logarithme népérien : auriez-vous quelques éclaircicements ?

[minibus]

Hello,

Allant en Ts, je voulais jeter un œil en avance sur le programme. J'ai pu trouver pas mal d'informations sur le net, mais pour le logarithme népérien quelque chose me chiffonne :

f est une bijonction de E dans F si f est une application telle que tout élément de F a un unique antécédant par f.
On note f-1 l'application de F dans E qui a un élément de f associe son antécedant par f.
On nomme f-1 la bijection réciproque de f (ou application réciproque).

Or nous savons que:
Exponentielle est strictement croissante et continue de R dans ]0;+infini[



Tout élement de ]0;+infini[ a un unique antécedant dans R
Donc ex est une bijection de R dans ]0;+infini[

J'ai quelques difficultés à saisir cette démonstration (et notamment en ce qui concerne le vocabulaire employé : application et bijection), qui débouche sur la définition :

Définition:
La fonction logarithme neperien est la bijection reciproque de la fonction exponentielle. On la note Ln

Ici je comprends la notion de réciprocité, d'autant mieux que j'ai pu voir des exemples clairs, mais "bijection" me pose toujours un problème... Idem pour ce qui est de "visualiser" la représentation graphique de la fonction.

Vous l'aurez compris, si quelqu'un pouvait m'apporter un peu de lumière (avant mon professeur... ), je lui en serai très reconnaissant...
Merci par avance !
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[invite951d3e73]

Bien, commençons par l'exponentielle :

la fonction exponentielle est dite "bijection de dans ", car , et que il n'y a qu'une seule solution à l'équation

De façon plus intuitive cela veut dire que l'exponentielle "transforme tous les réels" en des réels strictement positifs.

Pour ce qui est alors de visualiser, ça explique que la fonction exponentielle est strictement positive, et strictement monotone sur .

Ensuite pour "bijection reciproque" :

Dire que la fonction logarithme népérien est la bijection réciproque de la fonction exponentielle, cela signifie que la fonction ln(x) associe l'unique antécédent de y par la fonction exponentielle.

En fait, de manière plus intuitive, la fonction logarithme népérien fait "l'inverse" de la fonction exponentielle, quand l'exponentielle transforme un réel x en un réel y, la fonction logarithme retransforme ce réel y en x, son unique antécédent par la fonction exponentielle (ln(x) est alors une bijection de dans

Pour en revenir à une explication plus simple, mais pas rigoureuse du tout :

la fonction logarithme elle transforme tous les réels strictement positifs, en des réels positifs, nuls, ou négatifs.

Voilà, j'espère t'avoir éclairé.

Cordialement.

[Seirios]

J'ai quelques difficultés à saisir cette démonstration (et notamment en ce qui concerne le vocabulaire employé : application et bijection), qui débouche sur la définition

Pour la bijection, je pense que cypher_2 a dû déclairer.

Pour l'application, on dit que la fonction est une application, si A est son ensemble de définition ; il s'agit donc d'une fonction particulière.

[Thorin]

je comprendrai jamais ces gens qui prennent de l'avance sur leur programme...

Enfin...

La manière la plus jolie de voir ce qu'est une fonction réciproque, c'est tout simplement la symétrie par rapport à la droite y=x de la fonction de base.
Et si quand on trace la fonction symétrique par rapport à cette droite, on retombe sur quelque chose qui est une fonction, alors, c'est bijectif.
Sinon, s'il y a des points des abscisses qui ont 2 images par la fonction symétrique (ça veut dire que ce n'est pas une fonction), alors, la fonction de base était bijective.


De toute façon, savoir ce qu'est une bijection n'est pas au programme de TS.

[A voir en vidéo sur Futura]

[minibus]

Pour la bijection, je pense que cypher_2 a dû déclairer.

En effet, merci de votre aide ! Un petit peu d'explication est toujours plus facile à avaler qu'une définition, un chouïa "aride" (enfin en ce qui me concerne !)...

[invitef8b8c681]

J'ai quelques difficultés à saisir cette démonstration (et notamment en ce qui concerne le vocabulaire employé : application et bijection), qui débouche sur la définition : ...

Tout d'abord il faut parler des "ensembles" theorie a la base des disciplines mathematiques (algebre, geometrie, probabilites etc..); le fondemment des mathematiques moderne !!

exemple : considerons une famille a table, cette famille est compose du Pere, de la Mere du Frere et de la Soeur. "4 elements" tous differenciables par tout le monde. nous avons ainsi un ensemble E que l'on ecrit E={P, M, F, S}. introduisons maintenant un autre ensemble F ... par exemple des serviettes (s) aux nombres de 4 toutes differenciables les unes des autres puisque sur chacune d'elle est ecrit Pere, Mere, Frere, Soeur. F={sP, sM, sF, sS).
=> donc on peut dire : etant donne ces 2 ensembles E et F, on peut faire correspondre a tout element de E un element de F et un seul. le contraire est vraie egalement nous pouvons faire correspondre a tout element de F un element de E et un seul. Nous disons que nous avons etablis une bijection de l'ensemble E sur l'ensemble F.
voila pour la bijection.

l'application serait cette chose qui nous servirait de passer d'un element d'un ensemble a un autre element d'un autre ensemble comme par exemple le logarithme qui fait correspondre a une valeur de x une valeur y et une seule.

[danyvio]

je comprendrai jamais ces gens qui prennent de l'avance sur leur programme...

C'est pourtant comme cela qu'on détecte des génies. Un exemple : moi , en toute modestie. Il y a longtemps, j'étais en 5ème en 1955, et un vieil ingénieur de mon entourage m'a parlé des logarithmes, qu'il utilisait, me disait-il pour extraire des racines carrées, cubiques ou pire avec de "simples" divisions par 2, 3 ou + et le recours à une table. A une époque où personne ne disposait de calculatrices, et quand tous les calculs étaient manuels, j'avais été émerveillé, et ai acheté ma table Bouvart et Ratinet, que j'ai toujours.
Ceci dit, la présentation actuelle des logarithmes en tant que fonction inverse de l'exponentielle, avec les notions de bijections etc. s'éloigne beaucoup de l'aspect initial ""utilitaire".

[Thorin]

Ca détecte pas les génies, juste les gens intéressés par le domaine^^

[minibus]

Merci slyuuss, j'arrive à mieux me représenter ce que fait la fonction. Ca ne fait pas de mal...

C'est pourtant comme cela qu'on détecte des génies

Si vous le dites, moi je veux bien !