Bonjour à tous !
Je viens vous demander un peu d'aide car j'ai un DM à rendre pour demain et je voudrais voir si mes raisonnements sont justes. Pouvez-vous me corriger S'il-Vous-Plait ?
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Voici l'énoncé :
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,I,J [vecteurs]), soit le point A0(10;0). Soit A1 le point tel que le triangle OA0A1 soit rectangle en A1 et que (OA0; OA1 [vecteur]) = pi/6. On construit les points A2, A3,...An tels que pour tout entier naturel n, le triangle OAnAn+1 soit rectangle en An+1 et que (OAn,OAn+1) = pi/6.
Pour tout entier naturel n, soit an=OAn et bn=AnAn+1.
1. Faire la figure. Calculer a1 et b0.
2. Soit un entier naturel n. Calculer an+1/an. En déduire que (an) est une suite géométrique. Quelle est l'expression de an en fonction de n ?
3. Déterminer l'expression de bn en fonction de n. Quelle est la nature de la suite bn ?
4. Soit Ln la longueur de la "spirale" A0A1A2...An. Trouver l'expression de Ln en fonction de n.
5. Etiduer la lmite de la suite (an) puis celle de (Ln) quand n tend vers +l'infini.
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Voici mes réponces :
1. (c'est bon pour la figure)
On sait que cos(OA0,OA1) = a1/a0 or on sait que cos(OA0,OA1) = pi/6 ainsi, on a :
cos pi/6 = a1/a[ind]0
cos pi/6 = a1/10
a1= cos pi/6*10
a1= (racine de 3)*10 /2
a1= 5*(racine de 3)
On sait que sin(OA0,OA1) = b0/a0, ainsi on a :
sin pi/6 = b0/a[ind]0
sin pi/6 = b0/10
b0= sin pi/6 *10
b0= 1/2*10=5
2. an+1/an = (cos pi/6 * an) / an = cos pi/6 = (racine de 3)/2
Donc (an) est une suite géométrique de raison (racine de 3)/2.
an = a0*rn = 10* ((racine de3)/2)n.
3. On sait que sin(OA0,OA1) = bn/an donc on a :
bn = 10 * ((racine de3)/2)n * sin pi/6
bn = 10 * ((racine de3)/2)n * 1/2
bn = 5 * ((racine de3)/2)n
bn est du type bn=b0*rn avec b0=5 et r= (racine de 3)/2.
4. Ln = (n+1)* (b0+bn) /2
Ln = (n+1)* (5+5* (racine de3)/2n) /2
5. Quand n tend vers + l'infini :
lim (an) = lim [10*(racinede3/2)n]
On sait que an = 10* (racinede3/2)n avec n un entier naturel.
lim (racinede3/2)n = 0 car 0< (racine de3)/2 < 1.
Donc, on a:
lim (an) = 0.
Quand n tend vers + l'infini :
lim (Ln = lim [(n+1) * (5+5*(racinede3/2)n)/2]
-lim(n+1) = +l'infini
-lim(racinede3/2)n)=0 car 0< racinede3/2<1.
donc, on a :
lim [(5+5*(racinede3/2)n)/2] = 5/2.
Ainsi, on a : lim (Ln) = +l'infini.
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Voilàààààà!
Je remercie d'avance tous ceux qui auront eu la patience de tout lire ^^.
Merci à tous pour vos réponse et votre aide.
Bonne fin d'après-midi
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