[TS] DM avec trigo

[invite21fd11b1]

Bonjour,

J'aurai besoin d'un p'tit coup de pouce pour un DM...

f est définie sur R par f(x)=x + cos ²x

2) b) En déduire le sens de variation de f (on a trouvé a la question précédente que f'(x)=1-sin(2x)

J'ai commencé quelque chose... mais la trigo ca m'embrouille assez..
f'(x) > 0 ssi 1 - sin (2x) > 0
soit 1 > sin (2x)

Or sin (2x) = 1 = sin (pi/2)

Et la j'arrive pas a conclure ou aller plus loin...
Le truc qui me gène c'est que f est définie sur R, et que la courbe est sinusoïdale... il y a donc une infinité de variation croissante puis décroissante non?
Donc si qqn pourrait m'aider, me dire si ce que j'ai fait pr l'instant est juste ou non, etc., ca serait sympa!

Merci
-----

[invite21fd11b1]

un ptit up pr remonter le sujet...

[Flyingsquirrel]

Salut,

Or sin (2x) = 1 = sin (pi/2)

Et la j'arrive pas a conclure ou aller plus loin...

Le sinus est une fonction -périodique donc entraîne où est un entier relatif. La dérivée s'annule donc aux points

Le truc qui me gène c'est que f est définie sur R, et que la courbe est sinusoïdale... il y a donc une infinité de variation croissante puis décroissante non?

Non. Si tu traces la courbe avec une calculatrice tu verras qu'il y a des paliers plutôt que des oscillations, la fonction est en fait croissante.

un ptit up pr remonter le sujet...

... qui n'était tout de même pas perdu dans les fins fonds du forum.

[invite21fd11b1]

Je capte tjrs pas... ^^

Si tu dis que f est croissante, dans ce cas la dérivée ne s'annule pas si?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Je capte tjrs pas... ^^

Si tu dis que f est croissante, dans ce cas la dérivée ne s'annule pas si?

Si, la dérivée s'annule mais elle ne change pas de signe : elle reste toujours supérieure ou égale à 0. Dans ton premier message tu as écris

f'(x) > 0 ssi 1 - sin (2x) > 0
soit 1 > sin (2x)

L'inégalité est vraie sauf si (puisque le sinus d'un nombre est toujours inférieur ou égal à 1). On a donc deux possiblités :

• soit donc
• soit donc et la dérivée est positive.

La fonction est donc croissante (mais pas strictement croissante).

[invite21fd11b1]

Ok

Mais on peut aussi avoir 1 < sin (2x) non?

et on a bien f'(x) = 0 pour x = pi/4 et f'(x) > 0 pour x > pi/4 ?

[Flyingsquirrel]

Mais on peut aussi avoir 1 < sin (2x) non?

Non... le sinus d'un nombre est toujours compris entre -1 et 1, est impossible.

et on a bien f'(x) = 0 pour x = pi/4 et f'(x) > 0 pour x > pi/4 ?

Il n'y a pas que où la dérivée s'annule. Le sinus est une fonction -périodique donc est -périodique*. Comme s'annule en , elle s'annule aussi en

Ceci dit, je ne sais pas ce que l'on te demande dans la suite de l'exercice mais savoir où s'annule n'est pas forcément utile. Tu peux peut-être te contenter de dire que sur . Ça suffit pour prouver que est croissante.

(*)

[invite21fd11b1]

Ok donc je peux juste expliquer que comme il est impossible d'avoir 1 < sin (2x), f est croissante sur R?

A près on me demande de résoudre l'équation f'(x)=0 et de dresser le tableau de variation de f sur [0; pi] donc ca devrait aller.

Par contre pour la 3:
3) On note D1 et D2 les droites d'équations y=x et y=x+1. Déterminer les coordonnées des points d'intersections de (C) avec D1 et D2

Est correct:
==>
x=x + cos ² x
cos ² x =0
cos x = 0
x=0 et f(0)= 1
donc on a un premier point de coordonnées (0;1)
et
x + 1 = x + cos ² x
1 = cos ² x
1=cos x
x= pi/2 et f(pi/2) = pi /2
donc on a un deuxieme point de coordonnées (pi/2;pi/2)

??

