[TS+] Intégrales sympas

[God's Breath]

Si c'est le x, je l'ai, sinon...

Si tu arrives à calculer , tu ne dois plus être loin de la conjecture de Goldbach.
-----

[inviteec581d0f]

=)

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donc la primitive doit être en arctan(u) soit arctan(sin(x))

j'ai crié eurêka en la trouvant c'est trop amusant

[Flyingsquirrel]

Bon j'ai bien mis entre 5 et 10 min, avec un crayon cette fois, mais ce n'est pas si dur que ça :



Good luck

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Le premier terme donne , pour trouver le second on intègre par parties. (on intègre la fraction et on dérive )


d'où

[inviteec581d0f]

De même, mais faut que j'arrête FS pour ajourd'hui parceque j'ai DS demain sur les suites et les probas (j'aime pas les probas.....), donc j'arrête de jouer avec vous pour aujourd'hui.....

Merci en tout cas, je regarderai de plus près ces deux nouvelles galères

+++

Bon courage pour ton DS

[invite71a2f53b]

Si tu arrives à calculer , tu ne dois plus être loin de la conjecture de Goldbach.

pourrais tu stp m'expliquer ou est le lien avec la conjecture de Goldbach? tu le mentionne sur plusieurs topic sur des problèmes de primitives, mais je ne vois jamais le rapport...

EDIT : pour ceux que ça intéresse, http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Goldbach

[invitec053041c]

Je vous ai concocté un exercice très classique, régulièrement vu en sup et qui ne demande que des connaissances de Terminale S (sauf s'il y a une *,comme la dernière partie, auquel cas je donne des indications).
Je conseille fortement aux futurs taupins de s'y attarder un peu.


Introduction aux intégrales de Wallis:

On pose pour tout entier n positif:




1) Donner les valeurs de W0,W1,W2.

2) (*) Montrer que Wn=Vn pour tout n.

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On pourra faire intervenir un changement de variable x=pi/2-t

3) Montrer que la suite (Wn) est constituée de termes positifs.

4) Montrer que la suite (Wn) est décroissante.

5) En déduire que (Wn) converge. Conjecturer la limite.

Une étude plus poussée permet de démontrer que (Wn) tend vers 0.

6) Montrer pour tout n>=2 la relation:

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On poura partir de l'expression de Wn et intégrer par partie judicieusement. Si vraiment ça va mal:

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Ecrire sin^n(t)=sin(t)/sin^(n-1)t

.



7) (presque *) On pose (le produit des nombres impairs de 1 à 2n-1).

Vérifier que

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On pourra multiplier Pn par le produit des nombres pairs eu numérateur et dénominateur.

8) Vérifier (en utilisant 6), que pour tout p:



En déduire (grâce au 7) que:




Par le même procédé, on obtient:





9) a)
Pourquoi a-t-on pour tout n ?

b) En déduire, grâce à la relation 6 notemment que pour tout n on a:



c) En déduire la limite de (W(n+1))/(Wn) lorsque n tend vers l'infini.


Cette partie est (*) mais avec aide:

définition: Pour 2 suites (Un) et (Vn), on note Un~Vn si Un/Vn ->1 lorsque n tend vers l'infini.
On a en particulier la propriété:
Si Un~Vn et Wn~Zn, alors Un.Wn~Vn.Zn

10) a) En utilisant 8), montrer que
b) Déduire que ~

11) Sachant que W(2p+1)~W(2p) (question 9), on a donc W(2p)W(2p+1)~W(2p)².

Déduire (sans trop justifier) du 10 que pour tout p, on a :
~


On a ainsi montré que pour tout n:

~


On sait par diverses méthodes qu'il existe une constante k telle que:

~

L'étude des intégrales de Wallis amène en fait à trouver que
Et un tel équivalent de n! s'appelle "formule de Stirling"



J'espère vous avoir intéressés .

[invitec053041c]

@ Ledescat, c'est le x ou le sin qui est au carré?

C'est bien-sûr le sin(x) qui est au carré, sans ça je ne l'aurais pas mis ici (voir intervention de God's Breath ).

Bien vu Gaara, bon coup d'oeil .

[God's Breath]

pourrais tu stp m'expliquer ou est le lien avec la conjecture de Goldbach? tu le mentionne sur plusieurs topic sur des problèmes de primitives, mais je ne vois jamais le rapport...

Tout simplement : parvenir à calculer ces primitives dans les conditions imposées, c'est-à-dire avec les fonctions usuelles, revient à montrer une contradiction dans la théorie des corps différentiels. Les mathématiques ne sont alors pas consistantes. Toutes les propositions sont alors simultanément vraies et fausses. Et parmi elles, bien entendu, celles dont le statut est actuellement inconnu...

