équations du premier et du second degré
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équations du premier et du second degré



  1. #1
    invite1a2d3d68

    Exclamation équations du premier et du second degré


    ------

    Bonjour à tous,

    Donc voilà je dois faire deux exercices sur les équations du premier degré, et j'aimerais savoir si ce que j'ai fais est juste, donc si quelqu'un pourrais m'aider, j'accepte de l'aide volontier
    voici mes exercices avec mes propositions:

    (Cela peut vous paraître trés long, mais ce sont essentiellement mes réponses en rouges qui prennent beaucoup de place)

    Exercice 1
    Résoudre les équations du premier degré suivantes et écrire les solutions sous forme simplifiée :

    a) 2x/5 - 3/4 = x/2 - 1/10
    j'ai tout ramené sur 20, cela donne
    8x/20 - 15/20 = 10x/20 - 2/20
    8x - 15 = 10x -2
    8x - 10x = -2+15
    -2x = 13
    x=13/2
    x=6.5


    b) -3(2x+2) + 4x -8 = -2(1+x)
    ma réponse est :
    -6x-6+4x-8 = -2-2x
    -6x+4x-2x = -2+6+8
    -4x = 12
    x = 12/4
    x = 3


    c) 3(2x-1) - (1-x) = 7x - 4
    ma réponse est :
    6x-3-1+x = 7x-4
    6x+x-7x = -4+3+1
    7x-7x = -1+1
    =0


    d) √2x -√3 = -x + √6
    ma réponse est :
    √2x +x = √6 + √3
    et aprés je ne sais pas trop comment faire..pour simplifier là je séche


    e) (1+√2x)x – 3 = x - √2
    ma réponse est :
    x-3+√2-3√2 = x-√2
    x-3+√2x-3√2 = x-√2
    x+√2-x = -√2+3+3√2
    √2x = -√2 +3+3√2
    pour la suite je bloque aussi...


    Exercice 2
    Aprés avoir rappelé la méthode pour résoudre une équation qui n'est pas du premier degré, résoudre les équations suivantes :

    pour une équation du second degré de type ax²+bx+c

    3 solutions arrivent:

    b²-4ac < 0 ==> pas de solutions, la fonction sera toujours du meme signe que le a: au dessus de l'axe des absisses pour a>0, en dessous pour un a<0

    b²-4ac=0 ==> une seule solution: x=-b/2a
    C'est ce que l'on appelle la racine double. Graphiquement, la fonction aura toujours le signe de a, mais viendra toucher l'axe des abcisses au point ( -b/2a, 0)

    b²-4ac >0 ==> x= (-b + racine(b²-4ac)) /2a
    et (-b - racine(b²-4ac)) /2a

    Une équation du second degré admet 2 solutions

    pour une équation du troisième degré tel que ax3-bx2-cx-d
    , on cherche toutes les soutions tel que ax3-bx2-cx-d ensuite on factorise, on résoud l'équation, on calcul Δ, on cherches les racines évidentes et on trouves les solutions.

    a) (2x-1)(4x+1) = 2x-1
    ma réponse est :
    8x²+2x-4x-1 = 2x-1
    8x²+2x-4x-2x = -1+1
    8x² -4x = 0 (équation du second degré)
    Δ<0 -4² -4(8)(0)
    =-16
    le polynôme n'admet pas de racine car Δ<0


    b) x(x²-3)+x(3x²-6) = 0
    ma réponse est :
    x3-3x+3x3-6x = 0
    x3 +3x3-3x-6x = 0
    4x3-9x = 0 (polynôme du troisième degrè)
    Δ=0²-4(4)(-9)
    =144 Δ>0
    r1 = -0-12/8 = -1.5 et r2= -0+12/8 = 1.5
    S={-1.5;1.5}


    Je vous remercie de bien vouloir me corriger et me dire quelles sont mes erreurs.

    Cordialement.

