[TS]Sommes sympas ^^

[Universus]

Numériquement, ta dernière formule fonctionne Thorin...

Les nombres complexes c'est magique ma foi! Vraiment hâte de les apprendre et surtout de m'habituer à les manier au cours de cet automne (ouais, je vais voir ça dès la semaine prochaine).

Faut vraiment que je me penche sur cette démonstration pour bien la comprendre dans ses moindres aspects ^^Autrement, c'est vraiment bien aussi ton autre démonstration ; j'ai jamais remarqué rapidement ou lentement en regardant un triangle de Pascal que cette égalité fonctionnait bel et bien, mais bon... C'est pas mal moins long que ce que je tentais de faire... Je me sens petit parmi vous

Merci pour ces démonstrations
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[Thorin]

Je précise que mon j de mon précédent message était bien entendu le nombre

Autrement, c'est vraiment bien aussi ton autre démonstration

Mais elle n'est absolument pas complète, car il faut déterminer le "y" en fonction de la congruence de n modulo 3.
J'aime cependant bien cette démo, car je trouve le résultat plus joli en voyant qu'il ne s'agit au final que (presque) de somme de puissances de 2, alors que dans la seconde démo, le résultat est assez abscons.

NB : et dans ma première démo, on peut évidemment remplacer la somme des puissances de 2 en la considérant comme une somme géométrique de raison 4.

[Universus]

Je ne sais pas manier les nombres complexes, mais j'ai quand même lu beaucoup à leur sujet (donc ce que j'ai lu ne disait pas comment les manipuler, sans quoi je les connaîtrais mieux que ça j'espère) : ils facilitent semble-t-il énormément l'analyse de problème portant sur des ensembles de nombres moins riches.

Alors, ta première démonstration a bien entendu cette difficulté de travailler avec des entiers, mais comme tu le fais remarquer, elle a le mérite de montrer que le résultat est très proche d'une somme de puissance de 2, chose plus difficile à voir autrement.

Enfin bref, tu sais déjà tout ça

Là j'essaie de comprendre le calcul initial de ta démonstration avec les complexes... Je vais y arriver un jour

[Thorin]

Lol, je détaille un peu le calcul :


Le cosinus apparait à cause des formules d'Euler.

[Universus]

Merci Thorin,

Je vais regarder ça plus attentivement

[Romain-des-Bois]

J'avais pensé à prendre mais je n'avais pas osé pousser les calculs Et ils n'étaient pas si évidents !

Si Truch a trouvé ça tout seul (en 1/2 heure), je me permets de le féliciter



Romain

[Thorin]

S'il a trouvé la méthode que j'ai écrite avec j en 30minutes, effectivement, bravo

[invitebca5b7ab]

Non, disons que j'ai trouvé la méthode à faire en 30min (c'est effectivement avec j Thorin, bien joué). Aprés viennent les calculs.

Mais avant cette somme, j'avais eu la chance d'en faire 1 plus simple, mais qui apprenait déjà une manière de raisonner:

N'hésitez pas à proposer vos sommes !

[Thorin]

Et celle là, sans complexes.

[invitebca5b7ab]

Effectivement, les complexes n'interviennent pas dans cette somme. Mais la résolution de cette somme apprend déjà qu'il faut dispatché en 2k et 2k+1. Trouver dans la somme du binome un facteur de période de 2 est facile. Il suit un système à 2 équation très simple.

Par contre, pour la somme précédente, j'avais pensé à i, mais il est de période 4, et de période 2 seulement dans les signes (si on considère les parties imaginaires et réelles de la somme binomiale, comme (1+i)^n). Donc si on comprend bien la démarché, il faut un facteur qui soit de période 3.

Donc c'est j.

Rien de bien dure là dedans, faut juste raisonner.

Une autre:

[Romain-des-Bois]

J'en propose une autre aussi



Indice :

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Pour la trouver, je suis parti d'une somme connue, j'ai ..., puis ... et enfin j'ai ...

Romain

[Thorin]

Truch, ta somme, ya une astuce simple et élégante, ou c'est du calcul chiant avec les formules d'euler et le binôme de newton ?


Romain-des-Bois, ya une de tes sommes que j'ai toujours pas trouvé (pas avec des techniques de TS), c'es celles des ...un peu d'aide ?

Sinon, indice supplémentaire pour la dernière somme de Romain-des-Bois :

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[Romain-des-Bois]

Romain-des-Bois, ya une de tes sommes que j'ai toujours pas trouvé (pas avec des techniques de TS), c'es celles des ...un peu d'aide ?

Tu peux m'appeler Romain

euh... en fait, je sais qu'il existe plusieurs méthodes pour la trouver (dans la section maths du supérieur, Bleyblue avait posté un pdf regroupant plusieurs de ces méthodes), mais de mémoire, je ne sais pas si l'une d'elles est faisable en TS.
Quand je l'ai proposée, c'était plutôt parce qu'elle est hyper célèbre

Ma méthode préférée pour calculer cette somme (elle n'y est pas dans le pdf - enfin pas exactement) utilise les séries de Fourier. En fin de Sup, on avait vu un peu comment les calculer (sans faire la théorie par contre), peut-être les as-tu vues ça aussi.

Si ça t'intéresse, je peux le poster sous forme d'exercice.

Sinon, indice supplémentaire pour la dernière somme de Romain-des-Bois :

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Je ne vois pas tellement l'intérêt de cet indice Tu l'as trouvée comme cette somme ?

Romain

[Thorin]

Jamais entendu parler de séries de Fourrier. On a juste vu une méthode avec les intégrales, en se servant de la limite de l'intégrale de sin(x)*f(x), ou un truc du genre.

