[TS]Sommes sympas ^^

invitebca5b7ab · 20/08/2008, 12h44

Allez, un topic sympa comme celui des intégrales.

$\text{[math]}$

N'hésitez pas à donner vos sommes aussi

**Romain-des-Bois** · 20/08/2008, 12h55

Bonjour,

ça commence bien, qui est $\text{[math]}$ ? N'importe quel entier ? Ou bien faut-il sommer jusqu'à $\text{[math]}$ ?

Romain

invitebca5b7ab · 20/08/2008, 13h03

En effet, n est un entier (un peu évident ^^).

Ben réfléchis un peu, la somme écrite comme ça est tout à fait correcte...

**Romain-des-Bois** · 20/08/2008, 13h04

Ah, pourtant dès que 3k est supérieur à n, ça n'a plus aucun sens... mais bon.

EDIT : après vérification, il semble que par convention, $\text{[math]}$ vaut 0 si k est plus grand que n

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitebca5b7ab · 20/08/2008, 13h08

Ben je sais pas mais le jour où tu l'auras dans un DS écrite comme ça, tu pourras philosopher longtemps, je ne sais pas si ça te donnera des points...Y a une convention pour ça, comme pour le binome de newton...

Une autre classique (et plus facile):

$\text{[math]}$

On travaille aves des entiers toujours ^^

**Romain-des-Bois** · 20/08/2008, 13h20

Envoyé par Truch

Ben je sais pas mais le jour où tu l'auras dans un DS écrite comme ça,

Y a longtemps que j'ai plus ça dans mes DS

tu pourras philosopher longtemps, je ne sais pas si ça te donnera des points...

C'est très important de se poser la question de la bonne définition des formules qu'on te donne dans un énoncé.
Surtout que je ne suis pas sûr que tu connaisses la définition de série, et donc de la signification du signe $\text{[math]}$

Romain

**Romain-des-Bois** · 20/08/2008, 13h30

Bon, comme j'aime bien le principe :

$\text{[math]}$

en passant par exemple par :
$\text{[math]}$

(et en vérifiant au passage que les séries convergent)

$\text{[math]}$

Mais pas sûr que ça passe au lycée...

**Romain-des-Bois** · 20/08/2008, 13h40

Envoyé par Romain-des-Bois

$\text{[math]}$

Pour celle-ci, je propose une démarche (il faudra admettre quelque chose au milieu quand même) :

Pour tout entier n

, on définit l'application :
$\text{[math]}$
avec :
$\text{[math]}$

(1) Montrer que pour tout $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ (quand n tend vers l'infini)

On pose $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$

(2) Calculer $\text{[math]}$

On admettra le résultat suivant (qu'on prouve avec le théorème de convergence dominée, facile à appliquer ici) :
$\text{[math]}$

(3) Pour tout entier n, calculer $\text{[math]}$

(4) En déduire le résultat voulu.

Romain

**Thorin** · 20/08/2008, 13h49

Jtrouve ça un peu complexe, quand même

**Romain-des-Bois** · 20/08/2008, 13h54

Ce qui est complexe, c'est de faire toute la théorie de la mesure pour prouver le théorème de convergence dominée, et ainsi pouvoir l'appliquer ici

Sinon, cet exercice n'est pas difficile
Remarque, peut-être existe-t-il une autre méthode plus rapide/simple...

Romain

**Thorin** · 20/08/2008, 14h01

Et bien faire admettre à des élèves de terminale des outils qu'ils ne verront pas avant au moins une grosse année, et donc ils n'auront pas le droit de se servir, jsais pas si c'est très formateur XD

**Romain-des-Bois** · 20/08/2008, 14h06

Admettre dans ce cas précis que la limite de l'intégrale c'est l'intégrale de la limite, ce n'est pas si absurde... Enfin, je crois.

Il suffit qu'ils gardent à l'esprit que ce n'est pas toujours le cas, mais que sous certaines conditions (ici vérifiées), ça marche.