    -----

  2. #2
    Flyingsquirrel

    Re : équations du premier et du second degré

    Salut,
    Citation Envoyé par nachou Voir le message
    Exercice 1
    Résoudre les équations du premier degré suivantes et écrire les solutions sous forme simplifiée :

    a) 2x/5 - 3/4 = x/2 - 1/10
    j'ai tout ramené sur 20, cela donne
    8x/20 - 15/20 = 10x/20 - 2/20
    8x - 15 = 10x -2
    8x - 10x = -2+15
    -2x = 13
    x=13/2
    x=6.5
    Un signe "-" s'est perdu au cours des quatre dernières étapes (la solution est x=-13/2).
    b) -3(2x+2) + 4x -8 = -2(1+x)
    ma réponse est :
    -6x-6+4x-8 = -2-2x
    -6x+4x-2x = -2+6+8
    À partir de -6x-6+4x-8 = -2-2x on obtient -6x+4x+2x = -2+6+8, le signe "+" change tout.

    c) 3(2x-1) - (1-x) = 7x - 4
    ma réponse est :
    6x-3-1+x = 7x-4
    6x+x-7x = -4+3+1
    7x-7x = -1+1
    =0
    La dernière ligne est plutôt 0=0. Conclusion ? Quelles sont les solutions de l'équation ?
    d) √2x -√3 = -x + √6
    ma réponse est :
    √2x +x = √6 + √3
    et aprés je ne sais pas trop comment faire..pour simplifier là je séche
    Si l'équation est , on peut factoriser le membre de gauche par : donc
    e) (1+√2x)x – 3 = x - √2
    ma réponse est :
    x-3+√2-3√2 = x-√2
    Là, je ne comprends pas comment tu developpes. donc , non ?

    Edit : pour la e), devrait-on lire ?
    Dernière modification par Flyingsquirrel ; 02/09/2008 à 18h13.

  3. #3
    invite1a2d3d68

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Salut,

    Un signe "-" s'est perdu au cours des quatre dernières étapes (la solution est x=-13/2).?

    x= -13/2 ok
    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    À partir de -6x-6+4x-8 = -2-2x on obtient -6x+4x+2x = -2+6+8, le signe "+" change tout.?
    en changeant le signe cela donne à la fin 0=12, le solution est 12

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    La dernière ligne est plutôt 0=0. Conclusion ? Quelles sont les solutions de l'équation ??
    conclusion la solution est 0
    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Si l'équation est , on peut factoriser le membre de gauche par : donc ?
    x=(√6 + √3) / (√2+ 1)x ???
    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Là, je ne comprends pas comment tu developpes. donc , non ?

    Edit : pour la e), devrait-on lire ?
    non il n'y pas de ( ) à x-3 , c'est vous qui avez raison

  4. #4
    invite1a2d3d68

    Re : équations du premier et du second degré

    Il n'y a personne ?


  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Flyingsquirrel

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par nachou Voir le message
    en changeant le signe cela donne à la fin 0=12, le solution est 12
    Ah ? La dernière égalité que tu obtiens est 0=12, pas x=12, ce n'est pas la même chose.
    conclusion la solution est 0
    Si "la solution est 0", pourquoi l'égalité 3(2x-1) - (1-x) = 7x - 4 est aussi satisfaite par x=1, x=2, x=2345.345532 ? (et il y en a plein d'autres )

    Notre but est de trouver les valeurs de x pour lesquelles l'équation 3(2x-1) - (1-x) = 7x - 4 est satisfaite. Tu as montré que l'on pouvait simplifier cette égalité et l'écrire sous la forme
    6x-3-1+x = 7x-4
    puis
    6x+x-7x = -4+3+1
    puis
    7x-7x = -1+1
    puis
    0=0.
    Autrement dit, on a ramené notre problème à "trouver les valeurs de x telles que l'équation 0=0 soit satisfaite". Mais cette équation est toujours satisfaite, quelle que soit la valeur de x. N'importe quel nombre réel est donc solution de l'équation de départ.

    Concernant la question b), tu as simplifié -3(2x+2) + 4x -8 = -2(1+x) pour aboutir à 0=12 : les solutions de -3(2x+2) + 4x -8 = -2(1+x) sont donc les valeurs de x telles que l'égalité 0=12 soit satisfaite. Comme 0 n'est pas égal à 12, () cette égalité n'est jamais satisfaite et l'équation de départ n'a aucune solution.

    x=(√6 + √3) / (√2+ 1)x ???
    Le x que j'ai mis en rouge me gêne. Un copier/coller raté ?
    non il n'y pas de ( ) à x-3 , c'est vous qui avez raison
    D'accord. Dans ce cas on arrive à l'équation donnée dans mon dernier message : . Une idée pour la résoudre ?
    Dernière modification par Flyingsquirrel ; 02/09/2008 à 21h11.