Si tu as moyen de faire un exo niveau TS-L1 avec, je suis intéressé

Sinon, pour ta dernière somme :

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Et en faisant comme ça, je trouve que mon indice est pas inutile, nan ?

Comment tu fais, toi ?

[Romain-des-Bois]

Jamais entendu parler de séries de Fourrier. On a juste vu une méthode avec les intégrales, en se servant de la limite de l'intégrale de sin(x)*f(x), ou un truc du genre.

Si tu as moyen de faire un exo niveau TS-L1 avec, je suis intéressé

Malheureusement, pas là

Sinon, pour ta dernière somme :

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Et en faisant comme ça, je trouve que mon indice est pas inutile, nan ?

Une solution explicite se trouve là, donc...

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En fait, je suis parti du développement du binome, j'ai dérivé deux fois (par rapport à x), puis j'ai fait un changement d'indice (k=i-2), et enfin,j'ai pris x=n, y=1, mais j'aurais du prendre des valeurs plus tordues pour compliquer un peu (et qu'il soit plus difficile de retrouver les coeff binomiaux. Je vais en proposer une autre

mais ta solution est très bien

[Thorin]

C'est très tordu, quand même, ta méthode pour générer des sommes

[Romain-des-Bois]

En voici une autre, dans le même esprit que la précédente, mais plus compliquée :



Evidemment, Thorin, avec ce que j'ai dit juste avant, ce sera facile

[Universus]

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[Thorin]

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Faux, universus, il aurait fallu que ce soit (n+2)!, et non (n-k+2)!, au dénominateur.

[Universus]

Oui tu as raisons, j'ai considéré ceci pour k=0 et j'ai généralisé pour le reste. Eh bien.

Amicalement

[GalaxieA440]

Je poste ces deux la parcequ'elles sont indispensables dans ce fil, mais je ne pense pas qu'elles poseront de problèmes à quiconque :




+++

[Thorin]

En voici une autre, dans le même esprit que la précédente, mais plus compliquée :



Evidemment, Thorin, avec ce que j'ai dit juste avant, ce sera facile

tu veux pas changer l'indice de fin de sigma en n+2, plutôt que n-2 ? ça m'aiderait

[Hamb]

tu veux pas changer l'indice de fin de sigma en n+2, plutôt que n-2 ? ça m'aiderait

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il suffit de sommer jusqu'a n+2 et ensuite de retirer les derners termes, c'est bourrin mais ca marche xD

[Thorin]

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il suffit de sommer jusqu'a n+2 et ensuite de retirer les derners termes, c'est bourrin mais ca marche xD

Certes, mais c'est affreusement laid Sauf s'il y a des simplifications, mais ça m'étonnerait

[invitea250c65c]

euh... en fait, je sais qu'il existe plusieurs méthodes pour la trouver (dans la section maths du supérieur, Bleyblue avait posté un pdf regroupant plusieurs de ces méthodes), mais de mémoire, je ne sais pas si l'une d'elles est faisable en TS.

Salut, j'ai un exo issu d'un bouquin de TS qui propose le calcul exact de cette somme. Je peux poster ca (ca prendra peut-être du temps c'est assez long et mon ordi plante pas mal en ce moment) mais en fait c'est "l'énoncé qui fait tout le travail" enfin disons qu'on répond aux questions et que tout à la fin on se rend compte que par miracle ca marche. C'est vraiment dur de tout refaire soi même sans question intermédiaire et de comprendre l'idée fondamentale de l'exo (par exemple d'ou sort telle fonction, telle intégrale, ...).
Mais on aboutit au résultat avec des connaissances de TS, c'est déjà pas mal .

A+

[Thorin]

Si tu peux le poster, ce serait pas mal

[invitea250c65c]

OK voici l'exercice en pièce jointe.
Ca vient du manuel de maths Terracher de TS, j'ai modifié un ou deux passages (par exemple on établissait la somme de cosinus par récurrence pour éviter d'utiliser les complexes, mais comme les sommes on est en plein dedans ... ).
L'idée est sympa mais je pense que c'est introuvable tout seul du moins sans avoir une certaine expérience de la chose.

[Thorin]

Merci !

Bon, c'est l'exercice que j'ai fait en TD cette année. sauf que nous, c'était bienplus général, et qu'il n'y avait que 2 ou 3 questions intermédiaires



Romain, tu cherchais des exos pour la rubrique de révisions, celui là est super

[Celestion]

Bien que ce ne soit pas dit explicitement, ça utilise les séries de Fourier.

[Romain-des-Bois]

Bonjour,

effectivement, l'exercice utilise les séries de Fourier (sans que ce soit dit)

Pour l'exercice, oui, on pourrait le poster dans la partie révisions, sauf que... sauf que c'est un exercice qui est paru dans un livre, donc ça pose un problème

Pour la somme que j'ai proposée, à savoir :

J'ai tout fait pour qu'elle soit dure à trouver

Donc, je vous donne les étapes, en spoiler :
(1)

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développer le binome de Newton, puis dériver deux fois par rapport à x.

vous n'y êtes toujours pas, alors
(2)

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prenez x=y, et simplifiez le peu que vous puissiez faire

toujours pas ? alors
(3)

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réindicez la somme - si ce n'est pas déjà fait !

et si vous n'arrivez pas à terminer, il vous faut simplement
(4)

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trouver la bonne valeur à donner à x

et si vous ne la trouvez pas, c'est
(5)

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Et le résultat est le suivant :

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