**Universus** · 20/08/2008, 14h44

Salut à tous,

En me fiant sur la démarche proposée par Romain-des-Bois, voici ce que j'obtiens (vous m'excuserez si certains passages manquent de rigueur à votre goût ou si je ne connais pas ce qu'est le théorème de convergence dominée ; les méthodes pédagogiques n'étant pas les mêmes au Québec qu'ailleurs, je ne fais pas les mathématiques de la même façon exactement).

(1) Montrer que pour tout $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ (quand n tend vers l'infini)

On pose $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$

Le développement en série de Taylor de $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ est le suivant :

$\text{[math]}$

(2) Calculer $\text{[math]}$

On admettra le résultat suivant (qu'on prouve avec le théorème de convergence dominée, facile à appliquer ici) :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Posons $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ . Cela donne :

$\text{[math]}$

(3) Pour tout entier n, calculer $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ainsi $\text{[math]}$

Peut-être aurait-il été plus simple de partir du développement en série de Taylor de la fonction $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ et constater que la somme était égale à $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Il s'agit du problème de Bâle et la méthode suivie par Euler est peut-être la plus simple (où est-ce la seule que je connaisse

), bien qu'elle repose sur une importante supposition (enfin, c'était une supposition à l'époque).

Amicalement

**Romain-des-Bois** · 20/08/2008, 15h14

Envoyé par Universus

Le développement en série de Taylor de $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ est le suivant :

$\text{[math]}$

Tu n'étais pas obligé de considérer la série de Taylor. Simplement considérer la somme d'une suite géométrique suffit ici.

$\text{[math]}$

Posons $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ . Cela donne :

$\text{[math]}$

OK

$\text{[math]}$

OK

Ainsi $\text{[math]}$

OK, même si le "ainsi" cache effectivement beaucoup de choses

Peut-être aurait-il été plus simple de partir du développement en série de Taylor de la fonction $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ et constater que la somme était égale à $\text{[math]}$ .

Oui, mais ici, on est sensé se passer des développements de Taylor

sans oublier qu'en général, on donne la convergence sur l'ouvert $\text{[math]}$ donc, on ne sait rien en 1...

Il s'agit du problème de Bâle et la méthode suivie par Euler est peut-être la plus simple (où est-ce la seule que je connaisse

), bien qu'elle repose sur une importante supposition (enfin, c'était une supposition à l'époque).

Et bien, tu peux proposer ta méthode, si elle reste accessible

J'en connais une qui est plutôt rapide, mais pas pour ici...

EDIT : un petit

à toi quand même

**Universus** · 20/08/2008, 15h36

Envoyé par Romain-des-Bois

Tu n'étais pas obligé de considérer la série de Taylor. Simplement considérer la somme d'une suite géométrique suffit ici.

En effet

OK, même si le "ainsi" cache effectivement beaucoup de choses

Oui, j'ai sauté un peu les étapes ; en fait, de ce qui est écrit plus haut, on en déduit ce résultat (même si je ne l'ai pas explicité).

Oui, mais ici, on est sensé se passer des développements de Taylor

sans oublier qu'en général, on donne la convergence sur l'ouvert $\text{[math]}$ donc, on ne sait rien en 1...

Oups alors

Et bien, tu peux proposer ta méthode, si elle reste accessible

J'en connais une qui est plutôt rapide, mais pas pour ici...

La méthode d'Euler n'est pas 'habituelle', je veux dire par là que je n'ai jamais employé ce type de méthode pour résoudre en classe des sommes (en fait, en classe, on a jusqu'à présent résolu les sommes grâce aux séries de Taylor, la résolution de sommes n'étant pas le sujet du cours, contrairement aux tests de convergences...). Deux méthodes sont montrées sur wikipédia, dont celle d'Euler. Je n'ai pas encore vraiment porté mon attention sur la seconde démonstration, qui de toute façon utilise des formules sur les nombres complexes.

