DM sur Comportement asymptotique [1S]

[invite21fd11b1]

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide pour quelques exos...

Exo 1
2) g est définie sur R par g(x)= x + 2cos (x)
a) Démontrer que pour tt réel x, g(x) > (ou égal) à x-2

Voila, je vois pas comment faire, jpense que c'est le cos qui me dérange...


Exo 2

Ptit scan du dessin: http://img153.imageshack.us/img153/1589/mathsbw7.jpg

Enoncé: ABCD est un carré du plan tel que AB = 2, I est le milieu de [AB].
M est un point variable et différent de I sur la demi droite [Iz) perpendiculaire à la droite (AB).
Les droites (MA) et (MB) coupent la droite (CD) en P et Q respectivement.
On pose IM= x
f est la fonction qui à x associe l'aire du triangle MPQ

2) a) Exprimer f (x) en fonction de x

==> Jpensais pour cela faire une somme des différentes aires qui constituent la figure: celle du carré, celle du triangle AMB et celles des triangles APD et BCQ. Mais j'arrive pas à trouver l'aire des triangles APD et BCQ! (il me manque la hauteur...)

Voili voilou, si on peut m'aider, merci bcp.
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[invite1237a629]

Plop !

a) Démontrer que pour tt réel x, g(x) > (ou égal) à x-2

Ben tout simplement, écris x+2cos(x).

Tu sais que cos(x) est toujours supérieur à -1 (et inférieur à 1).
cos(x)>-1
Pars de cos(x) en faisant des opération élémentaires pour arriver à x+2cos(x), du style multiplier par une constante, puis ajouter un nombre des deux côtés de l'inégalité
Donc x+2cos(x) sera supérieur à... ?

[invite1237a629]

Ah, pour le deuxième exercice, vu que c'est marqué 2), pourrais-tu faire un résumé des premières questions ?

[invite21fd11b1]

ok jvais voir ca.

Pour le deuxieme la premiere question était quel est l'ensemble de définition de f ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Pour le deuxièlme :
aire d'un triangle= (base x hauteur)/2
En prenant [PQ] comme base :
longueur de la base : la position des points M, P, Q, A et B ne te rappelle-t-il pas une certaine configuration ?
longueur de la hauteur : appelle J le point d'intersection de [Iz) et de [CD] tu devrais alors pouvoir exprimer cette hauteur.

[invite21fd11b1]

donc je peux appliquer thalès:

MA/MP = MB/MQ = AB/PQ

AB = 2
ac pythagore, MB = MA= racine carré de x² +1

Mais après je fais comment pour exprimer MP ou MQ? Jpourrais réappliquer pyhtagore ac le triangle MPJ mais y'aurait que des inconnus..

[invite21fd11b1]

un ptit up...

[invite21fd11b1]

Sinon, pour la suite de l'exo 1, je voudrais savoir si c'est juste ce que j'ai trouvé...

2) b) A est un réel positif donné aussi grand que l'on veut. Comment suffit il de choisir x pour que g(x) > ou égal à A?
c) En déduire la limite de g en + l'infini
d) Démontrer que la fonction g n'est pas croissante sur R.


==> b) Pr tt réel, g(x) > opu égal à x-2. Il faut dc que x-2 soit > ou égal à A d'où x > ou égal à A-2

c) La limite de g(x) en + l'infini est plus l'infini, car plus A est grand, plus x est grand.

d) g'(x) = 1 + 2 * -sin x = 1- 2 sin x
Je suis pas sure que la dérivée soit bonne^^

sin x < 1
-2 sin x < -2
1-2sin x < -1

dc g'(x) est négatif, d'ou g(x) décroissant sur R

[invite21fd11b1]

re up...
J'ai trouvé la hauteur du triangle de l'exo 2, mais la base bloque tjrs (c'est bien thalès qu'il faut appliquer?)

[invite21fd11b1]

J'ai réussi a trouver pour l'aire du triangle, mais si qqn pourrait m'indiquer si mes réponses pr l'exo 1 st justes (voire 2 post avt), sa serait sympa

[invite21fd11b1]

p'tite correction de mes réponses pr la d)

Sinon, pour la suite de l'exo 1, je voudrais savoir si c'est juste ce que j'ai trouvé...

2) b) A est un réel positif donné aussi grand que l'on veut. Comment suffit il de choisir x pour que g(x) > ou égal à A?
c) En déduire la limite de g en + l'infini
d) Démontrer que la fonction g n'est pas croissante sur R.


