suites et linéarité par le carré...
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suites et linéarité par le carré...



  1. #1
    ilelogique

    suites et linéarité par le carré...


    ------

    Bonjour, savez-vous comment montrer simplement et joliement que toute fonction de N vers N telle que : f(x²+y²)=f(x)² + f(y)² et avec f(1)=1 est l'identité ?
    merci

    -----
    S'il n'y avait pas de vérité absolue, "toute vérité est relative" en serait une

  2. #2
    invite0e5404e0

    Re : suites et linéarité par le carré...

    Bonjour !
    Si on calcule f(02+12) on obtient f(0)=0.
    Ensuite on trouve f(0+x2)=f(x)2, ce qui correspond à à résoudre y2=x2. On obtient donc x=y ou x=-y, or f(1)=1.
    Ainsi f est l'identité.
    Est-ce suffisamment joli et surtout juste ? C'est une autre question...
    Bonne journée.

  3. #3
    ilelogique

    Re : suites et linéarité par le carré...

    [QUOTE=Обуза;1684871]
    Ensuite on trouve f(0+x2)=f(x)2, ce qui correspond à à résoudre y2=x2.

    Non je ne crois pas, cela implique juste que : pour tout x dans N : f(x²)=f(x)², aucun rapport avec y²=x²
    S'il n'y avait pas de vérité absolue, "toute vérité est relative" en serait une

  4. #4
    invite5c80e8b0

    Re : suites et linéarité par le carré...

    Je ne suis pas entierement sur de ma démonstration, elle me parait a première vue correcte ...

    On a

    Si On suppose ( bien qu'elle soit soit solution ) on a
    ce qui est absurde ! ( f appartient a ! )
    Donc f(0) = 0 ;

    On en déduit tout que

    Nous allons dans un maintenant travailler dans .

    En reprenant la dernière expression , et vu que l'on manipule dorénavant les réels, l'on obtient

    L'on trouve trivialement que .

    Si de telles applications existent alors, elles vérifient la relation, et ce pour tout x dans ;




    L'ensemble des solutions dans sont des fonctions sous la forme où A, B C D sont des réèls, et w une fonction de période 1.
    Dans les solutions sont donc du type

    or d'ou B = 0
    d'où A = 1

    L'ensemble des solutions est donc la fonction trivialle f(x) = 0, où g(x) = x ;

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite5c80e8b0

    Re : suites et linéarité par le carré...

    Une petite erreur s'est glissée en fin de parcours,

    Dans les solutions sont donc du type

    or d'ou B = -w(0), et donc pour tout n, on a B = -w(n) ( car w est de période 1, on peut donc écrire f comme

    d'où A = 1

    L'ensemble des solutions est donc la fonction trivialle f(x) = 0, où g(x) = x ;

  7. #6
    invite35452583

    Re : suites et linéarité par le carré...

    Citation Envoyé par TersaKen Voir le message
    Nous allons dans un maintenant travailler dans .

    En reprenant la dernière expression , et vu que l'on manipule dorénavant les réels, l'on obtient

    ...
    L'ensemble des solutions est donc la fonction trivialle f(x) = 0, où g(x) = x ;
    Non ce que tu as montré est que la seule fonction de R->R vérifiant sur N f(x²+y²)=f(x)²+f(y)² est l'identité. Ou autrement dit si une fonction f : N->N vérifie f(x²+y²)=f(x)²+f(y)² pour tous entiers naturels x,y alors on ne peut pas l'étendre à R en une fonction f' : R->R vérifiant cette même relation.
    Pour la rendre plus complète il faudrait montrer qu'une fonction de N dans N vérifiant l'égalité se prolonge à R en une fonction vérifiant cette même propriété.

  8. #7
    invite35452583

    Re : suites et linéarité par le carré...

    On a f(4)=f(2²)=f(2)²=2²=4
    f(5)=f(2²+1²)=f(2)²+1²=5
    f(3²+4²)=f(3)²+f(4)²=f(3)²+4² et f(3²+4²)=f(25)=f(5²)=f(5)²=5² donc f(3)²=9 et f(3)=3.
    Reste à trouver une méthode systématique...

  9. #8
    invite35452583

    Re : suites et linéarité par le carré...

    On continue pour les petits entiers :
    f(9)=f(3²)=f(3)²=3²=9
    f(8)=f(2²+2²)=f(2)²+f(2)²=2²+2 ²=8
    f(10)=f(3²+1²)=f(3)²+f(1)²=3²+ 1²=10
    10²=f(10)²=f(10²)=f(6²+8²)=f(6 )²+f(8)²=f(6)²+8²
    Donc f(6)²=10²-8²=6² f(6)=6 (on est dans N).

    f(7) :
    f(25)=f(5²)=f(5)²=5²=25
    25²=f(25)²=f(25²)=f(7²+24²)=f( 7)²+f(24)²
    Donc {f(7),f(24)}={0,25} ou {7,24} (ce sont les décompositions de 25² en sommes de deux carrés parfaits).
    Or, 24²+32²=40² f(24)²=f(40)²-f(32)²
    40=6²+2² donc f(40)=f(6)²+f(2)²=6²+2²=40
    32=4²+4² f(32)=f(4)²+f(4)²=4²+4²=32
    Donc f(24)²=40²-32²=24² et f(24)=24
    Ainsi {f(7),f(24)}={7,24} avec f(24)=24 donc f(7)=7.

