[TS]Sommes sympas ^^

invite93e0873f · 21/08/2008, 04h06

Ouf, voilà, j'ai trouvé mon erreur

C'est que j'ai rapidement prétendu que si $\text{[math]}$ , alors :

$\text{[math]}$

Or, j'ai exécuté en quelque sorte un changement de variable sans changer la limite supérieure de ces deux sommes. En fait, les vraies sommes sont :

$\text{[math]}$

Ainsi, en procédant comme je l'ai fait par la suite et en tenant compte, évidemment, de ces corrections, on obtient le résultat final, soit :

$\text{[math]}$

Si n=1, alors on retrouve effectivement 1/6. On voit aussi clairement que la limite quand n tend vers l'infini de ce résultat rend le second terme de cette formule nul, de telle sorte qu'on a bel et bien 1/4 comme valeur de cette série. C'était étonnant aussi que ça ne soit pas fonction de n

(je ne dois pas forcer ma chance c'est ça?

)

Bonne nuit

invitec317278e · 21/08/2008, 09h36

C'était pas juste étonnant, c'était complètement impossible, juste en regardant 2 secondes la somme. XD

inviteaeeb6d8b · 21/08/2008, 14h02

Envoyé par Weensie

L'auteur de ce fil est perdu ou quoi ?
Ta somme n'a aucun sens , et tant que tu n'as pas compris que la précision est capitale en mathématique(s) , n'espère pas en faire .

Envoyé par Thorin

Selon les définitions, c'est par définition ou par convention qu'on dit que lorsque k dépasse n, k parmi n vaut 0.

Perso, à la première lecture, j'ai été plutôt étonné. Pour moi, $\text{[math]}$ c'est par définition le nombre de façons de choisir k objets parmi n, donc ça n'a aucun sens de regarder pour k plus grand que n.
Bon, il y a une convention pour cela...

C'est vrai aussi que ça n'a pas grand intérêt de noter cette somme comme allant jusqu'à l'infini puisqu'elle est en fait... finie.

Envoyé par Guillaume69

Je ne voudrais pas casser l'ambiance... Mais ne pensez vous pas que cette discussion a plus de place dans "mathémathiques du supérieur" ?

Je crois qu'on est vraiment loin du niveau terminale.
Personnellement, en maths j'ai un bon niveau de fin de sup bio et je n'ai qu'un très léger aperçu des sommes infinies de termes. Le théorème de convergence dominée ou le développement en série de Taylor, je n'en n'ai jamais entendu parler... Alors un élève de terminale, imaginez un peu ^^

Je ne sais pas pour les séries proposées par l'auteur du topic, mais pour celle que j'ai proposée avec la démarche à suivre, c'est faisable en TS.

On admet seulement que dans ce cas particulier, l'intégrale de la limite est la limite de l'intégrale (ce qui ne m'aurait pas choqué en TS je pense). J'ai simplement cité le théorème de CV dominée car c'est lui qui permet de le prouver. La suite de l'exercice n'utilise pas les développement Tayloriens, même si Universus les a utilisés (après tout, libre à lui

).

invite93e0873f · 21/08/2008, 15h13

Salut à tous,

C'était pas juste étonnant, c'était complètement impossible, juste en regardant 2 secondes la somme. XD

Ne tournons pas le couteau dans la plaie s'il-vous-plaît

Non, je veux dire que ça m'étonnait de voir que c'était constant, mais pour des raisons qui j'ignore j'ai accepté le résultat sans me poser de question... N'empêche que c'est une grosse bêtise, je tacherai de m'en rappeler.

Perso, à la première lecture, j'ai été plutôt étonné. Pour moi, $\text{[math]}$ c'est par définition le nombre de façons de choisir k objets parmi n, donc ça n'a aucun sens de regarder pour k plus grand que n.
Bon, il y a une convention pour cela...

C'est vrai aussi que ça n'a pas grand intérêt de noter cette somme comme allant jusqu'à l'infini puisqu'elle est en fait... finie.

Personnellement, tous ce que je sais des coefficients binomiaux (triangles de Pascal, formule du binôme, etc.) tient de ce que j'ai pu lire sur le net, des 'recherches' (travaux) que j'ai pu faire sur ceux-ci ou dans des bouquins que j'ai chez moi ; je n'ai encore jamais explicitement étudié ça à l'école.