Eh puis, même si c'est plus ou moins rigoureux (les mathématiciens qui ont suivi Euler ont beaucoup travaillé à justifier ce que wikipédia appelle une supposition «audacieuse»), je trouve vraiment que la méthode d'Euler a quelque chose de très ingénieux. Enfin bref

**bubulle_01** · 20/08/2008, 16h24

On peut aussi le montrer d'une autre manière :
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

La dernière égalité, on peut la prouver avec la méthode des rectangles, en considérant la fonction $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .(Intégrale)
Toutes ces égalités sont vites balancées, mais on peut vérifier que tout est correct.

**Flyingsquirrel** · 20/08/2008, 16h29

Salut,

Envoyé par Romain-des-Bois

Bon, comme j'aime bien le principe :

$\text{[math]}$

Deux pistes de résolution sont données dans les parties intitulées « Utilisation de polynômes » et « Utilisation des intégrales de Wallis » du sujet de CAPES externe de maths (2007) [1]. Dans les deux cas il y a environ cinq questions qui permettent d'aboutir à la valeur de la somme en n'utilisant que des connaissances de terminale S. Ceux qui arriveront jusqu'à la question II-5 pourront même calculer les valeurs des trois sommes

$\text{[math]}$

[1] : http://www.capes-math.org/2007/ep1_2007.pdf (la partie « Utilisation de polynômes » n'a pas l'air sympathique au premier abord mais il n'y a rien de fondamentalement difficile)

**bubulle_01** · 20/08/2008, 16h52

Envoyé par bubulle_01

en considérant la fonction $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .(Intégrale)

Il fallait lire sur $\text{[math]}$ bien sûr.

**Thorin** · 20/08/2008, 18h52

Toutes ces égalités sont vites balancées, mais on peut vérifier que tout est correct.

Il serait tout de même plus simple de se passer de tous ces sigmas, et d'aller jusqu'à la dernière somme en écrivant avec des "ptits points"

...
et ça aurait surtout évité de s'embêter à réfléchir aux indices de départs des sigmas, et donc de faire une erreur au sigma juste après les points de suspension.

**taladris** · 20/08/2008, 19h13

Envoyé par Thorin

Il serait tout de même plus simple de se passer de tous ces sigmas, et d'aller jusqu'à la dernière somme en écrivant avec des "ptits points"

...
et ça aurait surtout évité de s'embêter à réfléchir aux indices de départs des sigmas, et donc de faire une erreur au sigma juste après les points de suspension.

oui mais avec les petits points, c'est moins rigoureux.

**Weensie** · 20/08/2008, 19h43

L'auteur de ce fil est perdu ou quoi ?
Ta somme n'a aucun sens , et tant que tu n'as pas compris que la précision est capitale en mathématique(s) , n'espère pas en faire .

**Hamb** · 20/08/2008, 19h56

sa somme a un sens puisque pour tout entier naturel k la notation "3k parmi n" a un sens. c'est juste que la somme écrite sous forme d'une somme infinie est en réalité finie puisque la suite sommée est nulle à partir d'un certain rang. Mais pas de probleme de définition.

**Thorin** · 20/08/2008, 20h05

Envoyé par Weensie

L'auteur de ce fil est perdu ou quoi ?
Ta somme n'a aucun sens , et tant que tu n'as pas compris que la précision est capitale en mathématique(s) , n'espère pas en faire .

Selon les définitions, c'est par définition ou par convention qu'on dit que lorsque k dépasse n, k parmi n vaut 0.

**bubulle_01** · 20/08/2008, 20h55

Envoyé par Thorin

Il serait tout de même plus simple de se passer de tous ces sigmas, et d'aller jusqu'à la dernière somme en écrivant avec des "ptits points"

...
et ça aurait surtout évité de s'embêter à réfléchir aux indices de départs des sigmas, et donc de faire une erreur au sigma juste après les points de suspension.

Ouais mais j'aime bien les sigmas, ca fait classe

**Weensie** · 20/08/2008, 20h59

Les sigmas ca fait SUPER classe . Mais il faut savoir les utiliser à bon escient .