  7. #6
    invite1a2d3d68

    Re : équations du premier et du second degré

    Pour la d) effectivement c'est un copié/collé râté , je me corrige, donc x=(√6 + √3) / (√2+ 1)

  8. #7
    invite1a2d3d68

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    . Une idée pour la résoudre ?
    On pourrais factoriser par x nan??
    raaaaaaaaaaah je sais pas comment m'y prendre!!

  9. #8
    Flyingsquirrel

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par nachou Voir le message
    Pour la d) effectivement c'est un copié/collé râté , je me corrige, donc x=(√6 + √3) / (√2+ 1)
    Je suis d'accord.
    Citation Envoyé par nachou Voir le message
    On pourrais factoriser par x nan??
    Oui, on pourrait.
    raaaaaaaaaaah je sais pas comment m'y prendre!!
    Qu'est-ce qui te pose problème ? Sur le principe c'est exactement la même chose que les autres équations que tu as résolues. À chaque fois tu as regroupé les "x" d'un côté, les termes constants de l'autre. Pourquoi ne pas faire pareil ici ?

  10. #9
    invite1a2d3d68

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Qu'est-ce qui te pose problème ? Sur le principe c'est exactement la même chose que les autres équations que tu as résolues. À chaque fois tu as regroupé les "x" d'un côté, les termes constants de l'autre. Pourquoi ne pas faire pareil ici ?
    Ok j'essaye quand même

    mais ce qui me pose problème c'est que quand je mets les x d'un côtés, et les termes de l'autre, sa donne ceci :

    x+√2x²-3 = x-√2
    X+√2x²-x = -√2+3

  11. #10
    Flyingsquirrel

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par nachou Voir le message
    Ok j'essaye quand même

    mais ce qui me pose problème c'est que quand je mets les x d'un côtés, et les termes de l'autre, sa donne ceci :

    x+√2x²-3 = x-√2
    X+√2x²-x = -√2+3
    Et pourquoi est-ce un problème ? Dans le membre de gauche et se simplifient :


    L'équation devient alors donc puis (on doit trouver deux solutions, l'une positive, l'autre négative)

  12. #11
    invite1a2d3d68

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    L'équation devient alors donc puis (on doit trouver deux solutions, l'une positive, l'autre négative)
    x² = 3 nan?

  13. #12
    Flyingsquirrel

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par nachou Voir le message
    Exercice 2
    Aprés avoir rappelé la méthode pour résoudre une équation qui n'est pas du premier degré, résoudre les équations suivantes :

    pour une équation du second degré de type ax²+bx+c

    3 solutions arrivent:

    b²-4ac < 0 ==> pas de solutions, la fonction sera toujours du meme signe que le a: au dessus de l'axe des absisses pour a>0, en dessous pour un a<0

    b²-4ac=0 ==> une seule solution: x=-b/2a
    C'est ce que l'on appelle la racine double. Graphiquement, la fonction aura toujours le signe de a, mais viendra toucher l'axe des abcisses au point ( -b/2a, 0)

    b²-4ac >0 ==> x= (-b + racine(b²-4ac)) /2a
    et (-b - racine(b²-4ac)) /2a

    Une équation du second degré admet 2 solutions
    D'accord. On notera que tout ceci fonctionne car l'équation n'est pas du premier degré ().

    pour une équation du troisième degré tel que ax3-bx2-cx-d
    , on cherche toutes les soutions tel que ax3-bx2-cx-d ensuite on factorise, on résoud l'équation, on calcul Δ, on cherches les racines évidentes et on trouves les solutions.
    Dans l'ordre : recherche des racines évidentes puis factorisation. Si l'un des facteur est un polynôme du second degré, on calcule le discriminant pour trouver ses racines si elles ne sont pas évidentes.

    a) (2x-1)(4x+1) = 2x-1
    ma réponse est :
    8x²+2x-4x-1 = 2x-1
    8x²+2x-4x-2x = -1+1
    8x² -4x = 0 (équation du second degré)
    Δ<0 -4² -4(8)(0)
    =-16
    le polynôme n'admet pas de racine car Δ<0
    : Ici, donc et pas .

