équations du premier et du second degré

[invite1a2d3d68]

Bonjour à tous,

Donc voilà je dois faire deux exercices sur les équations du premier degré, et j'aimerais savoir si ce que j'ai fais est juste, donc si quelqu'un pourrais m'aider, j'accepte de l'aide volontier
voici mes exercices avec mes propositions:

(Cela peut vous paraître trés long, mais ce sont essentiellement mes réponses en rouges qui prennent beaucoup de place)

Exercice 1
Résoudre les équations du premier degré suivantes et écrire les solutions sous forme simplifiée :

a) 2x/5 - 3/4 = x/2 - 1/10
j'ai tout ramené sur 20, cela donne
8x/20 - 15/20 = 10x/20 - 2/20
8x - 15 = 10x -2
8x - 10x = -2+15
-2x = 13
x=13/2
x=6.5

b) -3(2x+2) + 4x -8 = -2(1+x)
ma réponse est :
-6x-6+4x-8 = -2-2x
-6x+4x-2x = -2+6+8
-4x = 12
x = 12/4
x = 3

c) 3(2x-1) - (1-x) = 7x - 4
ma réponse est :
6x-3-1+x = 7x-4
6x+x-7x = -4+3+1
7x-7x = -1+1
=0

d) √2x -√3 = -x + √6
ma réponse est :
√2x +x = √6 + √3
et aprés je ne sais pas trop comment faire..pour simplifier là je séche

e) (1+√2x)x – 3 = x - √2
ma réponse est :
x-3+√2-3√2 = x-√2
x-3+√2x-3√2 = x-√2
x+√2-x = -√2+3+3√2
√2x = -√2 +3+3√2
pour la suite je bloque aussi...

Exercice 2
Aprés avoir rappelé la méthode pour résoudre une équation qui n'est pas du premier degré, résoudre les équations suivantes :

pour une équation du second degré de type ax²+bx+c

3 solutions arrivent:

b²-4ac < 0 ==> pas de solutions, la fonction sera toujours du meme signe que le a: au dessus de l'axe des absisses pour a>0, en dessous pour un a<0

b²-4ac=0 ==> une seule solution: x=-b/2a
C'est ce que l'on appelle la racine double. Graphiquement, la fonction aura toujours le signe de a, mais viendra toucher l'axe des abcisses au point ( -b/2a, 0)

b²-4ac >0 ==> x= (-b + racine(b²-4ac)) /2a
et (-b - racine(b²-4ac)) /2a

Une équation du second degré admet 2 solutions

pour une équation du troisième degré tel que ax³-bx²-cx-d, on cherche toutes les soutions tel que ax³-bx²-cx-d ensuite on factorise, on résoud l'équation, on calcul Δ, on cherches les racines évidentes et on trouves les solutions.

a) (2x-1)(4x+1) = 2x-1
ma réponse est :
8x²+2x-4x-1 = 2x-1
8x²+2x-4x-2x = -1+1
8x² -4x = 0 (équation du second degré)
Δ<0 -4² -4(8)(0)
=-16
le polynôme n'admet pas de racine car Δ<0

b) x(x²-3)+x(3x²-6) = 0
ma réponse est :
x³-3x+3x³-6x = 0
x³ +3x³-3x-6x = 0
4x³-9x = 0 (polynôme du troisième degrè)
Δ=0²-4(4)(-9)
=144 Δ>0
r1 = -0-12/8 = -1.5 et r2= -0+12/8 = 1.5
S={-1.5;1.5}

Je vous remercie de bien vouloir me corriger et me dire quelles sont mes erreurs.

Cordialement.
-----

[Flyingsquirrel]

Salut,

Exercice 1
Résoudre les équations du premier degré suivantes et écrire les solutions sous forme simplifiée :

a) 2x/5 - 3/4 = x/2 - 1/10
j'ai tout ramené sur 20, cela donne
8x/20 - 15/20 = 10x/20 - 2/20
8x - 15 = 10x -2
8x - 10x = -2+15
-2x = 13
x=13/2
x=6.5

Un signe "-" s'est perdu au cours des quatre dernières étapes (la solution est x=-13/2).

b) -3(2x+2) + 4x -8 = -2(1+x)
ma réponse est :
-6x-6+4x-8 = -2-2x
-6x+4x-2x = -2+6+8

À partir de -6x-6+4x-8 = -2-2x on obtient -6x+4x+2x = -2+6+8, le signe "+" change tout.

c) 3(2x-1) - (1-x) = 7x - 4
ma réponse est :
6x-3-1+x = 7x-4
6x+x-7x = -4+3+1
7x-7x = -1+1
=0

La dernière ligne est plutôt 0=0. Conclusion ? Quelles sont les solutions de l'équation ?

d) √2x -√3 = -x + √6
ma réponse est :
√2x +x = √6 + √3
et aprés je ne sais pas trop comment faire..pour simplifier là je séche

Si l'équation est , on peut factoriser le membre de gauche par : donc

e) (1+√2x)x – 3 = x - √2
ma réponse est :
x-3+√2-3√2 = x-√2

Là, je ne comprends pas comment tu developpes. donc , non ?

