j'ai comme résultat final :

2n²-1
_________
4n²(n+1)²

donc dénominateur >0 et comme n>= 2 on a numérateur >0 donc An croissante.

[invite35452583]

et comme n>0 on a bien B(n+1)-B(n)<0 soit Bn croissante.

B(n+1)<B(n) donc (Bn) décroissante. C'est mieux quand la suite dont les termes sont plus grands est décroissante pour avoir des suites adjacentes.

Comme tu trouves (An) décroissante, tout va bien.

[invite3a32c143]

Oui Bn décroissante bien sur ! erreur de frappe ^^ !
Merci de votre aide en tout cas.
Il me reste plus que la 2ème partie mais ça devrait le faire !

[invite3a32c143]

C'est bon, 2ème partie finie sans soucis !!!