[inviteec581d0f]

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On rassemble le tout et on trouve a = -1 et b = 2

donc





En intégrant on obtiens,

+ l'intégrale de que je pinaille à trouver xD

T'as fais ça en 10 minutes.. bravo

[invitec053041c]

L'étude des intégrales de Wallis amène en fait à trouver que

Il fallait lire racine(2pi).

[invite71a2f53b]

Tout simplement : parvenir à calculer ces primitives dans les conditions imposées, c'est-à-dire avec les fonctions usuelles, revient à montrer une contradiction dans la théorie des corps différentiels. Les mathématiques ne sont alors pas consistantes. Toutes les propositions sont alors simultanément vraies et fausses. Et parmi elles, bien entendu, celles dont le statut est actuellement inconnu...

merci God's Breath, j'aurai pu chercher le rapport encore longtemps...
disons que ta critique sur la primitive impossible a exprimer a partir des fonction usuelle aurait pu etre plus claire... là, c'est pas vraiment accessible à n'importe qui...

[GalaxieA440]

Merci Ledescat pour l'intro aux intégrales de Wallis, je les ai aussi sur un cours de calcul intégral, mais je m'y suis pas encore mis, j'attend cet été (et vous inquiétez pas, je prendrai juste une dizaine d'heures de cours de maths )

+++

[inviteec581d0f]

Ledescat, ton exercice est particulièrement difficile lol ^^ je suis bloqué à la 6 >_< je ne vois pas comment faire

de l'aide stp !! =)

[inviteec581d0f]

Je peux admettre le résultat ??

(enfin ça ne sera pas utile si j'admets >_<)

[invitec053041c]

C'est déjà bien d'être arrivé à la 6 !

As-tu regardé les 2 aides ?

(c'est l'un des résultats les plus importants à montrer, donc n'admets pas celui là ).

[inviteec581d0f]

C'est déjà bien d'être arrivé à la 6 !

As-tu regardé les 2 aides ?

(c'est l'un des résultats les plus importants à montrer, donc n'admets pas celui là ).

xD !! Oui j'ai regardé les deux aides et j'étais en train de les utiliser justement mais moi ma première intuition était de faire une récurrence, bon l'initialisation s'est faite rapidement mais pour l'hérédité je ne vois pas par où commencer j'ai noirci 3 feuilles avec de l'IPP

[invitec053041c]

Non évite de le faire par récurrence, ça se fait directement.

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tu pars de :



et u'=sin(t), v= le reste .

et tu IPP, tu verras des choses apparaître..

[inviteec581d0f]

Merci Ledescat, c'était évident, fallait utiliser la 2

Je continue ça avant de dormir =)

[inviteec581d0f]

J'ai rien dit

[Flyingsquirrel]

Je propose . (faisable avec les connaissances de Terminale S)

Indication :

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Exprimer en fonction de de et de

[inviteec581d0f]

Parfait le coup de :

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[inviteec581d0f]

Je propose .

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(x positif)

la primitive est donc x²/2 mais comme x positif, la primitive doit être :

c'est bon ?

[invitec053041c]

Parfait le coup de :

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Voilà c'était bien comme ça.. .

Sinon pour obtenir une primitive F de x->|x| sur IR, il faut qu'elle soit continue donc:

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On est obligés de définir F par morceaux (en fait, x->|x| est aussi une fonction définie par morceaux).

On prend donc:
F(t)=-t²/2+c pour t<=0
F(t)=t²/2+c pour t>0.

On peut résumer ça en écrivant:



Qui ressemble à une fausse fonction cube .

[inviteec581d0f]

=)

Je ne te cache pas que là pour la 7, je ne vois pas par où commencer. Je sais que n! = 1 x 2 x .... x (n-1) x n

donc (2n)! = 2 x 4 x ... x (2n-2) x 2n ??

[invitec053041c]

=)

Je ne te cache pas que là pour la 7, je ne vois pas par où commencer. Je sais que n! = 1 x 2 x .... x (n-1) x n

donc (2n)! = 2 x 4 x ... x (2n-2) x 2n ??

Ca va pas ? , c'est simplement:

(2n)!=1x2x...x(2n-1)x(2n)

[inviteec581d0f]

Ca va pas ? , c'est simplement:

(2n)!=1x2x...x(2n-1)x(2n)

D'accord et merci, j'avais un immense doute ^^

[Flyingsquirrel]

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(x positif)

la primitive est donc x²/2 mais comme x positif, la primitive doit être :

c'est bon ?

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Je veux une primitive pour tout , pas seulement pour . (et puis re-)

Indication :

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Écrire et faire une intégration par parties.

[inviteec581d0f]

D'accord Flyingsquirrel ^^ je vais tenter de rédiger cela proprement =) Mais une intégration par parties comme ça ?? il n'y a pas les bornes o_O oh! je fais comment ?

Ledescat, je suis à la 8

[invitec053041c]

Ah d'ailleurs pour |x|:

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, on peut écrire la primitive:



(implicitement définie par morceaux).

[inviteec581d0f]

Bon la 8 ça va,

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