Je me suis rendu compte à un moment donné que pour les calculs que je faisais et les problèmes que je me posais, l'utilisation de la convention $\text{[math]}$ pour tout k plus grand que n me facilitait les choses (même si aucun exemple précis me vient en tête en ce moment). Bien entendu, comme tu le fais remarquer, en interprétant le coefficient binomial comme le nombre de combinaisons possibles de k objets parmi n objets, cette convention n'a pas vraiment de sens. Or, en regardant les coefficients binomiaux comme étant les éléments du triangle de Pascal, cela m'a semblé moins dérangeant (l'article de wikipédia sur le triangle de Pascal montre même une façon de construire ce triangle à l'aide du calcul matriciel et il y a bien présence de valeurs 0 pour k plus grand que n. Ce n'est pas une justification, mais tout de même).

La suite de l'exercice n'utilise pas les développement Tayloriens, même si Universus les a utilisés (après tout, libre à lui ).

Bon bon bon, en suivant (encore) tes recommandations, je vais refaire cette partie de la démonstration dans laquelle j'ai eu recours aux développements de Taylor et j'utiliserai plutôt les séries géométriques

Donc on veut démontrer que $\text{[math]}$ . Pour ce faire, considérons tout d'abord la suite $\text{[math]}$ .

On peut se rendre compte qu'il s'agit d'une suite géométrique puisque le quotient de deux termes consécutifs est constant (indépendant de k) :

$\text{[math]}$

Cette suite a donc pour raison r = -x et pour constante a =1, d'où $\text{[math]}$ .

Chaque terme v_n de la suite des sommes partielles de la suite précédente est fonction de n de la façon suivante :

$\text{[math]}$

Étant donné que $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ , d'où :

$\text{[math]}$

Amicalement

invitec317278e · 21/08/2008, 15h17

Enfin de toute façon, dans la mesure où l'on ne demande que la limite de la somme des "3k parmi n", et non la valeur à n donné (ce qui est faisable mais un peu plus dur), c'est hyper facile...

inviteaeeb6d8b · 21/08/2008, 15h26

Euh, cela ne revient-il pas au même Thorin ? Comment procèdes-tu ?

invitec317278e · 21/08/2008, 15h35

$\text{[math]}$

Ainsi, à n fixé, on peut minorer la somme par (nombre-de-termes-non-nuls)*1. Or, ce nombre est celui des entiers multiples de 3 inférieurs à n, et celui ci tend donc vers l'infini avec n.

inviteaeeb6d8b · 21/08/2008, 15h44

Et non

Il faut distinguer deux choses :
$\text{[math]}$ puis on fait tendre $\text{[math]}$ vers l'infini (et alors je suis d'accord avec ce que tu as fait)

et ce qu'on demande ici :
$\text{[math]}$ qui est une somme finie

invitec317278e · 21/08/2008, 15h55

On n'a pas : $\text{[math]}$ ?

invitec317278e · 21/08/2008, 16h10

Bon, manifestement, l'article de wikipédia m'explique que j'avais jamais eu la bonne def pour ces sommes.

Dans ce cas, s'il faut travailler à n fixé, j'ai vu une démo pendant l'année, dont je serais sans doute capable de me rappeler, mais de souvenir, vu comme elle est compliquée, je suppose qu'il y a plus simple...

invite6f25a1fe · 21/08/2008, 16h26

Envoyé par Guillaume69

Bonsoir

Je ne voudrais pas casser l'ambiance... Mais ne pensez vous pas que cette discussion a plus de place dans "mathémathiques du supérieur" ?

Je crois qu'on est vraiment loin du niveau terminale.
Personnellement, en maths j'ai un bon niveau de fin de sup bio et je n'ai qu'un très léger aperçu des sommes infinies de termes. Le théorème de convergence dominée ou le développement en série de Taylor, je n'en n'ai jamais entendu parler... Alors un élève de terminale, imaginez un peu ^^

Guillaume

Je suis d'accord avec ca.
Ca n'apporte rien pour les gars qui sont en TS (la définition de série, de convergence etc... n'est pas abordée en Ts, encore moins les outils pour résoudre de tels exo), et ca pourrait être intéressant pour ceux qui sont dans le supérieur. Pourquoi ne pas changer le topic de place pour qu'il soit plus utile ???

invite93e0873f · 21/08/2008, 16h29

Salut à tous,

Je vous propose trois relations (que j'ai trouvées empiriquement et que je n'ai pas encore démontrées) liées au problème posé par Truch :

$\text{[math]}$

Je ne sais pas si ces relations peuvent être utiles, surtout non démontrées, mais bon, ça me donne l'impression d'avancer un peu

.