[Flyingsquirrel]

Ok donc je peux juste expliquer que comme il est impossible d'avoir 1 < sin (2x), f est croissante sur R?

Oui

Par contre pour la 3:
3) On note D1 et D2 les droites d'équations y=x et y=x+1. Déterminer les coordonnées des points d'intersections de (C) avec D1 et D2

Est correct:
==>
x=x + cos ² x
cos ² x =0
cos x = 0
x=0 (...)

En 0 le cosinus vaut 1, pas 0. Penses aussi que ,comme le cosinus est une fonction périodique, il prend la valeur 0 une infinité de fois sur . Il ne peut pas y avoir une unique solution à l'équation .

x + 1 = x + cos ² x
1 = cos ² x
1=cos x

Non. Les solutions de sont . Dans ton équation vaut donc soit 1, soit -1.

x= pi/2 et f(pi/2) = pi /2

En le cosinus vaut 0, pas 1. (et attention à ne pas oublier de solutions)

[invite21fd11b1]

ok va falloir que je revoie mn tableau de trigo ^^

Merci pour ton aide, je vais voir ce que je peux faire avec tout ca

[invite21fd11b1]

Alors

b) f'(x) < 0 ssi 1 - sin (2x) < 0 soit 1 < sin (2x)
Or -1 < sin (x) < 1
==> f'(x) < 0 est donc impossible
f'(x) > 0 ssi 1- sin (2x) > 0 soit 1 > sin (2x)
sin (2x) > 1 > sin (pi/2)
d'où 2x = pi/2 + 2k pi
x = pi/4 + k pi
f'(x) > 0 pr x > pi/4 + k pi

f est donc croissante sur R

c) Résoudre dans R l'équation f'(x)=0
==> f'(x) = 0 ssi 1- sin (2x) = 0 soit 1 = sin (2x)
2x = pi/2 + 2k pi
x = pi/4 + k pi
f'(x) = 0 pour x = pi/4 + k pi

d) Dresser le tableau de variation de f sur [0;pi]
Il va bien n'y avoir que pi/4 ou f s'annule dans cet intervalle (vu que si k = 1, x = pi + 1/4 )?

3) x = x + cos ² x
cos ² x = 0
cos x = 0
x = pi/2 + 2 k pi
et f (pi/2)=pi/2
donc on a un point A (pi/2 + 2k pi; pi/2 + 2k pi)

x + 1 = x + cos ² x
1 = cos ² x
vos x = 1 ou cos x = -1
x = 0 + 2 k pi ou x = pi + 2 k pi
f(0) = 1
f(pi)=pi + 1
On a donc également un point B (2 k pi; 1 + 2 k pi) et un point C (pi + 2 k pi; pi + 1 + 2 k pi)

La rédaction et les résultats sont ils correct?

[Flyingsquirrel]

Alors

b) f'(x) < 0 ssi 1 - sin (2x) < 0 soit 1 < sin (2x)
Or -1 < sin (x) < 1
==> f'(x) < 0 est donc impossible

Oui et comme est impossible, est forcément positif ou nul et par conséquent est croissante. Cela suffit pour répondre à la question. Je mets quand même quelques commentaires sur la suite :

f'(x) > 0 ssi 1- sin (2x) > 0 soit 1 > sin (2x)
sin (2x) > 1 > sin (pi/2)

On a plutôt .

d'où 2x = pi/2 + 2k pi
x = pi/4 + k pi

Là il faut dire ce que tu fais : d'après ce que tu as écris on s'attend à ce que soit la solution de ce qui n'est pas le cas. Il faudrait insérer quelque chose du genre " est compris entre -1 et 1, l'inégalité est donc vérifiée à moins que . Les solutions de cette équation sont . On a donc pour ."

f'(x) > 0 pr x > pi/4 + k pi

Plutôt .

c) Résoudre dans R l'équation f'(x)=0
==> f'(x) = 0 ssi 1- sin (2x) = 0 soit 1 = sin (2x)
2x = pi/2 + 2k pi
x = pi/4 + k pi
f'(x) = 0 pour x = pi/4 + k pi

Je suis d'accord.

d) Dresser le tableau de variation de f sur [0;pi]
Il va bien n'y avoir que pi/4 ou f s'annule dans cet intervalle

Oui.