==> b) Pr tt réel, g(x) > opu égal à x-2. Il faut dc que x-2 soit > ou égal à A d'où x > ou égal à A-2

c) La limite de g(x) en + l'infini est plus l'infini, car plus A est grand, plus x est grand.

d) g'(x) = 1 + 2 * -sin x = 1- 2 sin x
Je suis pas sure que la dérivée soit bonne^^

sin x >-1
-2 sin (x) < 2
1-2sin (x) < 1

1-2sin (x) =0
-2sin (x) = -1
sin (x) = 1/2
x= 30

==> g(x) n'est pas croissante sur R: elle est décroissante sur ]moins l'infini;30] et croissante sur [30; plus l(infini [

Est correct?

[invite3df1c846]

==> b) Pr tt réel, g(x) > opu égal à x-2. Il faut dc que x-2 soit > ou égal à A d'où x > ou égal à A-2

c) La limite de g(x) en + l'infini est plus l'infini, car plus A est grand, plus x est grand.

Pour cette partie le raisonnement général paraît bon !!

d) g'(x) = 1 + 2 * -sin x = 1- 2 sin x
Je suis pas sure que la dérivée soit bonne^^

Pourtant elle l'est ^^

sin x >-1
-2 sin (x) < 2
1-2sin (x) < 1

C'est juste mais ça ne prouve rien. En fait une fonction n'est pas croissante sur un intervalle lorsque sa dérivée n'est pas supérieure à 0 donc lorsque sa dérivée est inférieure ou égale à 0 !!! Donc pour il suffit juste d'écrire ce que tu as écrit là :

1-2sin (x) =0

En remplaçant le = par inférieur ou égal !!

-2sin (x) = -1
sin (x) = 1/2
x= 30

C'est bon jusqu'à la dernière ligne (si tu remplaces par inférieur ou égal au début et que tu ne te trompes pas de signes en calculant ensuite).
Pour ce qui est de la dernière ligne, c'est juste pour un angle en ° mais il faut utiliser tes notations en radian (trigo oblige ^^).
Et dans ce cas, la valeur remarquable d'un angle pour lequel son sinus vaut 1/2 est pi/4 !!!
Mais après comme ta fonction sinus est une fonction périodique (Tous les 2pi tu repasses par là même valeur, il faut que tu écrives sin(x) .... pi/4 + 2kpi où k est un entier qui peut prendre n'importe quelle valeur !!!

[invite21fd11b1]

Euh alors j'ai pas tt capté^^

dc 1-2 sin (x) < ou égal à 0
-2 sin (x) < ou égal à -1
sin (x) > ou égal à 1/2
x > ou égal à Pi/4

Mais ca, ca ne me dit pas si c'est croissant ou décroissant si?

[invite3df1c846]

Et bien en fait si presque !!

Ce sont des notions à bien assimiler pour ta continuation :

Lorsque ta dérivée est inférieure à 0, ta fonction est décroissante.
Lorsque ta dérivée est supérieure à 0, ta fonction est croissante.

Ici tu as posé que g'(x) inférieure ou égale à 0. En isolant ta variable (x), tu auras donc les valeurs de x pour lesquelles ta dérivée g'(x) est inférieure ou égale à 0, et donc où ta fonction g(x) est décroissante.

Par contre attention pour ta dernière ligne, il faut écrire :



où le k indique la périodicité de ta fonction (regarde ton cercle trigo, à chaque fois que tu augmente de , tu repasses au même endroit sur ton cercle et donc à une même valeur de ton sinus!!


Tiens d'ailleurs je viens de m'apercevoir que j'ai fait un oubli, il y a deux solutions à la dernière ligne que tu avais écrites le post précédent, qui étaient
celle que je t'ai dit et .
Je n'ai pas tellement le temps de vraiment t'expliquer mais en regardant le cercle trigo, tu peux t'apercevoir que ta dérivée est inférieure à 0 (et donc ta fonction décroissante) lorsque

[invite21fd11b1]

ok, dc je peux dire à partir que ca que comme g'(x) est inférieure ou égale à 0 pour x appartient à [ pi/4+2k pi ; 3pi/4+2k pi]
donc g(x) est décroissante sur cette intervalle, d'ou g n'est pas croissante sur R, cqfd ?