Pour alléger quelque peu les relations, notons :

$\text{[math]}$

Ainsi :

Si $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$

Cela tient du fait que $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ [formule de Pascal] $\text{[math]}$

Pour les intéressés :

$\text{[math]}$

inviteaeeb6d8b · 21/08/2008, 19h45

Envoyé par Thorin

On n'a pas : $\text{[math]}$ ?

Non, par contre, on a :
$\text{[math]}$

invite93e0873f · 21/08/2008, 23h52

Salut à tous,

Je désespère royalement pour ce problème... Mais bon, j'ai fait quelques avancées tout de même, mais rien qui m'a encore amené à la réponse recherchée...

Petite précision :

Envoyé par Universus

$\text{[math]}$

Le dernier terme, qui est S₃(16) selon la notation précédente, vaut plutôt 21845.

Rappelons les propriétés suivantes des coefficients binomiaux :

(i) $\text{[math]}$
(ii) $\text{[math]}$

Définissons la fonction $\text{[math]}$ de la façon suivante :

(1) $\text{[math]}$

En posant x =1, cela donne : (2) $\text{[math]}$ .

Calcul de $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Par la propriété (ii), on peut changer cette dernière formule pour :

$\text{[math]}$

Détermination d'une formule non fermée de $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$ (prop. i)
$\text{[math]}$ (prop. ii)
$\text{[math]}$

En ayant recours à la définition de f_n et au calcul de dérivée effectuer ci-dessus, on obtient :

$\text{[math]}$

Soit :

(3) $\text{[math]}$

En substituant à $\text{[math]}$ sa formule correspondante (3), et ainsi de suite, on obtient :

(4) $\text{[math]}$

En posant x = 1 et p=3 afin de répondre à notre problème, nous obtenons (avec la notation précédente):

$\text{[math]}$

Soit, si vous préférez :

$\text{[math]}$

Démonstration de la première relation empirique

Si $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Étant donné que $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ . Or, le nombre de coefficients binomiaux sur une même ligne (ayant même n) est égal au numéro de cette ligne (à n) plus un. Ainsi, le nombre de coefficients binomiaux sur une ligne telle que $\text{[math]}$ est un nombre congru à $\text{[math]}$ .

Regardez un triangle de Pascal, précisément une ligne ayant n congru à 2 modulo 3. Sur cette ligne $\text{[math]}$ , remarquez les termes $\text{[math]}$ et les terme $\text{[math]}$ . Vous remarquerez qu'étant donné la symétrie du problème (autrement dit, la symétrie du triangle spécialement sur ce type de ligne), et bien nous obtenons :

$\text{[math]}$

En revenant là où nous avons laissé notre calcul, on obtient finalement la relation recherchée :

$\text{[math]}$

Bon c'est la seule relation que j'ai démontrée jusqu'à présent parmi les trois et je ne sais pas si tout ceci est utile à la résolution du problème... En fait, je n'avance à rien...

Amicalement

Universus

invitebca5b7ab · 22/08/2008, 01h43

L'auteur de ce fil est perdu ou quoi ?
Ta somme n'a aucun sens , et tant que tu n'as pas compris que la précision est capitale en mathématique(s) , n'espère pas en faire .

J'ai vraiment envie de dire que tu es pathétique...
Je vais passer pour un arrogant, mais j'ai trouvé cette somme en moins d'une demi heure. Je suis un simple élève de terminale, j'ai utilisé des connaissance de terminale. Et je ne vois pas pourquoi vous me citez tous des théorèmes et méthodes carrément hors programme et que vous me dénigrez presque. Je n'ai pas posté le topic dans la section "maths supérieurs".

Alors si vous ne trouvez pas de solution qui se base sur des méthodes enseignés en terminale, merci de vous abstenir...

Je vais quand même donner des indices: binome de newton, complexes...

invitec1242683 · 22/08/2008, 02h22

Merci pour ton sens des bonnes-manières et de la finesse

Oui , la somme se trouvé aisément encore faut-il qu'elle soit bien exprimée . C'était par souci de justesse que j'ai fait cette remarque .

invitec1242683 · 22/08/2008, 02h23

Envoyé par Truch

J'ai vraiment envie de dire que tu es pathétique...