**Guillaume69** · 20/08/2008, 21h03

Bonsoir

Je ne voudrais pas casser l'ambiance... Mais ne pensez vous pas que cette discussion a plus de place dans "mathémathiques du supérieur" ?

Je crois qu'on est vraiment loin du niveau terminale.
Personnellement, en maths j'ai un bon niveau de fin de sup bio et je n'ai qu'un très léger aperçu des sommes infinies de termes. Le théorème de convergence dominée ou le développement en série de Taylor, je n'en n'ai jamais entendu parler... Alors un élève de terminale, imaginez un peu ^^

Guillaume

**Universus** · 20/08/2008, 22h58

Salut à tous,

Vous m'excuserez si je n'utilise pas que des notions de niveau terminale, mais étant (comme je l'ai déjà mentionné) du Québec, je n'ai aucune idée des notions qui sont abordées au niveau terminale. Néanmoins, l'éducation en France semblant être plus avancée qu'ici (à âge égal) et ne pensant pas maîtriser des mathématiques supérieures... enfin vous voyez

Envoyé par Truch

$\text{[math]}$

Exprimons tout d'abord la fraction «à sommer» (le nom précis ne serait-il pas l'argument de la somme?) en fonction des constantes A,B et C sous formes de fractions partielles, comme suit:

$\text{[math]}$

En multipliant chaque côté de l'égalité par le dénominateur de la fraction initiale, on obtient l'équation, valide pour tout k:

$\text{[math]}$

Ainsi, en posant k=0, nous trouvons que $\text{[math]}$ . Pour k=-1, nous avons $\text{[math]}$ et finalement, avec k=1, on obtient $\text{[math]}$

On peut donc réécrire la somme initiale comme étant :

$\text{[math]}$

En posant $\text{[math]}$ on peut réécrire cette dernière équation sous la forme :

$\text{[math]}$

On en conclut que pour toute valeur de n (même pour n tendant vers l'infini), on a :

$\text{[math]}$
On peut vérifier facilement que pour n tendant vers l'infini, la série converge bien, soit en faisant la limite quand n tend vers l'infini de la suite des sommes partielles de la suite $\text{[math]}$ (on sait alors que la série converge vers la valeur 1/4) ou en remarquant que pour tout $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$

Ainsi, la série recherchée est inférieure à la série de l'inverse des nombres cubiques dont nous connaissons la convergence. Donc la série recherchée converge aussi.

De façon analogue, pour la dernière série proposée par Romain-des-Bois, soit $\text{[math]}$ , sachant que $\text{[math]}$ , on en déduit la série est convergente, puisque :

$\text{[math]}$

Sachant que cette dernière série converge (et pour répondre à une autre question posée, elle converge vers $\text{[math]}$ ), on en déduit que $\text{[math]}$ converge, ce qui répond à une question posée par Romain-des-Bois.

Là, comment déterminer la valeur de cette série, c'est autre chose...

Amicalement

**Hamb** · 20/08/2008, 23h42

y'a quand meme un petit problème dans ton calcul de la première somme, pare que déjà pour n = 1 on trouve 1/6 ^^

**Celestion** · 20/08/2008, 23h45

Envoyé par Universus

On en conclut que pour toute valeur de n (même pour n tendant vers l'infini), on a :

$\text{[math]}$
On peut vérifier facilement que pour n tendant vers l'infini, la série converge bien, soit en faisant la limite quand n tend vers l'infini de la suite des sommes partielles de la suite $\text{[math]}$ (on sait alors que la série converge vers la valeur 1/4) ou en remarquant que pour tout $\text{[math]}$

Il s'agit de la série harmonique (on s'y ramène 3 fois avec des changement d'indice) donc la série ne converge pas.
De plus :
$\text{[math]}$

**Universus** · 21/08/2008, 02h38

Ça se peut fort bien

Je devrais prendre l'habitude de vérifier avec les fractions partielles

Milles excuses. J'm'en veux quand même...

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