Edit : pour la e), devrait-on lire ?

[invite1a2d3d68]

Salut,

Un signe "-" s'est perdu au cours des quatre dernières étapes (la solution est x=-13/2).?

x= -13/2 ok

À partir de -6x-6+4x-8 = -2-2x on obtient -6x+4x+2x = -2+6+8, le signe "+" change tout.?

en changeant le signe cela donne à la fin 0=12, le solution est 12

La dernière ligne est plutôt 0=0. Conclusion ? Quelles sont les solutions de l'équation ??

conclusion la solution est 0

Si l'équation est , on peut factoriser le membre de gauche par : donc ?

x=(√6 + √3) / (√2+ 1)x ???

Là, je ne comprends pas comment tu developpes. donc , non ?

Edit : pour la e), devrait-on lire ?

non il n'y pas de ( ) à x-3 , c'est vous qui avez raison

[invite1a2d3d68]

Il n'y a personne ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

en changeant le signe cela donne à la fin 0=12, le solution est 12

Ah ? La dernière égalité que tu obtiens est 0=12, pas x=12, ce n'est pas la même chose.

conclusion la solution est 0

Si "la solution est 0", pourquoi l'égalité 3(2x-1) - (1-x) = 7x - 4 est aussi satisfaite par x=1, x=2, x=2345.345532 ? (et il y en a plein d'autres )

Notre but est de trouver les valeurs de x pour lesquelles l'équation 3(2x-1) - (1-x) = 7x - 4 est satisfaite. Tu as montré que l'on pouvait simplifier cette égalité et l'écrire sous la forme

6x-3-1+x = 7x-4

puis

6x+x-7x = -4+3+1

puis

7x-7x = -1+1

puis

0=0.

Autrement dit, on a ramené notre problème à "trouver les valeurs de x telles que l'équation 0=0 soit satisfaite". Mais cette équation est toujours satisfaite, quelle que soit la valeur de x. N'importe quel nombre réel est donc solution de l'équation de départ.

Concernant la question b), tu as simplifié -3(2x+2) + 4x -8 = -2(1+x) pour aboutir à 0=12 : les solutions de -3(2x+2) + 4x -8 = -2(1+x) sont donc les valeurs de x telles que l'égalité 0=12 soit satisfaite. Comme 0 n'est pas égal à 12, () cette égalité n'est jamais satisfaite et l'équation de départ n'a aucune solution.

x=(√6 + √3) / (√2+ 1)x ???

Le x que j'ai mis en rouge me gêne. Un copier/coller raté ?

non il n'y pas de ( ) à x-3 , c'est vous qui avez raison

D'accord. Dans ce cas on arrive à l'équation donnée dans mon dernier message : . Une idée pour la résoudre ?

[invite1a2d3d68]

Pour la d) effectivement c'est un copié/collé râté , je me corrige, donc x=(√6 + √3) / (√2+ 1)

[invite1a2d3d68]

. Une idée pour la résoudre ?

On pourrais factoriser par x nan??
raaaaaaaaaaah je sais pas comment m'y prendre!!

[Flyingsquirrel]

Pour la d) effectivement c'est un copié/collé râté , je me corrige, donc x=(√6 + √3) / (√2+ 1)

Je suis d'accord.

On pourrais factoriser par x nan??

Oui, on pourrait.

raaaaaaaaaaah je sais pas comment m'y prendre!!

Qu'est-ce qui te pose problème ? Sur le principe c'est exactement la même chose que les autres équations que tu as résolues. À chaque fois tu as regroupé les "x" d'un côté, les termes constants de l'autre. Pourquoi ne pas faire pareil ici ?

[invite1a2d3d68]

Qu'est-ce qui te pose problème ? Sur le principe c'est exactement la même chose que les autres équations que tu as résolues. À chaque fois tu as regroupé les "x" d'un côté, les termes constants de l'autre. Pourquoi ne pas faire pareil ici ?

Ok j'essaye quand même

mais ce qui me pose problème c'est que quand je mets les x d'un côtés, et les termes de l'autre, sa donne ceci :

x+√2x²-3 = x-√2
X+√2x²-x = -√2+3

[Flyingsquirrel]

Ok j'essaye quand même

mais ce qui me pose problème c'est que quand je mets les x d'un côtés, et les termes de l'autre, sa donne ceci :

x+√2x²-3 = x-√2
X+√2x²-x = -√2+3

Et pourquoi est-ce un problème ? Dans le membre de gauche et se simplifient :

L'équation devient alors donc puis (on doit trouver deux solutions, l'une positive, l'autre négative)

[invite1a2d3d68]

L'équation devient alors donc puis (on doit trouver deux solutions, l'une positive, l'autre négative)

x² = 3 nan?