Mais dis qui t'en empêche ?

invitebca5b7ab · 22/08/2008, 02h51

Je m'excuse, je me suis un peu emporté...M'enfin, vous avez un poil exagéré à mon sens...

invitec1242683 · 22/08/2008, 02h54

Je le pense aussi et je demande pardon de m'être emporté .

invite93e0873f · 22/08/2008, 04h10

Bon, c'est moi là-dedans l'imbécile qui passe des heures à trouver la solution à ce problème alors que tous le qualifient de facile... Bah, j'ai au moins l'excuse de toujours pas savoir c'est quoi un cours de terminale

C'est donc aussi pour ça que je participe à ce fil ; comme je l'ai dit, à âge égal, la France est plus avancée côté sciences du moins que le Québec (pour informations, j'ai 18 ans). On ne m'a jamais enseigné quoique ce soit autour de la formule du binôme ou autour des nombres complexes, alors du peu que j'en connaisse je les manipule très maladroitement. Ainsi, si par la même occasion, vous pouviez m'apprendre toutes ces techniques que vous connaissez et que j'ignore, je suis partant

.

Milles excuses si les techniques que j'aie pu utilisées n'étaient pas toutes connues de l'élève français de niveau terminal.

Amicalement

invitec1242683 · 22/08/2008, 04h31

Mais non , tes techniques sont très bonnes certes un peu maladroites et tu n'es en aucun cas l'imbécile la dessus , surtout que tu as su résoudre l'exercice tandis que personne dans le fil n'a posté la solution , de plus sans connaitre le binome de newton . Alors je trouve ca davantage admirable qu'imbécile !

invite93e0873f · 22/08/2008, 05h10

Merci, c'est flatteur, mais pas représentatif de la réalité étant donné que je me suis mal fait comprendre.

Je connais le binôme de Newton, j'ai pris la charge de l'étudier par moi-même, de même pour les coefficients binomiaux ou les nombres complexes. Le problème dans tout ça, c'est que n'ayant pas eu de cours formel là-dessus, ce ne sont pas tout le temps des techniques ou des concepts que je maîtrise avec brio. En fait, surtout les nombres complexes, je n'ai encore jamais eu l'occasion de les utiliser.

Autrement, je ne pense pas que le fait que personne d'autre que moi vraiment n'est posté de piste de solution sur ce problème implique que personne ne connaît la réponse ; souvent, c'est même le contraire.

L'imbécile là-dedans, c'est que je me casse la tête avec ce problème alors qu'il est, à entendre pratiquement tout le monde, d'une relative simplicité. et ça, ça donne un coup à l'égo

Sinon pour le maladroit, je veux rappeler que je n'ai fait qu'une erreur avec cette histoire de 1/4

, erreur dû à mon saut trop hâtif de ma démo à partir de la série vers tout terme de la suite des sommes partielles. Enfin bref :P

invitec1242683 · 22/08/2008, 05h49

J'exagérais en disant qu'il était facile !
Ce qui m'étonne c'est que tu aies été capable de produire une démonstration d'un si haut niveau sans la moindre connaissance des nombres complexes , non pas qu'il y ait un quelconque lien mais que les gens de ton niveau , que ce soit au tadjikistan , au sultanat de brunei ou au Guatemala , ont généralement acquis la connaissance des nombres complexes .
J'ai écris un documents en leur hommage et j'ai en ma possession des livres physiques et numériques portant sur le sujet . Je t'invite à me contacter par message privé pour qu'éventuellement je puisse te les passer directement .
Voila ,
a tres bientot ,
Weensie

PS:Pour l'ego ne t'inquiète pas c'est surtout moi qui me le vois rabaissé lorsque je me rabaisse au point de me chamailler ainsi sur le forum ^^

invitec317278e · 22/08/2008, 10h53

Envoyé par Universus

$\text{[math]}$

Petite remarque : Admire comme 5, 22, 85, 341....sont très proches des valeurs de $\text{[math]}$ ...
et comme 11, 43, 170...sont très proches des valeurs de $\text{[math]}$ ...

Thorin.

invitebca5b7ab · 22/08/2008, 13h00

Je m'excuse encore en relisant mon message du soir^^... En fait, ça m'a quand même irrité hier de voir à quel point la discussion a dérivé sur des trucs hors programmes, et que plusieurs membres réclamaient que ce topic soit transféré dans la section maths supérieur.

Pour répondre à Universus, ou plutôt l'encourager, on n'a jamais fait d'exercices sur le binôme de Newton avec notre professeur. Il nous a juste balancé la formule, et on ne l'a jamais utilisé (d'ailleurs, ça m'étonnerait pas qu'ils décident de la virer du programme dans quelques années).