    f(2n)=2n pour tout entier naturel n :
    par récurrence forte sur n
    c'est vrai pour n=0 (et n=1)
    Supposons que ce soit vrai pour tout m<=n
    cas n+1 pair
    Puisque n>=1 (n+1)/2<=n on peut appliquer l'hypothèse de récurrence, on a :

    cas n+1 impair (donc n pair)
    On peut appliquer l'hypothèse de récurrence à 2n/2 :

    Dans les deux cas on a bien f(2n+1)=2n+1

    Je ne pense pas qu'il y ait une preuve simple (je vois une possibilité mais avec des théorèmes d'algèbre non triviaux).

  10. #9
    invite5c80e8b0

    Re : suites et linéarité par le carré...

    Si cette application est unique dans R et qu'elle fonctionne egalement dans N, alors elle est aussi unique dans N. ( Car N est inclu dans R ).

  11. #10
    invite5c80e8b0

    Re : suites et linéarité par le carré...

    C'est vraiment embêtant que l'on ne puisse plus editer au bout de 5 mins.
    Bref, en revenant sur ce que j'ai écris on a


    On a

    Si On suppose ( bien qu'elle soit soit solution ) on a
    ce qui est absurde ! ( f appartient a ! )
    Donc f(0) = 0 ;

    On en déduit tout que

    Nous allons dans un maintenant travailler dans .

    En reprenant la dernière expression , et vu que l'on manipule dorénavant les réels, l'on obtient

    L'on trouve trivialement que .

    Si de telles applications existent alors, elles vérifient la relation, et ce pour tout x dans ;




    Les solutions dans sont de la forme f(x) = Ax+B, où A et B sont des réels.

    f(0) = 0, B = 1 et f(x+1) - f(x) = 1, A = 1
    L'unique solution dans R ( excepté f(0) = 0 ) est f(x) = x ;
    Si cette application est unique dans R et qu'elle fonctionne également dans N, alors elle est aussi unique dans N. ( Car N est inclu dans R ).
    Or c'est le cas, donc f(x) = x.

  12. #11
    invite5c80e8b0

    Re : suites et linéarité par le carré...

    Non, en fait, c'est une bétise ( je viens d'y repenser en mangeant )

    En fait, il faudrait revenir a ma premiere version de la démonstration ( j'ai un peu la flemme d'écrire en latex sur ce coup, c'est assez long )
    En considérant que l'on ait trouvé dans R que la seule fonction est l'identité ;
    On avait donc dans tout entier n d'une fonction R --> R

    Mais que l'on peut réécrire sous la forme initiale, c'est a dire ( rien ne nous l'interdit, à première vue )
    Notre unique fonction R --> R se " métamorphose " en fonction N --> N qui est unique.
    Et donc ( je ne sais pas s'il s'agit d'un donc de trop ) on retrouve f(x) = x pour une fonction N -> N ;
    Bon il y a peut-être une erreur de raisonnement ...

  13. #12
    invite35452583

    Re : suites et linéarité par le carré...

    Citation Envoyé par TersaKen Voir le message
    Bon il y a peut-être une erreur de raisonnement ...
    Oui il y a une erreur de raisonnement !
    Mais elle n'est ni dans :
    g : R->R vérifiant g(1)=1 et g(x²+y²)=g(x)²+g(y)² pour tout (x,y)=> g=idR
    ni dans :
    g=idR => sa restriction f à N vérifie f=idN

    Elle est dans la supposition que toute application f : N->N vérifiant les deux propriétés f(1)=1 et f(x²+y²)=f(x)²+f(y)² est la restriction d'une application g vérifiant ces mêmes propriétés.
    Ta démonstration ne montre donc seulement que la seule application f s'étendant à R est l'identité. Il manque la partie la plus difficile (et de très loin) à savoir que toute application f définie sur N vérifiant les deux propriétés s'étend en une application g définie sur R vérifiant les deux propriétés.

  14. #13
    invite2220c077

    Re : suites et linéarité par le carré...

    Salut,

    Premièrement, nous allons montrer que pour tout entier naturel , il existe des entiers naturels , et , tous strictement inférieur à , vérifiant

    En effet,
    Lorsque prend les valeurs 0, 1, 2 et 3, décrit tous les entiers naturels, ce qui prouve notre lemme.

    Maintenant, nous allons montrer par une récurrence forte que pour tout entier naturel , .
    Le cas est trivial. Supposons que nous avons montrer pour tout entier naturel , . D'après notre lemme, nous avons :



    par hypothèse de récurrence. On en déduit alors , comme f est définie sur N, pour tout

  15. #14
    invite2220c077

    Re : suites et linéarité par le carré...

    Reste à montrer l'unicité ...

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