[Flyingsquirrel]

Exercice 2
Aprés avoir rappelé la méthode pour résoudre une équation qui n'est pas du premier degré, résoudre les équations suivantes :

pour une équation du second degré de type ax²+bx+c

3 solutions arrivent:

b²-4ac < 0 ==> pas de solutions, la fonction sera toujours du meme signe que le a: au dessus de l'axe des absisses pour a>0, en dessous pour un a<0

b²-4ac=0 ==> une seule solution: x=-b/2a
C'est ce que l'on appelle la racine double. Graphiquement, la fonction aura toujours le signe de a, mais viendra toucher l'axe des abcisses au point ( -b/2a, 0)

b²-4ac >0 ==> x= (-b + racine(b²-4ac)) /2a
et (-b - racine(b²-4ac)) /2a

Une équation du second degré admet 2 solutions

D'accord. On notera que tout ceci fonctionne car l'équation n'est pas du premier degré ().

pour une équation du troisième degré tel que ax³-bx²-cx-d, on cherche toutes les soutions tel que ax³-bx²-cx-d ensuite on factorise, on résoud l'équation, on calcul Δ, on cherches les racines évidentes et on trouves les solutions.

Dans l'ordre : recherche des racines évidentes puis factorisation. Si l'un des facteur est un polynôme du second degré, on calcule le discriminant pour trouver ses racines si elles ne sont pas évidentes.

a) (2x-1)(4x+1) = 2x-1
ma réponse est :
8x²+2x-4x-1 = 2x-1
8x²+2x-4x-2x = -1+1
8x² -4x = 0 (équation du second degré)
Δ<0 -4² -4(8)(0)
=-16
le polynôme n'admet pas de racine car Δ<0

: Ici, donc et pas .

Sans passer par le discriminant, on peut faire comme suit :

• On part de
• On passe à gauche :
• On factorise :
• On simplifie :

Un produit de deux termes est nul si au moins l'un des deux est nul donc ou

b) x(x²-3)+x(3x²-6) = 0
[COLOR="red"]ma réponse est :
x³-3x+3x³-6x = 0
x³ +3x³-3x-6x = 0
4x³-9x = 0 (polynôme du troisième degrè)
Δ=0²-4(4)(-9)

Attention, la règle du discriminant ne fonctionne que pour les polyômes du second degré, pas pour ceux du troisième degré. Ici il faut d'abord trouver une racine évidente (en général on essaie -1, 0 et 1) pour factoriser .

x² = 3 nan?

Si on te demande de résoudre une équation comme , tu trouves la valeur de x en divisant les deux côtés de l'égalité par 3 pour obtenir x=2/3. Ici on a et on cherche la valeur de , on divise donc les deux côtés par et on obtient . Les solutions de l'équation sont donc et .

[invite1a2d3d68]

Attention, la règle du discriminant ne fonctionne que pour les polyômes du second degré, pas pour ceux du troisième degré. Ici il faut d'abord trouver une racine évidente (en général on essaie -1, 0 et 1) pour factoriser .

donc je reprend la b) du début, et voila ce que j'ai fais en factorisant 4x²-9

X(x²-3)+x(3x²-6)=0
X[(x²-3)+(3x²-6)]=0
X(4x²-9)=0
X(2x-3)(2x+3)=0

[Flyingsquirrel]

donc je reprend la b) du début, et voila ce que j'ai fais en factorisant 4x²-9

X(x²-3)+x(3x²-6)=0
X[(x²-3)+(3x²-6)]=0
X(4x²-9)=0
X(2x-3)(2x+3)=0

Oui et les trois solutions de l'équation sont 0, 3/2 et -3/2.

[invite1a2d3d68]

OK

et pour les trois solutions c'est ce que j'ai fais aussi

en tout cas merci beaucoup de m'avoir aidé, je vous remercie mille fois

mais avant de conclure, est-ce que je pourrais vous demandez un dernier petit service svp? C'est une colle que ma professeur de Mathématiques m'a donné

voici voici : réussir à trouver la solution x dans ax² + bx +c en sachant que a ≠ 0

j'ai pas trouvé grand chose, mais j'ai un petit (vraiment petit) début, que voici:

ax² + bx + c = 0
a(x² + bx/a + c/a ) = 0

Donc voilà, je vous remercie

Cordialement.

[Bruno]

voici voici : réussir à trouver la solution x dans ax² + bx +c en sachant que a ≠ 0

Relis ton Exercice 2, il s'agit simplement de généraliser une méthode que tu appliques quand a,b et c ont des valeurs données.