    Sans passer par le discriminant, on peut faire comme suit :
    • On part de
    • On passe à gauche :
    • On factorise :
    • On simplifie :
    Un produit de deux termes est nul si au moins l'un des deux est nul donc ou
    b) x(x²-3)+x(3x²-6) = 0
    [COLOR="red"]ma réponse est :
    x3-3x+3x3-6x = 0
    x3 +3x3-3x-6x = 0
    4x3-9x = 0 (polynôme du troisième degrè)
    Δ=0²-4(4)(-9)
    Attention, la règle du discriminant ne fonctionne que pour les polyômes du second degré, pas pour ceux du troisième degré. Ici il faut d'abord trouver une racine évidente (en général on essaie -1, 0 et 1) pour factoriser .

    Citation Envoyé par nachou Voir le message
    x² = 3 nan?
    Si on te demande de résoudre une équation comme , tu trouves la valeur de x en divisant les deux côtés de l'égalité par 3 pour obtenir x=2/3. Ici on a et on cherche la valeur de , on divise donc les deux côtés par et on obtient . Les solutions de l'équation sont donc et .

  14. #13
    invite1a2d3d68

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Attention, la règle du discriminant ne fonctionne que pour les polyômes du second degré, pas pour ceux du troisième degré. Ici il faut d'abord trouver une racine évidente (en général on essaie -1, 0 et 1) pour factoriser .
    donc je reprend la b) du début, et voila ce que j'ai fais en factorisant 4x2-9

    X(x²-3)+x(3x²-6)=0
    X[(x²-3)+(3x²-6)]=0
    X(4x²-9)=0
    X(2x-3)(2x+3)=0

  15. #14
    Flyingsquirrel

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par nachou Voir le message
    donc je reprend la b) du début, et voila ce que j'ai fais en factorisant 4x2-9

    X(x²-3)+x(3x²-6)=0
    X[(x²-3)+(3x²-6)]=0
    X(4x²-9)=0
    X(2x-3)(2x+3)=0
    Oui et les trois solutions de l'équation sont 0, 3/2 et -3/2.

  16. #15
    invite1a2d3d68

    Re : équations du premier et du second degré

    OK

    et pour les trois solutions c'est ce que j'ai fais aussi

    en tout cas merci beaucoup de m'avoir aidé, je vous remercie mille fois

    mais avant de conclure, est-ce que je pourrais vous demandez un dernier petit service svp? C'est une colle que ma professeur de Mathématiques m'a donné

    voici voici : réussir à trouver la solution x dans ax² + bx +c en sachant que a ≠ 0

    j'ai pas trouvé grand chose, mais j'ai un petit (vraiment petit) début, que voici:

    ax² + bx + c = 0
    a(x² + bx/a + c/a ) = 0

    Donc voilà, je vous remercie

    Cordialement.

  17. #16
    Bruno

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par nachou Voir le message
    voici voici : réussir à trouver la solution x dans ax² + bx +c en sachant que a ≠ 0
    Relis ton Exercice 2, il s'agit simplement de généraliser une méthode que tu appliques quand a,b et c ont des valeurs données.

  18. #17
    invite1a2d3d68

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par Bruno Voir le message
    Relis ton Exercice 2, il s'agit simplement de généraliser une méthode que tu appliques quand a,b et c ont des valeurs données.
    Ce que m'a donné ma prof n'a pas de rapport avec l'exercice 2, enfin il faut réussir à résoudre et donner la ou les solutions de x, en gardant les termes a,b et c

  19. #18
    Bruno

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par nachou Voir le message
    Ce que m'a donné ma prof n'a pas de rapport avec l'exercice 2, enfin il faut réussir à résoudre et donner la ou les solutions de x, en gardant les termes a,b et c
    Si si ça a un rapport, relis.

  20. #19
    invite1a2d3d68

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par Bruno Voir le message
    Si si ça a un rapport, relis.
    sérieusement je ne trouve aucun rapport
    ma prof m'a dis que le début de mon calcul était bon, et qu'il fallait que je continue à résoudre ..

    ax² + bx + c = 0
    a(x² + bx/a + c/a ) = 0

    ...