Si vous voulez plus d'indices, demandez car cette somme n'est en effet pas très facile.

invitec317278e · 22/08/2008, 13h29

Sous quelle forme est ton résultat ? on différencie les cas, ou tu as une formule qui marche à tous les coups ? (histoire de savoir si la manière dont tu l'as obtenue est simple ou pas...)

Petite remarque à Universus : tu peux essayer de t'intéresser à $\text{[math]}$ en fonction de choses avec du n-2 (plutôt que du n-1). De ce que j'ai fait, ça a l'air de "facilement" pouvoir aboutir.

invite93e0873f · 22/08/2008, 15h40

Merci à vous tous,

Merci aussi à toi Thorin de m'avoir indiquer que la comparaison entre des termes distancés de 2 rangs pouvait être utile (j'avais remarqué ce type de régularité, mais je ne savais pas comment l'utiliser). Par contre, je ne suis pas certain que cela fasse vraiment d'un niveau terminal, étant donné que ma démarche est la continuation de celle que j'ai entamée ici. C'est pourquoi je serais très curieux de voir comment les autres, dont Thorin et Truch, s'y sont pris.

De plus, je n'obtiens pas une seule équation, mais trois. Alors voici.

Rappelons les relations empiriques que j'ai présentées plus tôt (et qui pourraient peut-être être démontrées à l'aide de l'équation que j'ai formulée au message 44 ou, espérons-le, plus simplement encore) :

Si $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$

De ces trois relations utilisées 2 à 2, nous pouvons en trouver trois autres qui sont les suivantes :

(a) Si $\text{[math]}$

(b) Si $\text{[math]}$

(c) Si $\text{[math]}$

De plus, deux autres relations (qui seraient à démontrer aussi) peuvent être obtenues en regardant les différences de deux termes distants de 2 rangs :

(d) Si $\text{[math]}$

(e) Si $\text{[math]}$

En isolant le terme $\text{[math]}$ dans les équations a, c, d et e, puis posant les égalités pour les équations réarrangées a=d et c=e, on peut obtenir deux formules fermées pour $\text{[math]}$ . Le résultat obtenu de l'égalité c=e peut être utilisé dans l'équation b, nous donnant 3 formules fermées :

$\text{[math]}$

Le problème avec cette démarche, c'est que l'utilisation de relations empiriques non seulement entachent quelque peu la rigueur du travail, mais surtout, c'est qu'il y a d'autres relations empiriques qui peuvent être trouvées, ce qui implique peut-être l'existence d'un bon nombre de relations de ce type... L'idéal serait évidemment de n'avoir qu'une seule équation pour tout n, mais bon...

Voilà pourquoi la démarche de Truch me rend bien curieux

Amicalement

Universus

invitec317278e · 22/08/2008, 16h09

Tout d'abord, le fait que les relations soient trouvées de manière plutôt empirique n'entache pas forcément la rigueur, puisqu'on peut ensuite essayer de les prouver par récurrence.

Bon, ensuite, voici un embryon de réponse, sans utiliser les complexes (j'ai pas cherché à faire dans l'exactitude...).
On remarque vite en dessinant le triangle de pascal que
$\text{[math]}$

Je choisis n pair.
En sommant les égalités suivantes :
$\text{[math]}$
on obtient :

$\text{[math]}$

Avec les x et y à déterminer en fonction des cas.

Raisonnement similaire pour n impair.

invite787dfb08 · 22/08/2008, 16h19

lol ^^

Le genre d'exo où tu passes plus de temps à dessiner qu'autre chose...

Je vais jeter un oeil dans ce fil, j'ai encore rien fait

+++

invitec317278e · 22/08/2008, 16h27

Bon, maintenant, une méthode plus complexe avec les complexes.

Calculons : $\text{[math]}$

Maintenant, soient :
$\text{[math]}$

On a clairement : $\text{[math]}$
De plus, comme $\text{[math]}$ , on a :
$\text{[math]}$

Et en passant au conjugué de cette dernière égalité :
$\text{[math]}$

On a ainsi un système de 3 équations à 3 inconnues (A, B, et C), et on peut déterminer les 3.

La résolution donne
$\text{[math]}$

Le résultat est un peu barbare mais a le mérite de ne pas différencier plusieurs cas.

Je précise au passage que j'ai fait cet exo en cours d'année, et donc, l'idée globale de cette démonstration n'est pas de moi (il y avait une question intermédiaire)

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