[invite1a2d3d68]

Relis ton Exercice 2, il s'agit simplement de généraliser une méthode que tu appliques quand a,b et c ont des valeurs données.

Ce que m'a donné ma prof n'a pas de rapport avec l'exercice 2, enfin il faut réussir à résoudre et donner la ou les solutions de x, en gardant les termes a,b et c

[Bruno]

Ce que m'a donné ma prof n'a pas de rapport avec l'exercice 2, enfin il faut réussir à résoudre et donner la ou les solutions de x, en gardant les termes a,b et c

Si si ça a un rapport, relis.

[invite1a2d3d68]

Si si ça a un rapport, relis.

sérieusement je ne trouve aucun rapport
ma prof m'a dis que le début de mon calcul était bon, et qu'il fallait que je continue à résoudre ..

ax² + bx + c = 0
a(x² + bx/a + c/a ) = 0

...

Aprés on va dire que je sèche un peu (beaucoup)

[Bruno]

C'est pourtant toi qui l'a écrit dans ton premier message :

pour une équation du second degré de type ax²+bx+c

3 solutions arrivent:

b²-4ac < 0 ==> pas de solutions, la fonction sera toujours du meme signe que le a: au dessus de l'axe des absisses pour a>0, en dessous pour un a<0

b²-4ac=0 ==> une seule solution: x=-b/2a
C'est ce que l'on appelle la racine double. Graphiquement, la fonction aura toujours le signe de a, mais viendra toucher l'axe des abcisses au point ( -b/2a, 0)

b²-4ac >0 ==> x= (-b + racine(b²-4ac)) /2a
et (-b - racine(b²-4ac)) /2a

[invite1a2d3d68]

C'est pourtant toi qui l'a écrit dans ton premier message :

oui mais enfait la prof ne veut pas qu'on fasse avec les polynômes (b²-4ac)

[Bruno]

oui mais enfait la prof ne veut pas qu'on fasse avec les polynômes (b²-4ac)

Dans ce cas elle doit probablement te demander d'arriver à ce polynome (car c'est la seule solution..) en partant de ax²+bc+x (normalement c'est le 1er développement qu'on voit avant de tomber sur les b²-4ac ).

Ton début de résolution était donc correct, après il faut utiliser ce qu'on appelle un artifice de calcul (faut le savoir aussi, pas sympa comme colle ) qui consiste a un écrire une expression et son opposé (donc le tout s'annule) de telle façon à ce qu'une des deux expressions nous arrange.

Par exemple écrire : ax²+bx+c = ax²+1+bx+c-1

Ici tu as donc cette expression (le "a" de devant tombe puisqu'il ne peut être nul) :



Ce qui nous arrangerait bien ça serait de factoriser les deux premiers termes de façon à isoler x :





("..." et "***" représentent "quelque chose" qu'on cherche)

Tu dois donc transformer en en usant l'artifice de calcul qui t'arrange.

Voila, avec ça tu devrais être sur le bon chemin pour la suite

[invite1a2d3d68]

Dans ce cas elle doit probablement te demander d'arriver à ce polynome (car c'est la seule solution..) en partant de ax²+bc+x (normalement c'est le 1er développement qu'on voit avant de tomber sur les b²-4ac ).

Ton début de résolution était donc correct, après il faut utiliser ce qu'on appelle un artifice de calcul (faut le savoir aussi, pas sympa comme colle ) qui consiste a un écrire une expression et son opposé (donc le tout s'annule) de telle façon à ce qu'une des deux expressions nous arrange.

Par exemple écrire : ax²+bx+c = ax²+1+bx+c-1

Ici tu as donc cette expression (le "a" de devant tombe puisqu'il ne peut être nul) :



Ce qui nous arrangerait bien ça serait de factoriser les deux premiers termes de façon à isoler x :





("..." et "***" représentent "quelque chose" qu'on cherche)

Tu dois donc transformer en en usant l'artifice de calcul qui t'arrange.

Voila, avec ça tu devrais être sur le bon chemin pour la suite

Pas facile comme cole, je dois l'avouer

ma prof m'a donné un indice de plus, en me disant qu'a la fin de mon calcul, je devais arriver à la formule de la forme canonique...
Aprés quelques (enfin énormément) temps de réflexion, j'ai pu aboutir (avec un peu aide la prof, mais c'est quand mçeme moi qui est trouvé, ) à un résultat qui donne justement à la formule qui correspond à la forme canonique..donc voila, voila

ax²+bx+c=a[x²+bx/a + c/a] =0
=a[(x+b/2a)²-(b/2a)²+c/a]
=a[(x+b/2a)²-b²/4a²+c/a]
=a(x+b/2a)²-b²/4a²+4ac/4a²
=a[(x+b/2a)²-(b²-4ac/4a²)]