(vu que si k = 1, x = pi + 1/4 )?

S'il fallait lire , oui, c'est ça : si ne vaut pas 0 on sort de l'intervalle .

3) x = x + cos ² x
cos ² x = 0
cos x = 0
x = pi/2 + 2 k pi

Il manque encore des solutions.

et f (pi/2)=pi/2
donc on a un point A (pi/2 + 2k pi; pi/2 + 2k pi)

Il n'y a pas qu'"un point". est entier naturel quelconque, il y a donc une infinité de points d'intersection dont les coordonnées sont où .

x + 1 = x + cos ² x
1 = cos ² x
vos x = 1 ou cos x = -1
x = 0 + 2 k pi ou x = pi + 2 k pi
f(0) = 1
f(pi)=pi + 1
On a donc également un point B (2 k pi; 1 + 2 k pi) et un point C (pi + 2 k pi; pi + 1 + 2 k pi)

C'est bon, tu as trouvé toutes les solutions. (et même remarque que précédemment, il n'y a pas qu'"un point" d'intersection...)

[invite21fd11b1]

Ok

Citation:
3) x = x + cos ² x
cos ² x = 0
cos x = 0
x = pi/2 + 2 k pi

Il manque encore des solutions.

La par contre je vois pas ce qu'il peut encore y avoir!!


Par la suite, on me demande de préciser les tangentes à (C) en chacun de ces points
==> Je fait f'(pi/2 + 2 k pi), et j'applique y = f'(a)(x-a)+f(a)??
Mais comment je fais pour dériver mon 2 k pi? Je le met de coté?

[Flyingsquirrel]

La par contre je vois pas ce qu'il peut encore y avoir!!

Penses au cercle trigo. Dans le cosinus s'annule à la fois en et en .

Par la suite, on me demande de préciser les tangentes à (C) en chacun de ces points
==> Je fait f'(pi/2 + 2 k pi) et j'applique y = f'(a)(x-a)+f(a)??

Oui.

Mais comment je fais pour dériver mon 2 k pi?

Il n'y a pas de raison de le dériver.

Je le met de coté?

Ça dépend de ce que tu entends par "Je le met de coté". est l'équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse . Nous, nous voulons l'équation des tangentes en , il suffit donc de remplacer par . C'est tout.

[invite21fd11b1]

Citation:
Posté par pixelle Voir le message
La par contre je vois pas ce qu'il peut encore y avoir!!

Penses au cercle trigo. le cosinus s'annule à la fois pi/2 en et en 3 pi/2.

Oui mais le 3 pi sur 2 n'est pas entendu dans le 2 k pi de x = pi/2 + 2 k pi?

[Flyingsquirrel]

Oui mais le 3 pi sur 2 n'est pas entendu dans le 2 k pi de x = pi/2 + 2 k pi?

Non. Le "" exploite la -périodicité du cosinus : une fois que l'on a trouvé toutes les solutions de l'équation sur l'intervalle , on peut en déduire les solutions de sur (puisque le cosinus est -périodique).
Comme les solutions de sur sont et , les solutions réelles de l'équation sont et où et sont des entiers relatifs.

Il n'y a pas qu'"un point". k est entier naturel quelconque...

Remplacer "naturel" par "relatif".

[invite21fd11b1]

Ok, merci beaucoup pour ton aide et d'avoir pris le temps de m'expliquer

Derniere question: f(x) était dérivable en tant que quoi? fonction polynôme?

[Flyingsquirrel]

Derniere question: f(x) était dérivable en tant que quoi? fonction polynôme?

ne ressemble pas vraiment à un polynôme. Je dirais plutôt que c'est une somme de fonctions dérivables sur .