limite avec trigonométrie

[invite31253240]

Bonjour,
Je coince sur une limite :

que j'ai transformé en :

puis en :

Mais je ne parviens pas à lever l'indétermination. Pouvez vous m'aider svp ?
-----

[inviteec581d0f]

Salut,

la limite en quelle valeur ??

0 je suppose non ?

[invite31253240]

Ah ba oui je suis con moi.
Oui, limite en 0.

[invite3a7286a1]

Comment tu fais déja ta première simplification?? Parce qu'il me semble que c'est faux....

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Salut !

Bonjour,
Je coince sur une limite :
(...)
Mais je ne parviens pas à lever l'indétermination. Pouvez vous m'aider svp ?

On peut se débarraser de l'indétermination en jouant avec les taux d'accroissement du sinus et de la tangente en 0 : On sait que

• 
  
• 

On fait apparaître ces quotients dans la fonction dont on cherche la limite en 0 : (on multiplie tous les termes et par ce qui ne modifie pas )



On arrange un peu l'expression de la fraction :



À partir d'ici il est possible de conclure en utilisant les limites données plus haut.

[invitea250c65c]

Bonsoir,

Une solution serait de tout exprimer en fonction des "x/2", tant qu'a faire en ne gardant que du cos(x/2) et sin(x/2).
Pour tout (puisque l'on s'interesse à la limite en 0 et que la fonction n'est pas définie en 0), on a :

.
Pour y voir plus clair, posons (quand x tend vers 0, X également). Notre fonction devient . On cherche donc la limite de cette fonction en 0. En factorisant puis en simplifiant par sin(X), on obtient : . Connaissant la limite de X/sin(X) en 0 (=1), le numérateur tend donc vers -358 et le dénominateur vers 0 mais par valeurs toujours positives.
Conclusion : la limite à gauche=limite à droite = donc la limite existe et vaut . J'ai vérifié à l'aide d'un graphique et ça correspond.

Edit : grillé, comme ca t'as deux méthodes pour les prix d'une .

[inviteec581d0f]

lol il n'y a pas de solution plus "élégante" ?

[invite5a251c63]

Bizarre Bizarre ...

Tu ne chercherais pas plutot cette limite ci :



Comme si tu avais oublié de convertir tes angles en radian ?

Enfin, c'est peut être moi qui me trompe.

[invite31253240]

Je suis désolé de vous avoir encore mis dans l'erreur, mais j'ai oublié de préciser que je travaillais en … degrés. Or en degrés on retombe, même avec vos solutions, sur 0/0.

->Electrofred, tu t'es trompé :

. On cherche donc la limite de cette fonction en 0. En factorisant puis en simplifiant par sin(X), on obtient : .

Tu as oublié :

-> ALEX15000 non, il n'y a pas d'erreur.

Donc le mystère reste entier !!

[Flyingsquirrel]

lol il n'y a pas de solution plus "élégante" ?

Peut-être, mais il faut savoir que pour . On peut alors conclure par comparaison :

Pour on a, d'après l'inégalité précédente, donc .

• En : L'inégalité précédente est valable et comme et , le membre de droite de l'inégalité tend vers . Par comparaison, tend aussi vers .
  
• En : Dans ce cas, l'inégalité n'est pas vraie mais étant paire, elle tend vers en puisque .

Intuitivement, l'inégalité pour vient du fait que la courbe du sinus est au dessus du segment dont les extrémités sont l'origine du répère et le point . (sur un dessin cela se voit très facilement) C'est de là que vient le qui est la pente du segment : .

Je suis désolé de vous avoir encore mis dans l'erreur, mais j'ai oublié de préciser que je travaillais en … degrés. Or en degrés on retombe, même avec vos solutions, sur 0/0.

Le fait que tu travailles avec des angles exprimés en degrés ne change quasiment rien aux démonstrations : il suffit juste de remplacer par dans le message d'Electrofred. Avec les deux solutions données, il est toujours possible de conclure sur la valeur de la limite.

[inviteec581d0f]

Joli Flyingsquirrel !!

moi je vais encore chercher un truc ^^

[invite31253240]

Le fait que tu travailles avec des angles exprimés en degrés ne change quasiment rien aux démonstrations : il suffit juste de remplacer par dans le message d'Electrofred. Avec les deux solutions données, il est toujours possible de conclure sur la valeur de la limite.

Non, au contraire, ça change tout car du coup et non pas 1 !! Et il en est de même pour.

Comme on se mélange un peu les crayons en degrés, je vais vous donner l'équation en radians (elle ne correspond pas tout à fait à celle de départ car je m'étais trompé, mais peu importe elle ressemble beaucoup). La voici :
, dont il faut chercher la limite en 0.

[Flyingsquirrel]

Non, au contraire, ça change tout car du coup et non pas 1 !! Et il en est de même pour.

Au temps pour moi.

Comme on se mélange un peu les crayons en degrés, je vais vous donner l'équation en radians (elle ne correspond pas tout à fait à celle de départ car je m'étais trompé, mais peu importe elle ressemble beaucoup). La voici :
, dont il faut chercher la limite en 0.

Même si elle "ressemble beaucoup" à la première fonction que tu as donnée, je ne vois pas comment trouver la limite en utilisant uniquement des outils mathématiques de Terminale.

[invite8d322e93]

C'est un peu bizarre ces 360 et 180, j'aurais plutôt vu des

[invite31253240]

-> QuentinLAT : en fait je la tire d'un exo de géométrie qui était en degrés, ce qui explique les 360 et 180.

-> Flyingsquirrel : C'est fou il doit bien y voir un moyen de s'en sortir…