    Aprés on va dire que je sèche un peu (beaucoup)

  21. #20
    Bruno

    Re : équations du premier et du second degré

    C'est pourtant toi qui l'a écrit dans ton premier message :

    pour une équation du second degré de type ax²+bx+c

    3 solutions arrivent:

    b²-4ac < 0 ==> pas de solutions, la fonction sera toujours du meme signe que le a: au dessus de l'axe des absisses pour a>0, en dessous pour un a<0

    b²-4ac=0 ==> une seule solution: x=-b/2a
    C'est ce que l'on appelle la racine double. Graphiquement, la fonction aura toujours le signe de a, mais viendra toucher l'axe des abcisses au point ( -b/2a, 0)

    b²-4ac >0 ==> x= (-b + racine(b²-4ac)) /2a
    et (-b - racine(b²-4ac)) /2a

  22. #21
    invite1a2d3d68

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par Bruno Voir le message
    C'est pourtant toi qui l'a écrit dans ton premier message :



    oui mais enfait la prof ne veut pas qu'on fasse avec les polynômes (b²-4ac)

  23. #22
    Bruno

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par nachou Voir le message
    oui mais enfait la prof ne veut pas qu'on fasse avec les polynômes (b²-4ac)
    Dans ce cas elle doit probablement te demander d'arriver à ce polynome (car c'est la seule solution..) en partant de ax²+bc+x (normalement c'est le 1er développement qu'on voit avant de tomber sur les b²-4ac ).

    Ton début de résolution était donc correct, après il faut utiliser ce qu'on appelle un artifice de calcul (faut le savoir aussi, pas sympa comme colle ) qui consiste a un écrire une expression et son opposé (donc le tout s'annule) de telle façon à ce qu'une des deux expressions nous arrange.

    Par exemple écrire : ax²+bx+c = ax²+1+bx+c-1

    Ici tu as donc cette expression (le "a" de devant tombe puisqu'il ne peut être nul) :



    Ce qui nous arrangerait bien ça serait de factoriser les deux premiers termes de façon à isoler x :





    ("..." et "***" représentent "quelque chose" qu'on cherche)

    Tu dois donc transformer en en usant l'artifice de calcul qui t'arrange.

    Voila, avec ça tu devrais être sur le bon chemin pour la suite
    Dernière modification par Bruno ; 05/09/2008 à 00h44.

  24. #23
    invite1a2d3d68

    Re : équations du premier et du second degré

    Citation Envoyé par Bruno Voir le message
    Dans ce cas elle doit probablement te demander d'arriver à ce polynome (car c'est la seule solution..) en partant de ax²+bc+x (normalement c'est le 1er développement qu'on voit avant de tomber sur les b²-4ac ).

    Ton début de résolution était donc correct, après il faut utiliser ce qu'on appelle un artifice de calcul (faut le savoir aussi, pas sympa comme colle ) qui consiste a un écrire une expression et son opposé (donc le tout s'annule) de telle façon à ce qu'une des deux expressions nous arrange.

    Par exemple écrire : ax²+bx+c = ax²+1+bx+c-1

    Ici tu as donc cette expression (le "a" de devant tombe puisqu'il ne peut être nul) :



    Ce qui nous arrangerait bien ça serait de factoriser les deux premiers termes de façon à isoler x :





    ("..." et "***" représentent "quelque chose" qu'on cherche)

    Tu dois donc transformer en en usant l'artifice de calcul qui t'arrange.

    Voila, avec ça tu devrais être sur le bon chemin pour la suite
    Pas facile comme cole, je dois l'avouer

    ma prof m'a donné un indice de plus, en me disant qu'a la fin de mon calcul, je devais arriver à la formule de la forme canonique...
    Aprés quelques (enfin énormément) temps de réflexion, j'ai pu aboutir (avec un peu aide la prof, mais c'est quand mçeme moi qui est trouvé, ) à un résultat qui donne justement à la formule qui correspond à la forme canonique..donc voila, voila

    ax²+bx+c=a[x²+bx/a + c/a] =0
    =a[(x+b/2a)²-(b/2a)²+c/a]
    =a[(x+b/2a)²-b²/4a²+c/a]
    =a(x+b/2a)²-b²/4a²+4ac/4a²
    =a[(x+b/2a)²-(b²-4ac/4a²)]

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